Отзыв оппонента1 (Топологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела)

В диссертационный совет Д 212.125,14 при Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете) ОТЗЫВ официального оппонента на диссертацию Рябова Павла Евгеньевича кТопологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела», представленную на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук по специальности 01.02.01- теоретическая механика. Представленная диссертация посвящена развитию топологических методов исследования интегрируемых гамильтоновых систем, После работы Смейла в 1972 году бь>ли разработаны различные методы топологических исследований и классификации интегрируемых гамильтоновых систем.

Современные исследования в этом направлении посвящены все более тонкой топологической классификации, позволяющей идентифицировать интегрируемые системы с точностью до параметризаций фазовых траекторий. Другое развитие методов топологического анализа связано с построением и изучением свойств бифуркационных комплексов интегрируемых систем. Одновременно с этим активно развиваются методы топологического анализа, основанные на изучении критических подсистем и стратификации фазового пространства, где основные результаты получены М.П, Харламовым и П.Е. Рябовым. Поэтому объявленная автором цель диссертационной работы: исследование фазовой топологии вполне интегрируемых гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы, несомненно, является актуальной проблемой современной теории динамических систем.

Стоит отметить, что при исследовании конкретных интегрируемых систем автор не только:развивает-уже.,„ 1 Ё~ .,я~ известные методы исследования, но и разрабатывает новые инструменты для исследований вместе с методологией их применения. Именно использование новых методов позволило, в частности, существенно расширить круг задач, в которых стало возможно провести наиболее полный топологический анализ фазовыхтраекторий. Выбранные для апробации разработанных методов системы с двумя и тремя степенями свободы являются интегрируемыми возмущениями классических интегрируемых систем в теоретической механике. Это позволяет проверить все полученные автором результаты в пределе нулевого возмущения. В то же время, каждая из исследованных задач представляет большой интерес, как с точки зрения развития теоретической механики, так и с точки зрения практического применения полученных результатов и развиваемых в диссертации методов, Диссертация П.Е.

Рябова изложена на 374 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 189 наименований. Перейдем к изложению содержания диссертации. Первая глава диссертации, составляющая большую часть диссертации, посвящена исследованию топологии гиростата Ковалевской, интегрируемость которого была независимо открыта И,В. Комаровым и Х.М.

Яхьей. Для данной системы с двумя степенями свободы представлена полная классификация бифуркаций, возникающих в особых периодических движениях, получены разделяющие значения гиростатического момента, описана топология приведенных систем и динамика системы в окрестности особых точек. Следует отметить не только способность автора к проведению детальной и тщательной классификации топологии системы с использованием современных аналитическим методов исследования, но и его стремление к представлению результатов в виде содержательных и прекрасно оформленных диаграмм и таблиц. Вторая глава диссертации посвящена изложению, исследованию и воплощению идеи о топологическом атласе неприводимых интегрируемых систем с тремя степенями свободы на примере так называемого волчка Ковалевской в двойном силовом поле, Для систем с тремя степенями свободы построение атласа сводится к построению совокупности разделяющих поверхностей и построении для каждой области оснащенной изознергетической диаграммы.

Дальнейшее исследование и сопоставление построенных диаграмм позволяет полностью описать грубую трехмерную топологию регулярных изоэнергетических уровней. Как и ранее, в этой главе автор также представил много примеров оснащенных диаграмм различных типов, которые весьма информативны. В третьей главе диссертации проведен топологический анализ сингулярного возмущения системы Чаплыгина, которое было построено Д.Н.

Горячевым. Переменные разделения для исходной системы, найденные Чаплыгиным, остаются переменными разделения и для возмущенной системы. Автор использует переменные разделения, совпадающие с переменными Чаплыгина с точностью до не тривиальной бирациональной замены переменных на соответствующей гиперэллиптической кривой второго рода, для исследования фазовой топологии возмущенной системы.

Для данной интегрируемой системы проведена аналитическая классификация особенностей, построены бифуркационные диаграммы и грубый инвариант Фоменко. Эта глава прекрасно иллюстрирует методы топологического анализа интегрируемых систем с двумя степенями свободы, которые обсуждались автором в первой главе. Четвертая глава диссертации посвящена исследованию фазовой топологии интегрируемой системы с тремя степенями свободы интегрируемому возмущению гиростата Ковалевской в двойном поле. Как и ранее, для описания топологии всей системы в целом используется метод критических подсистем.

Для каждой из подсистем построены бифуркационные диаграммы, обнаружена весьма редкая вырожденная особенность второго ранга (ориентируемая и не ориентируемая), построен пример сетевой диаграммы, которая является аналогом многомерной сети Фоменко. В пятой главе диссертации исследуется фазовая топология интегрируемого возмущения волчка Ковалевской, которая была предложена В.В. Соколовым, Для данной системы с двумя степенями свободы проведена полная классификация относительных равновесий и изоэнергетических многообразий приведенных систем, найдено и описано множество критических точек, построены оснащенные бифуркационные диаграммы и диаграммы СмейлаФоменко.

Достоверность теоретических результатов работы основывается на строгих доказательствах. Результаты работы полностью воспроизводятся и находятся в хорошем соответствии с результатами, полученными другими авторами. Замечания по диссертации сводятся к двум методическим моментам: Первое: в главах 1,3 и 5 автор исследует интегрируемые системы с двумя степенями свободы, а в главах 2 и 4 интегрируемые системы с тремя степенями свободы. Такое чередование приводит к некоторым затруднениям при восприятии материала диссертации.

Второе замечание касается недостаточно полного изложения исторической и методической части работы, а также к использованию терминологии, принятой только в этой области исследования. Например, на странице 307 "система развалилась на три подсистемы" и т.д. Однако данные замечания не снижают общего достоинства диссертации и не влияют на положительную оценку диссертационной работы, которая в целом оставляет хорошее впечатление и своими результатами, и их представлением (визуализацией).

Официальный оппонент, Доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной физики физического факультета СПбГУ Г- А.В.Цыганов Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет» Почтовый адрес: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9, Тел. +7 (812) 428- 43 - 43 Эл.поч Сайт:Ь равд Диссертация Рябова П.Е. полностью удовлетворяет требованиям ВАК, предъявляемым к диссертации на соискание ученой степени доктора физикоматематических наук по специальности 01.02.01 — теоретическая механика, и, вне всякого сомнения, автор заслуживает присуждения ему ученой степени доктора физико-математических наук, Все результаты, выносимые на защиту, получены автором впервые, своевременно опубликованы в журналах с высоким импакт-фактором, обсуждались на престижных российских и международных конференциях и получили высокую оценку специалистов.

Автореферат правильно передает содержание диссертации. .