Диссертация (Удар сферической оболочки по упругому полупространству), страница 4

Скорость входа тела в водуопределяласьспомощьюфотодиодов.Данаоценказначенийприсоединенной массы и коэффициента сопротивления, проанализированоразвитие всплеска, образование и рост каверны, поведение тела в каверне.S. Hirano, S. Yoshikawa и Y. Himero [107] экспериментальным путемнашлираспределениедавленияподнищуплоскокилеватоготела,составленного из двух пластин, при ударе о жидкость (задача слемминга).Ими также найдены компоненты результирующей гидродинамической силыи исследовано брызгообразование и струйные явления.16Г.А.

Щегловым и А.В. Ермаковым [113] была изучена модельнаязадача аэроупругости, в которой рассматриваются упругие конструкции,обтекаемые пространственным потоком несжимаемой среды. Упругиеконструкции представляют собой две тонкостенные консольно закрепленныеоболочки вращения, связанные системой упругих связей, установленныерядом на непроницаемом экране так, что оси вращения перпендикулярныэкрану. Дискретизация упругой системы проводится в препроцессорекоммерческого пакета Patran путем разбиения геометрической модели начетырехугольные оболочечные конечные элементы. Для расчета параметровтечения и нестационарного аэродинамического нагружения конструкцийприменяется метод вихревых элементов, основанный на модели потоказавихренности Лайтхилла-Чорина.

Уравнение динамики упругой системырешаются методом разложения по собственным формам колебаний.Сравнение спектров нагрузок для упругой и абсолютно жесткой конструкциипоказало, что спектры изменяются незначительно.В работе В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук, Н.П. Подчасовым [114]предложен метод анализа нестационарных колебаний цилиндрическихоболочек, взаимодействующих с потоком жидкости и подверженныхвнешнему периодическому давлению с медленно изменяющейся частотой.Ю.Ф. Орловым и А.С.

Суворовым [115] проведено исследованиетрехмерной нестационарной задачи о колебаниях гибкой оболочки,движущейсяпоповерхностиидеальнойтяжелойжидкости.Силы,обусловленные поверхностным натяжением, не учитываются. Задачаформулируетсявпространствепотенциалаускорений.Потенциалпульсирующего источника находится из решения уравнения Эйлера иуравнения неразрывности с учетом условий на свободной поверхности(линейная теория малых волн) и условий на бесконечности. Функцияплотности распределения слоя диполей определяется из граничных условийна поверхности оболочки. Получены формулы для определения формы17гравитационных волн на поверхности жидкости и собственных частотколебаний оболочки.Вопросынестационарноговзаимодействиятонкостенныхконструкций, в частности, оболочек с грунтами изучены недостаточно. Вимеющихся решениях по удару сферических оболочек, связанных с жесткимтелом заданной массы, о поверхность грунта (А.В.

Бобров [116], И.П.Власова [117]) реакция грунта заменяется распределенным по пятну контактадавлением, величина которого в каждой точке определяется на основеприближенной одноосной модели грунта (Л.Я. Любин и А.С. Повицкий[118]). В этом случае контактное давление однозначно определяетсявертикальнойсоставляющейскоростидвиженияточкиоболочки,находящейся в зоне пятна. Найдены характеристики реакции.Аналогичная задача рассмотрена В.Г.

Баженовым, А.В. Кочетковым,С.В. Крыловым и В.Р. Фельдгуном [119]. При этом грунт рассматривался какидеальная сплошная пластическисжимаемая среда. Задача решаетсяконечноразностным методом.А.Я. Сагомонян и М.Н. Моргунов [120] исследовали задачу овысокоскоростном ударном входе упругой цилиндрической оболочки сжестким передним срезом в пластически сжимаемую среду (удар торцом).Здесь взаимодействие с грунтом осуществляется через жесткий диск.Существенноевзаимодействиятелзначениеидляэлементоврешенияпроблемыконструкцийсгрунтомударногоимеютэкспериментальные исследования. В работе Ю.К. Бивина, В.В.

Викторова иБ.Я. Коваленко [121] с помощью пенетрации при проникании с постояннойскоростью цилиндрического тела с коническим наконечником определеныфизико-механическиехарактеристикиглинистогогрунта(опытыпроводились на пневмоустановке в диапазоне скоростей входа от 1 до 20м/с).Результатыэкспериментапоткосомувходугруппытелвупругопластическое полупространство приведены Ю.К. Бивиным [122].18Обширные экспериментальные данные о внедрении жесткого шара вледяной и снежный покров представлены В.П.

Епифановым [123], В.П.Епифановым и В.П. Кузьменко [124].Различные методики экспериментов по взаимодействию твердыхударников с грунтом и их результаты привели в своих работах В.В. Баландини А.М. Брагов [125], Ю.Н. Бухарев, А.Е. Кораблев и М.И.

Хаймова [126], А.Б.Филяков, В.В. Коган и В.Н. Выходцев [127], V.I. Bateman, T.G. Came, D.M.McCau [128], S. Hirano, S.Yoshikawa, Y. Himeno [129].В.Н. Бакулин, П.Н. Овчаров и В.А. Потопахин [130, 131] наэкспериментальной установке, состоящей из пневмопушки с пультомуправления подачей сжатого газа, мишени и измерительно-регистрирующейаппаратуры с блоком автоматического управления, провели серию опытов поисследованию деформирования тонких конических оболочек с жесткиминаконечниками при их вертикальном проникании в грунт. Метание моделейосуществлялось при скоростях от 60 до 120 м/с. Короб мишени заполнялсяглиной.Измеренияотносительныхдеформацийпроводилисьтензорезисторами с базой 5 мм.Экспериментальные исследования о поведении оболочек при их ударебоковой поверхностью о песок описаны в работах А.Г.

Горшкова и А.И.Лободы [132] (цилиндрические оболочки) и А.Г. Горшкова, А.И. Лободы иС.В. Смелянского [133], А.Г. Горшкова и В.А. Колодяжного [134](коническиеоболочки).Испытанияпроводилисьнаспециальномэкспериментальном комплексе, в состав которого входит стенд длявоспроизведения ударного нагружения, измерительный комплекс и емкостидля жидких и сыпучих сред. Описание данного комплекса и его возможностиизложены в обзоре А.В. Вестяка, А.Г.

Горшкова и Д.В. Тарлаковского [135].Построены эпюры деформаций и напряжений по характерным сечениямоболочек в зависимости от определяющих физических и геометрическихпараметров и времени.19Результаты этих исследований могут служить основой для построенияи обоснования различных приближенных моделей грунтов.Таким образом, рассматриваемая в работе нестационарная контактнаязадачаобударетонкостеннойсферическойоболочкипоупругойполупространству исследована недостаточно, и поэтому ее решениеактуально.20§ 1.2. Уравнения движения упругой средыВработесферическойисследуетсяоболочкиполупространства.ипроцессупругогоДвижениеконтактноговзаимодействияоднородногополупространстваизотропногорассматриваетсяотносительно цилиндрической системы координат O1rϑz , где r – радиус, ϑ– угол, O1 z – ось системы координат; e r , eϑ , e z – ее ортонормированныйбазис.Начало системы координат O1 принадлежит недеформированнойграничной поверхности z = 0 полупространства и совпадает с точкойпервоначального контакта, а ось O1 z направлена вглубь полупространства.Предполагаем, что напряженно-деформированное состояние среды независит от угловой координаты ϑ , следовательно, в векторе перемещенийu = ur e r + uϑeϑ + u z e z угловая компонента uϑ тождественно равна нулю.Дляописаниядвиженияупругойсреды,заполняющейполупространство, используются дифференциальные уравнения Ламе вперемещениях [136 – 139]:r11 ∂ 2u r∂θ()uur ,=λ+µ+µ∆−111rr 2 ∂t 2∂rr1∂ uz∂θ= (λ1 + µ1 ) + µ1∆u z , θ = divu.2∂t∂z2(1.1)Здесь λ1 , µ1 и ρ1 – упругие постоянные Ламе и плотность материалаполупространства, t - время, ∆ – дифференциальный оператор Лапласа.Оператор Лапласа и дивергенция вектора перемещений в заданнойсистеме координат имеют вид:211 ∂  ∂  1 ∂2∂2Δ,=+r  +r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϑ2 ∂z 21 ∂ (rur ) ∂u zdiv u.=+r ∂r∂zВекторное поле перемещений u на основании теоремы Гельмгольцапредставим в виде суммы потенциальной и соленоидальной составляющих:=u grad ϕ + rot ψ ,(1.2)где ϕ, ψ - скалярный и векторный потенциалы упругих смещений.Операторы градиента и ротора определяются так:∂ϕ∂ϕer + e z ,∂r∂z∂ψ1 ∂ (rψ)er +ez , ψ =−ψe ϑ .rot ψ =∂zr ∂r=ϕgrad(1.3)С учетом (1.3) выражение (1.2) в координатной форме записипринимает вид:u=r∂ϕ ∂ψ∂ϕ 1 ∂ (rψ )−, uz = +.∂r ∂z∂z r ∂r(1.4)Подстановка (1.4) в (1.1) приводит к двум независимым волновымуравнениям относительно потенциалов ϕ и ψ :ψ ,, с22  ∆ψ − 2  = ψс12 ∆ϕ = ϕr1 ∂  ∂  ∂2=Δ,r  +r ∂r  ∂r  ∂z 2(1.5)22с12 =λ1 + 2µ1 2 µ1, с2 = , c1 > c2 .ρ1ρ1Здесь с1 , с2 - скорости волн растяжения-сжатия и сдвига соответственно.Ненулевые компоненты ε rr , εϑϑ , ε zz , ε rz тензора деформаций связаны сперемещениями соотношениями Коши:∂ur∂u zu, εϑϑ= r , ε zz=,∂r∂zr1  ∂ur ∂u z =ε rz+.∂r 2  ∂zε rr=(1.6)Связи ненулевых компонент σrr , σϑϑ , σ zz , σrz тензора напряжений сдеформациями описываются законом Гука:σrr = (λ1 + 2µ1 )ε rr + λ1 (εϑϑ + ε zz ),σϑϑ = (λ1 + 2µ1 )εϑϑ + λ1 (ε rr + ε zz ),(1.7)σ zz = (λ1 + 2µ1 )ε zz + λ1 (ε rr + εϑϑ ), σrz = 2µ1ε rz .23§ 1.3.

Уравнения движения оболочкиДля тонкой линейно упругой изотропной сферической оболочкииспользуется ортогональная система координат, связанная с линиямиглавных кривизн. При этом координатная поверхность Π совпадает сосрединной поверхностью оболочки и определяется так:: x R sin θ cos ϑ=, y R sin θ sin ϑ=, z R cos θ, θ∈ [ 0, π] , ϑ∈ [ 0,2π] ,Π=где x , y , z – прямоугольные декартовы координаты, R – радиус оболочки,θ и ϑ – меридиональная и окружная криволинейные координаты.Предполагаем, что напряженно-деформированное состояние оболочкине зависит от окружной координаты ϑ .Для описания движения оболочки используем уравнения движениямодели С.П. Тимошенко, учитывающие сдвиг и инерцию вращения сеченийнормальных к срединной поверхности [140]:∂ 2u 1  ∂TθθTTQctgρ0 h =+θ−+()θθϑϑ2 ,R  ∂θ∂t∂2w 1 ∂QTTρ0 h 2 =−−++ Q ctg θ  + p,θθϑϑ∂t∂θR(1.8)∂ 2c 1  ∂M θθρ0 I =− ctg θ ( M ϑϑ − M θθ )  − Q.2∂tR  ∂θЗдесь u , w , χ – тангенциальные, нормальные перемещения и уголотклонения ортогонального к срединной поверхности до деформацииматериального волокна за счёт сдвиговых деформаций; h – толщинаоболочки, ρ0 – плотность материала оболочки, Tθθ , Tϑϑ – компоненты тензоратангенциальных усилий; M θθ , M ϑϑ – компоненты тензора изгибающих24моментов; Q – перерезывающая сила, p – нормальное давление наоболочку, I =h3– коэффициент цилиндрической жесткости.12Физические соотношения определяются так:11µ 0 hk 2β,Tθθ =−TθθM θθ , Tϑϑ =Tϑϑ − M ϑϑ , Q =RRTϑϑ= h ( λ 0 + 2µ 0 ) εϑϑ + λ 0εθθ  , Tθθ= h ( λ 0 + 2µ 0 ) εθθ + λ 0εϑϑ  , (1.9)= I ( λ 0 + 2µ 0 ) κθθ + λ 0 κϑϑ  , M ϑϑ= I ( λ 0 + 2µ 0 ) κϑϑ + λ 0 κθθ  ,M θθгде k 2 = 5 6 – поправочный коэффициент, учитывающий неравномерностьраспределения касательных усилий по толщине;λ 0 , µ0– упругиепостоянные Ламе материала оболочки; εθθ , εϑϑ – компоненты тензорадеформаций; κθθ , κϑϑ – компоненты тензора изменения кривизны.Кинематические соотношения имеют вид:1  ∂u11  ∂w- u , + w  , εϑϑ = ( uctgθ + w ) , β = c - u, - u = R  ∂θRR  ∂θ(1.10)1  ∂c 1 ∂u 1 11  1 ctgθ  c - u  - w .=κθθκϑϑ -- w  , =R  ∂θ R ∂θ R R  R  R εθθ =25§ 1.4.