Диссертация (Удар сферической оболочки по упругому полупространству), страница 9

(1.34)).При θξ = 0 имеем2Λ k 2 (θ, ξ, τ) = πχ k (θ2 + ξ2 , ττ) H ( − ηk θ2 + ξ2 )(3.19)В формуле (3.18) интегралы Lk 2 сводятся к гиперэллиптическиминтегралам и могут быть вычислены с помощью квадратурных формул,учитывающих особенность подынтегральной функции в точках z = ±1 .Функция Λ k1 при θξ ≠ 0 имеет следующий вид:=Λ k1 (θ, ξ, τ)14(θξ)32H (nk1 ) H (m) [ H (−m1 )Λ k11 (θ, ξ, τ)+ H (m1 )Λ k12 (θ, ξ, τ)] ,Λ k11 (θ, ξ, τ) = −(θ, ξ, τ)Λ k12=1 1  H (nk ) E  ϕk , m  + H (−nk ) E  m   ,m1 m  11 1 nk nk1()()GmHn−k G (θ k , m) +m m m − nk(3.20) , 75G (m) =K (m) −m=11E (m), G (θk , m) =F (θk , m) − E (θk , m),m1m111(θ + ξ) 2 − cR2 τ2  , m1 = 1 − m =cR2 τ2 − (θ − ξ) 2  ,4θξ4θξ=sin θknk,=sin ϕkmmnk1m − nkЗдесь K (m) , F (ϕ, m) – полный и неполный эллиптические интегралыпервого рода, E (m) , E (ϕ, m) – полный и неполный эллиптические интегралывторого рода, m -параметр, ϕ - амплитуда.Из (3.17) видно, что особенности ядра Λ (θ, ξ, t − t ) сосредоточены напрямых сR (t − t ) = θ − ξ .76§ 3.3.

Алгоритм и метод решения задачи на произвольном этапеконтактного взаимодействияДля решения системы (1.22), (3.14) и (3.15) с начальными условиями(3.16) используется численно-аналитический алгоритм, основанный наметоде квадратур. С учетом гиперболического типа уравнений движенияоболочки и полупространства используется явная схема интегрирования.На пространственно-временную областьRt2ξнаносится сетка спостоянным шагом δt по времени t и δξ по координате ξ (Рис. 3.1):ti =iδt , t =tm =mδt , ξ j = jδξ , θ =ξ n =nδξ , δt <cR δξ ,{( t, ξ ) t ∈ [tRt2ξ = ∪∪ K ij , K ij =ii −1j}, ti ] , ξ ∈ ξ j , ξ j +1  ,(3.21)где K ij - элементарные прямоугольники.Искомым функциям b(t ), uc (t ), p (t , ξ) ставятся в соответствие сеточныефункции bi , uci , pij=bi b(ti ), uci =uc (ti ),=pij p(ti , ξ j )(3.22)Тогда с учетом (3.13) получим следующие представления дляинтегралов J 0 (θ, τ) , J1 (θ, τ) :J=J 0 mn=0∫∫ G02(ξn , ξ, tm − t ) p (ξ, t )dtd ξ,DJ1 = J1mn =γ ∫∫ Λ (ξ n , ξ, tm − t ) p (ξ, t )dtd ξ (m =1,2..., n = 0,1,2...),DmnD={(t , ξ)S (ξn , tm=)(3.23)t ≥ 0, ξ ∈ [ 0, b(t ) ]} , Dmn= D ∩ S (ξn , tm ),{(t , ξ)− t + ξ n + tm ≥ ξ ≥ t + ξ n − tm } ,77где S (ξn , tm ) - носитель интегрального оператора J1mn , представляющий собойхарактеристический конус.Рис.

3.1Как показано в формулах (3.17), ядро Λ (θ, ξ, t − t ) интегральногооператора J1 (θ, τ) представлено регулярной Λ kr (θ, ξ, t − t ) и сингулярнойΛ ks (θ, ξ, t − t ) составляющими. Функция Λ (θ, ξ, t − t ) имеет неинтегрируемуюособенность при сR ( t − t ) = θ − ξ и непрерывна на конусе S (θ,τ) , исключаявершину ξ = θ, t = t, где она имеет интегрируемую особенность. Поэтомупри аппроксимации должен быть выделен треугольник K mn :78K mn={(t , ξ)t ∈ [tm−1 , tm ] , − t + ξn + tm ≥ ξ ≥ t + ξ n − tm }(3.24)Таким образом, интеграл J1mn в (3.23) запишем в виде суммы:}{J1mn = γ J1m−1,n + ς mn J1mn , J1m−1,n = J1(mr )−1,n + J1(ms )−1,n ,(r )J=1m −1,nJ=(s)1m −1,n2∑ ∫∫k =1 Dmn \ K mn2∑ ∫∫k =1 D mn \ K mnJ1mn=Λ kr (ξn , ξ, tm − t ) p (ξ, t )dtd ξ,Λ ks (ξn , ξ, tm − t ) p (ξ, t )dtd ξ,∫∫ Λ(ξ , ξ, tK mnnm(3.25)− t ) p (ξ, t )dtd ξ,ς mn= 1 (m < km ), ς mn= 0 (m > km ), km= bm δξ  ,= Dmn ∩ S (ξn , tm ), S (ξn , tm=D mn) {(t , ξ) ξ ≥ cR (mdt − t ) − ndξ }.Здесь [ x ] – обозначает целую часть числа x .Используя аппроксимации (3.21), (3.22), представим интеграл J1mn ввиде:J1mn= pmn d mn , d mn=∫∫ Λ(ξ , ξ, tK mnnm− t )dtd ξ(3.26)Для вычисления d mn сделаем замену переменныхz = t − (m − 1)δtи с учетом носителя ядра получим:79d mn==ndξ + ( dt − z )0ndξ −( dt − z )∫∫ Λ(ndξ , ξ, mdt − t )d ξdt= ∫ dzK mndd∞tt∫ dz ∫ ξΛ(ndξ , ξ, dt − z ) J 0 (0)d ξ = ∫ Λ0Здесьdt0∫H0ξΛ (ndξ , ξ, dt − z )d ξ=(nddξ , q, t − z )0Λ (nδξ , ξ, =δt − z )2π∫ G1 (( nδ )ξ2(3.27)q =0dz.+ ξ2 − 2nδξξ cos α , δt − z )d α ,J 0 ( x) –0функция Бесселя первого порядка, значок H 0 указывает на преобразованиеХанкеля по переменной ξ , q – параметр этого преобразования.Применяя к (3.26) преобразование Лапласа по δt , получаем:L1 H0LLdξd−ξnmtddt(,,)( n ξ , q, s ) . ∫∫ = Ldξtq =0sK mn(3.28)Используя связь преобразования Фурье по двум переменным спреобразованием Ханкеля [143, 144], имеем:L H 0 L (nδξ , q, s ) =G FL ( p1 , p2 , s )p=1 p=2 01=− .s(3.29)Здесь значком F обозначено преобразование Фурье по двум переменным,p1 , p2 – параметры преобразования Фурье, G ( x1 , x2 , t) - функция влиянияпространственной задачи, выражение изображения G FL ( p1 , p2 , s ) которойполучено в работе [9].Подставляя (3.29) в (3.28) и выполняя обратное преобразованиеЛапласа, находим значение искомого интеграла:J1mn =pmn d mn =− pmn dt(3.30)80Для построения квадратурных формул для J 0mn , J1(mr )−1,n , J1(ms )−1,n заменимобласть D многоугольником Bm :mbi δξ  ,∪ H ik,0i , ki =Bm =i =1(3.31)Области Dmn и D mn приближенно представим в виде многоугольников Bmn иB mn соответственно:m −1∪ H ip,qi1i ∪ K mn , pi =Dmn ≈ Bmn =min(ki , li1 ), q1i =max(li 2 ,0),i =1m −1∪ H ip,qi 2 i ∪ K mn , pi =D mn ≈ B mn =min(ki , li1 ), q2i =max(li 2 , li 3 ,0),(3.32)i =1l −1li1 =−i + n + m, li 2 =+i n − m, li 3 =cR ( m − i ) − n  + 1, H il,k =∪ K ij .j =kЗдесьH il,k– полоса, ограниченная вертикальнымиt = ti −1 ,t = tiигоризонтальными ξ = lδξ , ξ = kδξ прямыми.Интегралы J 0mn , J1(mr )−1,n , J1(ms )−1,n в (3.23), (3.25) приближенно представимследующем виде:J 0 mn ≈ I=0 mn∫∫ G02 (ξn , ξ, tm − t ) p(ξ, t )dtd ξ=I 0 m−1,n + I 0 mn ,BmJ1m−1,n ≈ I1m−1,n = I1(mr )−1,n + I1(ms )−1,nJ1(mr )−1,n ≈ =I1(mr )−1,n2∑ ∫∫k =1Λ kr (ξn , ξ, tm − t ) p (ξ, t )dtd ξ,(3.33)Bmn \ K mnJ1(ms )−1,n ≈ I1(ms )−1,n=2∑ ∫∫k =1 Λ ks (ξn , ξ, tm − t ) p (ξ, t )dtd ξ,Bmn \ K mnЗначение интеграла I 0 m−1,n и I 0mn определяются так81m −1 ki −1I 0 m−1,n ≈ ∑ ∑ pij aij , I 0 m ,n ≈ pmn amn ,=aij∫∫ G02 (ξn , ξ, tm − t )dtd ξ,=i 1 =j 0Kijn ξmddm tξt ( n +1) dd∫amn=G02 (ξn , ξ, tm − t )dtd ξ + ε∫( m −1)ddt n ξ∫∫( m −1)dt ( n −1) dξG02 (ξn , ξ, tm − t )dtd ξ, (3.34)ε =1 (n ≠ 0),=(n 0).ε 0 =где коэффициентыaijинаходятся аналитически, в результатеamnвычисления двойного интеграла по элементарному прямоугольнику K ij спомощью первообразной для функции G02 ( θ, ξ, τ ) .Теперь рассмотрим интеграл I1m−1,n (см.

(3.33)). Он представляет собойсумму регулярныхI1(mr )−1,nи сингулярныхI1(ms )−1,nинтегралов. Первыевычисляются с помощью квадратурных формул Гаусса по четырем точкам (n* = 4 ) [149].=I(r )1m −1, nidt∫=при n* 4m −1 pi −1idt2pij aij , aij ∑ ∫∑ ∑==k 1=i 1 =j q1i( j +1) dξ∫( j +1) dξ∫Λ kr (ξn , ξ, tm −=t )dtd ξj ξ( i −1) ddttl1 =Λ kr (ξ n , ξ, tm − t )dtd ξ,j ξ( i −1) ddtdt d ξ 4 4∑ ∑ ωωll Λ kr (ξ n , ξl2 , t m − tl1 ), (3.35)2 2 =l1 1 =l2 1 1 2d(2 j + 1)dξdt(2i − 1)dtζ l1 +, ξl2 = ξ ζ l2 +,2222здесь n* значений аргумента ζ lPn* (ζ ) , а веса ωl =являются корнями многочлена Лежандра2(1 − ζl 2 )  Pn′* ( ζl )2, где Pn′* - первая производная полиномаЛежандра.Подынтегральная функцияинтегралы первогоK (m )Λ krи второгосодержит полные эллиптическиеE (m )рода, значения которыхвычисляются с применением аппроксимации многочленами [150]:82K (m ) =  a0 + a1m 1 + ...

+ a4 m 14  + b0 + b1m 1 + ... + b4 m 14  ln(1 m 1 ) + ε(m ),ε(m ) ≤ 2 ⋅ 10−8 ,===a0 1.38629436112,a1 0.09666344259,a2 0.03590092383,==a3 0.03742563713,a4 0.01451196212,===b0 0.5,b1 0.12498593597,b2 0.06880248576,==b3 0.03328355346,b4 0.00441787012;E (m ) = 1 + a1m 1 + ... + a4 m 14  + b1m 1 + ... + b4 m 14  ln(1 m 1 ) + ε(m ),ε(m ) ≤ 2 ⋅ 10−8 ,==a1 0.44325141463,a2 0.06260601220,==a3 0.04757383546,a4 0.01736506451,==b1 0.24998368310,b2 0.09200180037,==b3 0.04069697526,b4 0.00526449639,где m 1 = 1 − m .Неполные эллиптические интегралы первого F (δ , m ) и второго родаE (δ , m ) вычисляются с помощью метода Симпсона [149] ( δ эл.

, n - шаг вэллиптическом интеграле и число разбиений соответственно):1 F (δ , m )), где y (α) =nn −1δ эл. 1 − m si n 2 αI≈y2i −1 + 2∑ y2i  , I = y0 + yn + 4∑3  =i 1 =i 1 E (δ , m ), где y(α)= 1 − m sin 2 αδ, y = y (0), yn = y (δ), y2i −1 = y [ (2i − 1)δ эл. ] ,δ эл. =2n 0y2i y (2iδ эл. ).=Построим аппроксимацию интегрального оператора I1(ms )−1,n на областиB mn \ K mn .83I1(ms )−1,n 1 − η2 c 2k RI11( sm) −1,n + I12( sm) −1,n )ak (=∑ 4pk =1 η 2 2 (s) 1 − ηk cR I13m−1,n1ξnI11( sm) −1,nI12( sm) −1,n =∫∫p (ξ, t )(t − tm ) ξB mn \ K mn116(ξn )3 2cR2 ( tm − t ) − (ξn − ξ) 22∫∫B mn \ K mnB mn \ K mn(ξn ξ =0),dtd ξ,(3.36)p (ξ, t )(t − tm )2ln cR2 ( tm − t ) − (ξn − ξ) 2 dtd ξ,ξ∫∫ ( tm − t ) ξ ( ξnI=(s)13 m −1, n(ξn ≠ ξ, ξn ξ ≠ 0),22+ ξ − c ( tm − t )22R)32 − 2dtd ξИнтегралы I11( sm) −1,n , I12( sm) −1,n вычисляются с помощью метода весовыхкоэффициентов с применением канонической регуляризации [149], [148]:(s)11m −1, nIidt1 m−1 pi −1=∑ ∑ pijξn =i 1 =j q2 i(s)12 m −1, nI=a2ijidt∫jdξ a1ij , a1ij = ∫ (t − tm )dt( j +1) dξ∫j ξ( i −1) ddtdξc ( t m − t ) − ( ξ n − ξ)m −1 pi −1pij1=a2ij ,∑∑16(ξn )3 2 =i 1 =j q2 i jdξ(t − tm )dt( j +1) dξ∫2R22,(3.37)ln cR2 ( tm − t ) − (ξn − ξ) 2 d ξ2j ξ( i −1) ddtКак видно из формул (3.37), особенность первого порядка в a1ij , a2ij− ξ cR (tm − t ) .

Сингулярные коэффициентысосредоточена на прямых ξn =a1ij , a2ij в (3.37) определяются аналитически элементарными методамиинтегрирования [153]:84v +11 11 1llqnnlq=a1ij(−1) ∑∑ (−1) υυij (1) lnij (1) ,2 ∑2cR =l 0=q 0=v 0υlqij n (1) = cR δt ( m − i + v ) + (−1) q +l δξ ( ( j + q ) − n ) ;1a2=I ij(1) + I ij(2) + 2δξδt 2  m − i +  ,ij221 11nlq3 (i − n )l +1(1)+ m(m − i + n)  +=I ij cR ∑∑ (−1) −δt δ j (1) + ∑ ( −1)   ( i − n ) δt  3=l 0 ==n 0q 0 ( ( i − n ) δ )2 ( i − n ) δ  tlqlqnlqt+ δ j (2) ) ln υij (2) − ( i − n ) δt +δ j (3)    , 96 {lqlq1 ( a j ) mδt  a jlq+−+δδ=m ,j (1)t3 cR 23  cR31 13−δ lqj (2) =c mδt ) + ( a lqj ) ,3 ( R3 cR2)(δlqj (3)a lqj − 2cR mδt=cR,( n − j − q ) (−1)q+l δξ ,υlqij n (2)= cR δt ( m − i + n ) + a lqj ,a lqj =I=(2)iji−n− m  + δ lqj (4)  × 2∑ ( −1) ( n − j − l )δξ ∑ ∑ ( −1)  ( i − n ) δt 2 11ll= 01nq= 0 n= 0)× ln υlqij n (3) +δt   1 δt  − i  + δ lqj (5)  ,2  2 δlqj (4)δ( a )= −lq 2jlqj (5)a lqj =υlqij n (3)== −− cR 2 ( mδt )2cR 2a lqj − cR mδtcR2,,(3.38)( n − j − l ) (−1)q δξ ,cR δt ( m − i + n ) + a lqj .85=f ( x) x=ln x , g ( x) ln x приВ формуле (3.38) в силу свойств функции0 соответствующее слагаемое становится в пределеυlqij ν (1) =υlqij ν (2) =υlqij ν (3) =равно нулю.Если ядро оператора I13( sm) −1,n содержит ξ =0 , то I13( sm) −1,n = 0 (см.

(3.36)),поэтому рассмотрим I13( sm) −1,n при ξn= 0, ξ ≠ 0 :∑∑=I==i 1 =j q2 i( j +1) dξidtm −1 pi −1(s)13 m −1, n∫ ( tm − t )dt ∫pijj ξ( i −1) ddt)iddi tt ( j +1) dξm −1 pi −1∑∑pij=i 1 =j q2 i∫∫(( j +1) dξ∫Fr (ξ, tm − t )d ξdt +j ξ( i −1) ddtFr (ξ, tm − t ) =( tm − t ) ξ ξ2 − cR2 ( tm − t )ξ, tm − t )Fs (=(32 − 2ξ ξ2 − cR2=( tm − t ) d ξ∫(3.39)Fs (ξ, tm − t )d ξdt ,j ξ( i −1) ddt)32 − 2−−31 2t m − t ( ξ − cR ( t m − t ) ) 2 ,4 cR−31 2t m − t ( ξ − cR ( t m − t ) ) 2 .4 cRРегулярная составляющая Fr (ξ, tm − t ) является ограниченной функциейв B mn \ K mn , двойной интеграл от которой вычисляется с помощью формулы( − 3 2)Гаусса (см.(3.35)).