Диссертация (Удар сферической оболочки по упругому полупространству), страница 8

Этот результат согласуется с соответствующиманалитическимисследованиемповеденияконтактногодавлениявнестационарных контактных задачах на сверхзвуковом этапе расширенияобласти контакта, проведенным в работе [9].57Рис. 2.4.Зависимости нормальных перемещений оболочки от времени в точкахс разными угловыми координатами представлены на рис. 2.5. Сплошнаякривая соответствует лобовой точке оболочки, штриховая – точке скоординатой θ =0.04 , штриховая пунктирная – θ =0.08 .

Здесь заметно, чтохарактер этих зависимостей близок к линейному. Момент времени появленияненулевых перемещений соответствует моменту достижения радиусомрасширяющейся области контакта b ( τ ) соответствующей точки.58Рис. 2.5.Распределения нормальных перемещений оболочки по угловойкоординате θ в различные моменты времени представлено на рис. 2.6.Сплошная кривая соответствует моменту времени τ =0.01 , штриховая –τ =0.03 , штриховая пунктирная – τ =0.06 .

Точки на графике, в которыхнормальные перемещения обращаются в нуль, соответствуют положениюграницы области контакта в соответствующий момент времени.59Рис. 2.6.Нарис.2.7.показаносравнениераспределенийнормальныхперемещений оболочки (сплошные кривые) и оболочки как абсолютнотвердого тела uс (штриховые кривые) в различные моменты времени.60τ = 0.01τ = 0.03τ = 0.06θРис. 2.7.Для оценки сходимости по числу удерживаемых при расчете членоврядов используется нормаw(θ=, τ) sup w(θ, τ) .(2.30)θ ,τ≥0Дискретный аналог этой нормы имеет вид (верхний индекс указываетна число учитываемых членов ряда):( )w=N( )sup wij=,Nw=ijNi , j∈N{0,1,2,...}.(2.31)61Относительная погрешность представленных выше результатов впроцентном отношении по норме (2.31) составляет=εw(4) − w(5)=100% 2.7%.w(4)В расчетах удерживалось четыре члена рядов в разложениях пополиномам Лежандра и их производным, так как учет большего числа членовдает незначительное уточнение результатов.62Второй пример иллюстрирует сравнение результатов при варьированиипараметров материала оболочки и полупространства.

Соответствующиебезразмерные параметры имеют следующие значения:=R 1,=h 0.05, =V 0.1;γ =1 - оболочка и полупространство - сталь (случай 1);γ =0.95 - оболочка - алюминий, полупространство - сталь (случай 2);γ =0.77 - оболочка - сталь, полупространство - медь (случай 3).В расчетах удерживались первые четыре члена рядов (2.8).Для проведения корректного сравнительного анализа результатов,значения контактного давления на графиках представлены по отношению кодной и той же размерной величинеh(λ∗ + 2µ∗ ), где λ∗ , µ∗ – упругиеRпостоянные Ламе для стали.На рис.

2.8. представлены зависимости контактного давления отвремени в лобовой точке оболочки. Здесь и далее сплошные кривыесоответствуют случаю 1, штриховые – случаю 2, штриховые пунктирные –случаю 3.Аналогичные зависимости представлены на рис. 2.9. для точкиоболочки с угловой координатой θ =0.05 .Распределения контактного давления по угловой координате в моментвремени τ =0.05 иллюстрирует рис. 2.10.Отметим для всех трех случаев похожий качественный характер этихрезультатов.

Однако, заметны значительные количественные отличия, анализкоторых позволяет сделать следующий вывод.Наиболееинт енсивныеповеличиеконт акт ныенапряж ениясоот вет ст вуют случаям «более подат ливая оболочка – менее подат ливоеполупрост ранст во», а наименее инт енсивные – случаям «более подат ливоеполупрост ранст во – менее подат ливая оболочка».63Рис. 2.8.Рис.

2.9.64Рис. 2.10.На рис. 2.11. представлены зависимости нормальных перемещений влобовой точке от времени. Видно, что наибольшая глубина погруженияоболочки в полупространство соответствует случаю оболочка – сталь,полупространство – медь. А наименьшая глубина погружения соответствуетслучаю оболочка – алюминий, а полупространство – сталь.Вывод очевиден: с повышением ж ест кост и оболочки и подат ливост иполупрост ранст ва глубина погруж ения увеличивает ся и, наоборот , спониж ением ж ест кост и оболочки и подат ливост и полупрост ранст ваглубина погруж ения уменьшает ся.На рис. 2.12. представлено распределение нормальных перемещений поугловой координате в момент времениτ =0.05 .

Сплошные кривыесоответствуют случаю 1, штриховые – случаю 2, штриховые пунктирные –случаю 3.65Рис. 2.11.Рис. 2.12.66Глава 3. КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОМВРЕМЕННОМ ИНТЕРВАЛЕРазработанный в предыдущей главе алгоритм решения нестационарнойконтактной задачи для сферической оболочки и упругого полупространстване применим в случае дозвукового этапа контактного взаимодействия. Этообъясняется тем, что носитель нормальных перемещений оболочки надозвуковом этапе не совпадает с областью контакта.

Следовательно, в этомслучае соотношение (2.2) не справедливо и необходимо использовать другойподход к решению задачи. Он также основан на интегральных соотношенияхмежду нормальными перемещениями и контактным давлением. При этом,как и в случае сверхзвукового этапа взаимодействия, процесс построениярешения осложняет неизвестное заранее положение границы областиконтакта. Однако, если использовать линеаризованное соотношение (1.22),которое позволяет определить положение границы в нулевом приближении,становиться возможным построить разрешающее задачу интегральноеуравнение, которое вытекает из граничных условий.

При этом необходимознать две функции влияния: поверхностную функцию влияния дляполупространства (1.34), которая построена в работе [9] и неизвестнуюфункцию влияния для оболочки, построению которой посвящен следующийпараграф.67§ 3.1. Функция влияния для оболочкиДля решения задачи о контактном взаимодействии сферическойоболочки и упругого полупространства на произвольном временноминтервале используются функции влияния для полупространства и оболочки.Поверхностная функция влияния (1.34) для полупространства известна.Материал этого параграфа посвящен решению нестационарной задачи опостроении функции влияния для упругой сферической оболочки.Функции влияния для оболочки представляют собой перемещения иугол поворота как решения задачи (1.15) – (1.17) с однородными начальнымиусловиями при воздействии сосредоточенного мгновенного нормальногодавления [30 – 34]:p = δ(τ)δ(θ − ξ)(3.1)где δ(τ), δ(θ − ξ) - дельта-функции Дирака.Сведем неоднородные начальные условия (1.18) к однородным.

Дляэтого представим тангенциальные и нормальные перемещения оболочки такu = u − V0 τ sin θ, w = w + V0 τ cos θ(3.2)При этом новые функции u и w удовлетворяют нулевым начальнымусловиям. Подстановка (3.2) в (1.15) – (1.17) не изменяет последние иприводит к системе уравнений относительно неизвестных u , w , χ , которые сучетом (3.1) и являются функциями влияния для оболочки.

Для них введемспециальные обозначения:G01 (θ, ξ, τ) = u , G02 (θ, ξ, τ) = w , G03 (θ, ξ, τ) =χ(3.3)68Граничные условия в задаче об определении функций влияния состоятв требовании ограниченности решения в полюсах оболочки θ =0 и θ = π .Для решения поставленной задачи используем разложения функцийG01 , G02 , G03 и δ ( θ − ξ ) в ряды по полиномам Лежандра Pn ( cos θ ) и ихпроизводным: G01 ( θ, ξ, τ )  ∞  G01n ( τ, ξ )  dPn ( cos θ ) = ∑θξττG,,dθ() 03 n=1  G03n ( , ξ )  G02 ( θ, ξ, τ )  ∞  G02 n ( τ, ξ ) = Pn ( cos θ ) ∑dξdθ−ξ()()n0=n(3.4)Коэффициенты δn (ξ) находятся так:π2n + 12n + 1=d n ( ξ)dθ−ξPcosθsin=θdθPn ( cos ξ ) sin ξ)()(n2 ∫02(3.5)Подставляя (3.4) с учетом (3.3) в (1.16), (1.17), а затем в (1.15),используя соотношения для полиномов Лежандраd 2 Pn (cos θ)dP (cos θ)=−  ctgθ n+ n(n + 1) Pn (cos θ)  ,2dθdθи учитывая малость параметра a по сравнению с единицей ( a << 1),получаем систему уравнений относительно неизвестных коэффициентовразложений (3.4), зависящих от времени τ и угловой координаты ξ :69∂ 2G01n ( ξ, τ )γ= L11nG01n ( ξ, τ ) + L12 nG02 n ( ξ, τ ) + L13nG03n ( ξ, τ )∂τ22∂ 2G02 n (ξ, τ)δ(τ)δn (ξ)(3.6)γ=L21nG01n ( ξ, τ ) + L22 nG02 n ( ξ, τ ) + L23nG03n ( ξ, τ ) +2∂τh2γ2∂ 2G03n (ξ, τ)= L31nG01n ( ξ, τ ) + L32 nG02 n ( ξ, τ ) + L33nG03n ( ξ, τ ) ,∂τ2Здесь d − b − mc + bb ()2L=mbccmbmb+−−−mbbb −− aaa (3.7)где d = 1 − α 0 , b = b0 k , c = 1 + α 0 , m = n(n + 1).В пространстве преобразований Лапласа уравнения (3.6) с учетомнулевых начальных условий запишутся следующим образом (значок " L "означает трансформанту):γ 2 s 2G01L n (=ξ, s ) L11mG01L n (ξ, s ) + L12 mG02L n (ξ, s ) + L13mG03L n (ξ, s )γ 2 s 2G02L n (=ξ, s ) L21mG01L n (ξ, s ) + L22 mG02L n (ξ, s ) + L23mG03L n (ξ, s ) + ζ n (ξ)(3.8)γ 2 s 2G03L n (=ξ, s ) L31mG01L n (ξ, s ) + L32 mG02L n (ξ, s ) + L33mG03L n (ξ, s ),P (cos ξ)sin(ξ) (2n + 1)где ζ n (ξ) = n, s - параметр преобразования.h2Отметим, что для решения исходной задачи достаточно определитьтолько одну функцию влияния – G02 .Решая систему уравнений (3.8), находим изображение коэффициентовразложения функции влияния G02L n (ξ, τ) :70P ( s 2 , m)G=(ξ, τ)ζ n (ξ),R ( s 2 , m)L02 n=P ( s , m)k2P ( s, m), P ( s, m) ∑ a∑=l , k −lkk=k 0=l 0=R ( s , m)3Rk ( s, m), R k ( s, m)∑=s l m k −l ;k∑a=k 0=l 0*l ,k −l(3.9)s l m k −l .Коэффициенты в формулах (3.9) определяются так:bd−b 0 A = ( aij ) =  γ 2 (ad − ab − b ) −γ 2 a 0 3×300 −γ 4 a(3.10) (c − 2)2bcdbc02 − ad + ab ) − bd  γ 2 (a (c(−2 + 2b + c) + bd ) − b ) γ 2 ab−γ2c(b=A* ( =a*ij )2 4×4 −γ 4 (a (b − d + 2c) + b )−aγ 4 (b + 1)0−aγ 600ПосколькуизображениеG02L nпредставляетсобойправильнуюрациональную дробь относительно параметра s , то соответствующийоригинал при каждом n определяем аналитически с помощью второйтеоремы разложения для преобразования Лапласа [143, 152, 41]G02 n (ξ=, τ)∑ res GksnkL02 nznk snk2 .(ξ, s )e sτ , R ( znk=, n) 0,=(3.11)Подставляя найденные коэффициенты G02 n (ξ, τ) в соответствующееразложение (3.4), получаем функцию влияния для оболочки G02 ( θ, ξ, τ ) в7100.00 виде ряда, который является расходящимся, но, следует отметить, что всмысле обобщенных функций он сходится.72§ 3.2.

Система разрешающих уравненийПриисследованииконтактноговзаимодействияоболочкииполупространства на произвольном этапе основное уравнение системыразрешающих уравнений вытекает из последнего граничного условия вгруппе (1.21), которое при учете (3.2) преобразуется к видуuz =Нормальные( w + V0τ cos θ ) cos θ,перемещенияоболочкииr ≤ b ( τ ).полупространства(3.12)связанысконтактным давлением интегральными соотношениями, базирующимися напринципе суперпозиции [9, 34, 36 – 41]:w= J 0 ( θ, t ) , u=J1 ( θ, t ) ,zt=J 0 (θ, t)b( t )∫ dt ∫ G020(θ, ξ, t − t ) p (ξ, t )d ξ,0tb( t )00J1 (θ, t) = γ ∫ dt∫ Λ(θ, ξ, t − t ) p(ξ, t )d ξ,(3.13)2pΛ (θ, ξ, t) =ξΛ (θ, ξ, t), Λ (θ, ξ, t) = ∫ G1 ( θ2 + ξ2 − 2θξ cos α , t)d α.0В (3.13) принято допущение о малых относительных размерах пятна контакта( r ≈ θ ).Из (3.12) и (3.13) вытекает основное разрешающее уравнениеJ1 (θ, τ) − J 0 (θ, τ)cos θ = V0 τ cos 2 θ.(3.14)До замкнутой системы разрешающих уравнений оно дополняетсякинематическим соотношением (1.22), уравнением движения оболочки какабсолютно твердого тела, записанным в интегральной форме73uc= V0 t +1Jc ( t) ,m0(3.15)t b (t )J c ( t ) = p∫∫ p ( ξ, t )( t − t ) sin(2ξ)d ξdt ,0 0а также начальным условиемb(0) = 0.(3.16)Ядро Λ (θ, ξ, τ) интегрального оператора J1 (θ, τ) в (3.13) найдено вявном виде в работе [9]:Λ (θ, ξ,=τ)2∑{Λk =1kr(θ, ξ, τ) + Λ ks (θ, ξ, τ) H ( (θ + ξ) − cR ττ)}H ( − ηk θ − ξ ) , (3.17)τ2 2(θ ≠ ξ, θξ ≠ 0), π 1 − ηk cR Λ s (θ, ξ, τ)ak  1(θ = ξ, θξ ≠ 0),Λ ks (θ, ξ, τ) = 4 − 2η  πcR τ32 2222 2 − 21()(θξ = 0),ccτξ−ηθ+ξ−τkRRΛ s (θ, ξ, τ) = −Λ kr (θ, ξ=, τ)11ξln cR2 τ2 − (θ − ξ) 2 ,−2 22θ cR τ − (θ − ξ) 16θ θξτ ξΛ k 2 (θ, ξ, τ) + ak 1 − ηk2 cR2 g k (θ, ξ, τ) H (m)  ,4 πη 1  (θ, ξ, τ) + 1 + 1 ln m + 1 ln(4θξ)  (θξ ≠ 0),Λ1g k (θ, ξ, τ) = 4θ θξ  k1m1 440(θξ = 0). (θ, ξ, τ)= 4(θξ) 2 Λ (θ, ξ, τ), a =Λk1k113(2 − η c )P ( c ,1)2 2 2R22R, a2 = 41 − cR2,P2 ( cR2 ,1)22P2 ( ξξξ+ β2 τa, τ ) = 2 − 2aτ, 2 = 4 η2 − cR2 2, β2 = 16 ( η2 − 1) ( η8cR2 ) .74ЗдесьсRрегулярные– скорость волны Рэлея,составляющие,являющиесяη1 =1, η2 =η , Λ kr (θ, ξ, τ)непрерывными–функциями;Λ ks (θ, ξ, τ) – сингулярные составляющие ядра Λ , H ( x ) - функция Хевисайда.Функция Λ k 2 не имеет особенностей и при θξ ≠ 0 определяется так:L k=H (nk1 ) [ H (− nk ) Lk 2 (−1) + H (nk ) Lk 2 ( zk1 )] ,2 (θ, ξ, τ)1Lk 2 ( y ) = ∫y22χτ)k ( R1 ,1 − z2dz , R12 = θ2 + ξ 2 − 2θξz , nk =1 2θ + ξ ) − τ2k  , (3.18)(4θξ θ2 + ξ2 − τ2k1  22τ k − ( θ − ξ ) , zk 1 =nk1 = 1 − nk =, τk = τ ηk .4θξ 2θξФункция χ k введена ранее (см.