Диссертация (Удар сферической оболочки по упругому полупространству), страница 10

Особенность порядкав сингулярной части=ξ cR ( tm − t ) , интеграл от Fs (ξ, tm − t )Fs (ξ, tm − t ) сосредоточена на прямойвычисляется так:idt∫( j +1) dξ∫Fs (ξ, tm =− t )d ξdt( i −1) ddj ξtυ=lk22cR3211∑∑ (−1)l +k υ lk ,k 0=l 0=( m − i + k ) dt ( ( j + l ) d ξ − cR ( m − i + k ) d t ) − cR ( m − i + k ) dt− arcsin ( j + l ) dξ(3.40) ( j + l ) dξcR86Дискретный аналог разрешающей системы (3.14), (3.15), (1.22) сначальными условиями (3.16) состоит из следующих уравнений:ucm =b=ijp m−1 ki −1p ∑ ∑ pij bij + V0 mdt ,m0 =i 1 =j 0=∫∫ ( tm − t ) sin(2ξ)d ξdtKijidt∫( j +1) dξ∫ ( tm − t ) sin(2ξ)d ξdt =(3.41)j ξ( i −1) ddt12= sin((2 j + 1)ddξ )sin( ξ ) ( 2 ( m − i ) + 1) dt ,2=bmucm (2 − ucm ),(3.42) t + cos(nδξ )amn= V0 mδt cos 2 (nδξ ).

(3.43) γ I1m−1,n − cos(nδ) I 0 m−1,n  − pmn  γδНачальные условия для данной системы имеют вид:=uc 0 0,=b0 0.(3.44)На каждом временном шаге с номером m из формулы (3.41)определяется значение глубины проникания оболочки в полупространствоucm . Подставляя ucm в (3.42), находим радиус области контакта bm .После этого определяется решение pmn уравнения (3.43)pmn( γI=1m −1, n− cos(nδξ ) I 0 m−1,n ) − V0 mδt cos 2 (nδξ ) t + cos(nδξ )amnγδ.(3.45)87В (3.43), (3.45) интеграл I1m−1,n вычисляется с помощью квадратурныхформул (3.33), (3.35) – (3.40), I 0 m−1,n и amn находятся по формулам (3.34).Нормальные перемещения оболочки и полупространства согласно(3.2), (3.13), (3.23), (3.25), (3.30), (3.33) – (3.40) вычисляются такm −1 ki −1wnm = w nm + V0 nδt cos mδξ , w nm = pmn amn + ∑∑ pij aij ,=i 1 =j 0u znm =− pmn δt +m −1 pi −1∑ ∑ p a=i 1 =j q1iij ij+ 1 − η2 c 2k RI11( sm) −1,n + I12( sm) −1,n )ak (+∑ 4 pk =1 η 2 2 (s) 1 − ηk cR I13m−1,n2(3.46)(ξn ≠ ξ, ξnξ ≠ 0),(ξnξ =0).Предложенный алгоритм расчета реализован в среде Си++ [154].88§ 3.4.

Примеры расчетовВ качестве первого примера рассмотрим вертикальный удар стальнойсферической оболочки по полупространству, заполненному сталью. Дляпроведениясравненияразработанныхврезультатов,диссертацииполученныхметодов,спараметрыпомощьюзадачидвухвыберемсоответствующими примеру 1 § 2.4:=R 1, =h 0.05,=γ 1, =V 0.1.На рис. 3.1. и 3.2. показаны зависимости от времени положенияграницы области контакта и скорости ее расширения соответственно.Рис. 3.1.89Рис. 3.2.Зависимости от времени контактного давления и нормальныхперемещений в разных точках границы полупространства представлены нарис.

3.3. и 3.4. Сплошная кривая соответствует лобовой точке, штриховая –точкам с координатой r = 0.1 , штриховая пунктирная – точкам с координатойr = 0.2 . Отметим, что возникновение ненулевых значений контактногодавления соответствуют моментам времени, при которых граница областиконтакта достигает соответствующих точек поверхности полупространства.Что же касается нормальных перемещений на рис.

3.4, то здесь при r = 0.2ненулевые перемещения возникают в момент времени τ =0.152 . Однако вэто время радиус области контакта еще не достиг значения b = 0.2 . Этообъясняется тем, что нормальные перемещения начинают выходить заобласть контакта. При этом смещения поверхности полупространствадостигают точек с координатой r = 0.2 быстрее, нежели туда приходитграница области контакта.90Рис. 3.3.Рис.

3.4.91Распределение контактного давления в различные моменты временипредставлено на рис. 3.5. Сплошная кривая соответствует значению τ =0.1 ,штриховая – τ =0.3 , штриховая пунктирная – τ =0.6 . Как видно изприведенных результатов, с течением времени в лобовой области давлениепонижается, и, наоборот, в области близкой к границе наблюдаетсязначительный рост контактного давления. Это объясняется податливостьюоболочки – в лобовой области с течением времени начинает возникатьчастичное отслоение граничных поверхностей, в то время как вся«контактная нагрузка» начинает перераспределяться в область, близкую кгранице контакта.Рис. 3.5.На рис. 3.6. изображены кривые, иллюстрирующие распределениенормальных перемещений поверхности полупространства в различныемоменты времени. Сплошная кривая соответствует значению τ =0.1 ,штриховая – τ =0.3 , штриховая пунктирная – τ =0.6 .

Здесь хорошо заметен,особенно на кривых для τ =0.3 и τ =0.6 , выход перемещений за границу92области контакта. Аналогичные графики для нормальных перемещенийоболочки (в относительно большем масштабе) представлены на рис. 3.7.Рис. 3.6.Рис. 3.7.93На рис. 3.8. представлены распределения нормальных перемещенийповерхностиполупространства(сплошнаякривая),оболочкикакдеформируемого тела (штриховая кривая) и оболочки как абсолютнотвердого тела (штриховая пунктирная кривая) в момент времени τ =0.585 .Этот рисунок дает хорошее графическое подтверждение относительноточности определения границы области контакта из условия пересечениянедеформированныйвертикальнаяграницштриховаяполупространствапрямаясоответствуетиоболочки.положениюЗдесьграницы,определенному из условия пересечения недеформированный поверхностей(1.22) b = 0.331 , а вертикальная штриховая пунктирная прямая – положениюграницы, определенному после расчетов из условияbист =max  w ( r ) − u z ( r )  =⇒0 bист =0.334.rПри этом относительная погрешность составляет менее одногопроцента:bист − b100% = 0.898% .bист94Рис.

3.8.Сравнение результ ат ов, полученных с помощью мет одов и алгорит моввт орой и т рет ьей глав.Рисунки 3.9. – 3.11. иллюстрируют сравнение результатов, полученныхпри расчетах по методам второй и третьей главы. Сплошные кривыесоответствуютрезультатам,полученнымдляпроизвольногоэтапавзаимодействия (глава 3), а штриховые – для сверхзвукового этапа. На рис.3.9., 3.10. представлены зависимости нормальных перемещений от времени влобовой точке (рис. 3.9.) и точки с координатой r = θ = 0.05 (рис.

3.10.). Приэтом обрыв штриховых линий на графиках соответствует моменту времениокончания сверхзвукового этапа взаимодействия. На рис. 3.11. изображеныраспределения нормальный перемещений при τ =0.05 . Видно, что отличие врезультатах незначительное.95Рис. 3.9.Рис. 3.10.96Рис. 3.11.Отметим, что методы главы 2 и 3 можно рассматривать как дополнениядругдруга.Алгоритмрешениязадачинапроизвольномэтапевзаимодействия по методу главы 3 требует значительно больших затратвычислительных ресурсов и машинного времени по сравнению с алгоритмомдля сверхзвукового этапа взаимодействия.

Поэтому, если требуется быстрооценить интенсивность развития процесса нестационарного контакта, томожно рекомендовать использование алгоритма главы 2. Если затемпоявится необходимость детального исследования дальнейшего развитияпроцесса, то можно перейти к расчету по алгоритму главы 3.97Во втором примере исследуем влияние начальной скорости движенияоболочки на процесс контактного взаимодействия. На рис. 3.12. – 3.20.показано сравнение результатов, полученных для трех различных значенийначальной скорости V0 = 0.1 (сплошные кривые), V0 = 0.05 (штриховыекривые), V0 = 0.025 (штриховые пунктирные кривые).

Из представленныхграфиков видно значительное влияние (причем, нелинейное) начальнойскорости на количественные значения полученных результатов. При этомкачественные отличия небольшие.Рис. 3.12.98Рис. 3.13.Рис. 3.14.99Рис. 3.15.Рис. 3.16.100Рис.

3.17.Рис. 3.18.101Рис. 3.19.Рис. 3.20.102Сравнениесрезультатамидругихавторов.Отметим,чторассмотренной в диссертации проблеме наиболее близка лишь однапубликация других авторов, а именно работа [20]. В ней рассмотренаподобная задача, но в несколько иной постановке. Для описания движенияоболочки использованы уравнения Кирхгофа-Лява, начальные и граничныеусловия аналогичны.

Главное отличие заключается в методах решения. Вработе [20] авторы не используют принцип суперпозиции. Решение основанона сведении исходной постановки задачи к задаче об ударе оболочки пополубесконечному цилиндру достаточно большого радиуса, которыйвыбирается так, чтобы возмущения в течение всего процесса взаимодействияне успевали достичь боковой границы упругого цилиндра. При этомпоявляется возможность сразу использовать разложения заданных и искомыхфункций в ряды Фурье по соответствующим системам собственных функцийсферической оболочки (полиномы Лежандра и их производные) иполубесконечного упругого цилиндра (функции Бесселя нулевого и первогопорядка).

При этом, конечно, появляются дополнительные граничныеусловия на боковой поверхности цилиндра, которые, впрочем, можновыбирать произвольными. С использованием интегрального преобразованияЛапласа по времени и теоремы о свертке, задача сведена к бесконечнойсистеме интегральных уравнений Вольтера II рода, которая решена численнос применением методов механических квадратур и редукции.На рис.

3.21. представлено сравнение результатов, полученных сиспользованием метода и алгоритма главы 3 настоявшей диссертации срезультатами из работы [20]. Здесь изображены зависимости нормальныхперемещений в лобовой точке оболочки от времени. Все безразмерныевеличиныииспользуемымипараметрывработеприведены[20].всоответствиеМатериалоболочкис–аналогами,сталь,аполупространства – алюминий. Кривые с номером 1 соответствуют вариантуV0 = 0.001 , h = 0.01 , а с номером 2 – V0 = 0.005 , h = 0.02 .10312Рис. 3.21.Сплошные кривые соответствуют решению, полученному по методуглавы 3, а штриховые – результатам работы [20]. Видно, что существенноеколичественное∆отличие(порядкаw1 ( τ ) − w2 ( τ )max=100% 13.04% ,τw1 ( τ )10%w1 ,поw2норме–разностиперемещения,соответствующие кривым 1 и 2) проявляется в случае относительно болеетонкой оболочки (кривые 1).