Автореферат (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения), страница 3

Все это усложняет процессрешения подобных задач. Данные выводы подтверждают также результаты решениязадачи расчета ползучести и длительной прочности круглых стержней из анизотроп­ного титанового сплава 3В при одноосном растяжении †.Во второй главе для устранения трудностей, возникающих при решении задачКоши для систем ОДУ с несколькими ПОТ неявными методами, используется преоб­разование исходной задачи к наилучшему аргументу ‡, отсчитываемому вдоль ин­тегральной кривой этой задачи, который доставляет ей наилучшую обусловленность.Для задачи (1)-(2) наилучший аргумент записывается в скалярном виде()2 = ()2 + ()2 + ()2 .(10)Для образцов из стали 45 преобразованная к аргументу задача примет вид(︀)︀ 1 − +1 0 0√= √ ,= √ ,=(11)111с начальными условиями(0) = 0, (0) = 0, (0) = 0,(12)(︀)︀2где 1 = 2 1 − +1+ 2 02 + 2 02 .

Значения материальных констант длясистемы (11) те же, что и для системы (6).Квадратичная норма правой части системы (11) равна единице и задача (11),(12) может быть решена явными методами, используемыми ранее. Результаты, полу­ченные методом РК4Я с точностью 1 = 10−4 , даны в таблице 3. Кривые ползучести,полученные при решении задачи (11), (12), аналогичны изображенным на рис. 2.Таблица 3. Расчетные данные для стали 45, задача (11), (12)0 ,МПа354045*** , ч , мс0.57130.66460.75870.99950.99990.99927.00052.76011.214542.6140.8842.44m ,%0.7090.6560.534av ,%0.0040.0040.003med ,%10−510−510−5dev ,%0.0380.0380.03При сравнении результатов таблиц 2 и 3 можно видеть, что переход к аргументу дает возможность сократить время счета в среднем на 35-40 процентов и уменьшитьпогрешность решения на порядок и более. Все это объясняется как указанными свой­ствами аргумента , так и возможностью применения явных методов для решениязадачи (11), (12).

Также исчезают все трудности, связанные с реализацией неявныхметодов и численным решением систем нелинейных уравнений. Аналогичные резуль­таты получены и для задачи расчета ползучести и длительной прочности круглыхстержней из анизотропного титанового сплава 3В при одноосном растяжении.Применим наилучшую параметризацию также и к задаче расчета длительнойпрочности прямоугольных образцов из титанового сплава ОТ-4. Для задачи (3)-(4)аргумент примет вид()2 = ()2 + ()2 + ()2 .(13)Тогда задача (3)-(4), преобразованная к аргументу , запишется в виде†Горев Б. В., Банщикова И.

А. К описанию процесса ползучести и разрушения упрочняющихся материалов покинетическим уравнениям со скалярным параметром поврежденности // Вестник Самарского государственного тех­нического ун-та. Серия «Физико-математические науки». – 2009. – № 2. – С. 90–98.‡Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация вприкладной математике и механике.

– М.: Эдиториал УРСС, 1999. – 224 с.10e0 0 · e0= √= √,,22с однородными начальными условиями0 · (* − )√=2(14)(0) = 0, (0) = 0, (0) = 0.(15)Здесь 2 = 02 · (* − )2 + (1 + 02 ) · 2 e20 . Значения материальных констант длясистемы (14) те же, что и для системы (3).Результаты решения задачи (14)-(15), расчитанные по методу РК4Я, представ­лены в таблице 4, где ℎ – шаг по аргументу . Кривые ползучести, полученные прирешении задачи (14)-(15), аналогичны изображенным на рис.

1.Таблица 4. Расчетные данные для сплава ОТ-4, задача (14)-(15)0 ,МПа** ,МДж/м398112.71470.90.78260.688.288.199988.199998112.71470.90.78260.688.199388.199188.1992m ,%Постоянный шаг, ℎ = 10−4446.2276 503020.045263.9683 319850.04477.5427 138770.053Переменный шаг, 1 = 10−4446.2276 1542.7 0.022263.9683 1535.20.0377.5427 1553.6 0.026* , ч , мсav ,%med ,%dev ,%3 · 10−64 · 10−610−55 · 10−123 · 10−122 · 10−123 · 10−43 · 10−46 · 10−45 · 10−69 · 10−64 · 10−610−122 · 10−1210−123 · 10−44 · 10−43 · 10−4Отметим, что время счета для -преобразованной задачи (14)-(15) возрастает додвух раз для постоянного шага и до 50 процентов для переменного шага по сравнениюс решением исходной задачи (3)-(4).

При этом, существенного уменьшения погрешно­сти не происходит. Время счета возрастает из-за увеличения размерности решаемойзадачи на единицу и общим усложнением вида уравнений при переходе к аргументу, что является недостатком наилучшей параметризации. В случае использования по­стоянного шага, переход к аргументу позволяет гораздо ближе подойти к ПОТ вмомент разрушения, но это приводит к увеличению погрешности результата.Для решения задач, рассмат­риваемых в первой и второйглавах диссертационной рабо­ты, в вычислительной сре­де Matlab R2015a разработанкомплекс программ «Числен­ное решение задачи Коши.

Ме­тод наилучшей параметриза­ции». В состав программногокомплекса включены все ука­занные выше методы, а такжесимвольная процедура преоб­разования к наилучшему аргу­менту . Блок-схема комплек­са программ изображена нарис. 3.Рис. 3. Блок-схема комплекса программ11В третьей главе для ослабления недостатков наилучшей параметризациипредложен модифицированный наилучший аргумент , который для системы ОДУвторого порядка= 1 (,,),= 2 (,,), 0 ≤ ≤ * , 0 ≤ ≤ * , 0 ≤ ≤ *(16)с начальными условиями(0 ) = 0 , (0 ) = 0(17)имеет вид)︂2() = () + () +,(18) (,,)где функция (,,) полагается произвольной неотрицательной.Исследован процесс отсчета аргумента вида (18) и доказанаТеорема 2.

Для определения отклонения направления отсчета аргумента от наилучшего в правой + и левой − полуокрестностях точки ( , , ), ле­жащей на интегральной кривой задачи (16)-(17), необходимо и достаточно, чтобысуществовало целое число ≥ 0, являющееся наименьшим порядком частных произ­водных функции (,,), которые не обращаются одновременно в ноль, и существо­вали пределы⃒−1⃒⃒⃒⃒⃒⃒ ∑︁ (±1) || ± ⃒(+1)⃒ Δ 1 Δ 2 Δ 3 + ± (,)⃒ ,⃒(19)± = limΔ·⃒⃒1 2 3 ⃒′ →0′⃒⃒||=√︀где ′ = (Δ + 1 )2 + (Δ + 2 )2 + (Δ + 3 )2 , ′ ( + 1 , + 2 , + 3 ).Суммарное отклонение между направлениями отсчета аргументов и придвижении вдоль интегральной кривой от точки ( , , ) до ( , , ) имеет вид⃒ ⃒⃒∫︁ (︂)︂ ⃒⃒⃒1 = ⃒⃒1−(20) ⃒⃒ , 0 ≤ , ≤ * .((),(),)⃒⃒222(︂По величине локальных отклонений (19) на интегральной кривой выделяютсятри класса точек: точки локальной эквивалентности при + = − = 0, точки локаль­ной неэквивалентности первого рода при 0 < ± < ∞ и второго рода при + → ∞ или− → ∞.

При прохождении через точку локальной эквивалентности суммарноеотклонение (20) изменяется на бесконечно малую величину, а при прохождении точеклокальной неэквивалентности первого и второго рода оно изменяется на конечную илибесконечно большую величину соответственно.Используя данную классификацию, аргументы и будем называть локальноэквивалентными в окрестности точки ( , , ), если 1) точка является точкойлокальной эквивалентности и 2) существует точка интегральной кривой ( , , ),лежащая левее , такая что = 0.Аргументы и будем называть эквивалентными в рассматриваемой области,если они локально эквивалентны в каждой точке этой области, т.

е. для каждогозначения ∈ [0 ,* ] выполнено)︂∫︁ (︂11− = 0. ((),(),)012Для эквивалентных аргументов и длины и тангенсы углов наклона векторов¯ и ¯, задающих направления отсчета аргументов и соответственно, бесконечноблизки. Обусловленность задач, преобразованных аргументами эквивалентными наи­лучшему, бесконечно близка к наилучшей.Однако для аргументов продолжения решения вида (18) доказанаТеорема 3. Для того чтобы аргументы и вида (18) были эквивалентныв рассматриваемой области, необходимо и достаточно, чтобы (,,) = 1 во всехточках этой области.Это значит, что наилучший аргумент единственный среди аргументов вида(18) доставляет задаче (16)-(17) наилучшую обусловленность.Введем меру, позволяющую оценивать отклонение между направлениями от­счета аргументов и , в усредненном виде∫︁*1| (,,) − 1|√︀Ξ=,(21)*1 + 2 (,,)12 (,,) + 2 (,,)22 (,,)0где ,, являются функциями аргумента .На практике значение меры отклонения Ξ позволяет оценивать и сравниватьобусловленности задач, преобразованнных аргументом : чем больше значение мерыΞ, тем хуже обусловленность преобразованной задачи.Используем полученные результаты для расчета длительной прочности метал­лических конструкций в условиях ползучести.Для задачи растяжения образцов из стали 45 выберем аргумент в виде)︂2(︂222.(22)() = () + () + (1 − +1 )Тогда преобразованная к аргументу задача (6), (2) запишется в форме системы)︀(︀ 1 − +1 0 0√= √= const,= √= const,=(23)333с начальными условиями (12).

Здесь 3 = 1 + 2 02 + 2 02 = const.(︀)︀Так как функция 1 − +1 ограничена единицей, то и норма правой частисистемы (23) будет ограничена единицей, что дает возможность использовать для ре­шения задачи (23), (12) явные методы. А учитывая, что первые два уравнения системы(23) имеют постоянные правые части, можно гораздо проще реализовать методы ЭЯ,ЭКЯ и РК4Я с переменным шагом, применяемые для численного решения.