Диссертация (Разработка квазиодномерных моделей гидродинамики и теплообмена двухфазных неравновесных потоков на основе универсальной системы замыкающих функций), страница 80

Одним из примеровконкретного воплощения К1М модели замыкающего соотношения в форме (М.8) метода возмущений для коэффициента трения является соотношение (4.65)*), а с использованием соответствующих факторов аналогии (см. разделы 4.1.2–4.1.4) и для коэффициента теплообмена. Аналогичный вид имеют коэффициенты трения для каналов кольцевой геометрии и ячеек сборкиТВС при соответствующем выборе референсных зависимостей.Дальнейшее обобщение К1М подхода (для течений в каналах сложной геометрии) возможно на пути использования приёма переноса граничного условия со сложной (возмущённой)границы на более простую (невозмущённую) [238, 239] с последующим применением теориивозмущений при изменённых краевых условиях. Необходимые модельные формулировки содержатся в разделах 3.2 [168] и 3.3 [166–170], посвящённых описанию течений в каналах кольцевой геометрии и ячейках сборки ТВС.Таким образом, квазиодномерный подход можно считать одним из воплощений методовтеории возмущений при изменении физических параметров, краевых условий и геометрическихпараметров в исследуемых задачах механики сплошной среды.С математической точки зрения, дальнейшее углубление К1М моделей и их связь с решением краевых задач гидродинамики и теплообмена связаны с использованием аппарата математической физики, сопряжённых функций, вариационных принципов (функционалов) и других методов, вообще говоря, объединяемых и обобщаемых понятиями функционального анализа [50, 88, 133, 227, 235].*)Другие зависимости, полученные на основе К1М моделей и при допущениях метода возмущений приведены ниже, в главах 6 и 7.385Приложение НМатематический анализ кривых второго порядка, возникающих из К1М критерия СНАналитическая форма обобщённого критерия СН (7.5) представляется весьма полезнойкак с точки зрения математического анализа его основных свойств, так и для дальнейшей верификации и валидации разрабатываемой модели.

Для наиболее полного и лаконичного физикоматематического анализа полезно записать его в каноническом виде, используя матричнуюформу представления коэффициентов(1 + Bd )( Ψ k1 + ke − FR ) + (1 + Bdr )( Fλ r − LR * FR )  Zu 2 − 2 ( 2 + Bd ) Ψ k1 + Fλ r + ke + Bin ki  ZuJa +a11− 2a12+ 3Ψ k1 + FR − 3Bin (1 + FR / 6 )  Ja 2 + 2  2Ψ k1 + Fλ r + ki + ke  Zu − 2 3( Ψ k1 − 1)  Ja = 0.(Н.1)a222a13− 2a23Тогда в декартовой системе координат классический канонический вид [133] предстанет в видеуравнения (Н.2) и инвариантов кривых второго порядка (Н.3а,б,в)a11x 2 + 2 a12xy + a22 y 2 + 2 a13x + 2 a23y + a33 = 0 ,иI = a11 + a22 ,где aik = akia11aaδ = 11 12 ,a21 a22a12(i, k = 1, 2, 3) ,(Н.2)a13A = a21 a22 a23 .(Н.3а,б,в)a31 a32 a33Используя их нетрудно получить координаты центра кривой (и другие математические характеристики исследуемых кривых второго порядка)a1 a1 a13 a12,y0 = − 11 13 ,( δ ≠ 0) .δ a23 a22δ a21 a23Характеристическая квадратичная форма и соответствующие ей уравнения естьx0 = −F0 (x, y ) = a11x 2 + 2 a12xy + a22 y 2a13 − εa23a12=0a22 − εили(Н.4а,б)(Н.5)ε 2 − Iε + δ = 0 ,(Н.6а,б)где корни ε1 и ε 2 являются собственными значениями действительной симметричной матрицы[aik ] и, как следствие этого, всегда действительны.Ниже эти определения использованы для изучения важнейших свойств полученного К1Мкритерия статической неустойчивости (Н.1).Границы статической неустойчивости по критерию (Н.1) – суть гиперболы.Найдём знак второго инварианта критерия (Н.1) с помощью малого дискриминанта- δ (Н.3б).

Он определяет тип линии второго порядка, в частности δ < 0 -относит её к гиперболическому типу. Записав ур. (Н.3б) в физических переменных, получимδ = [(1 + Bd )(Ψk1 + ke − FR ) + (1 + Bdr )(Fλr − LR ⋅ FR)] ⋅ [3Ψk1 + FR − 3Bin (1 + FR / 6)] -− [(2 + Bd )Ψk1 + Fλr + k e + Bin ki ]2 ,приведя подобные члены, приходим к соотношению(Н.7)386{δ = − Ψk21 (1 + Bd + Bd2 ) + Ψk1[ke (1 − Bd ) + (1 + Bd )(2FR + 3Bin (1 + FR / 6) ) + 2(2 + Bd )(Fλr + Bin ki )] ++ k e2 + (Fλr + Bin ki )(2 k e + Fλr + Bin ki ) + (1 + Bdr )(LR ⋅ FR − Fλr )(3Ψk1 + FR − 3Bin (1 + FR / 6) ) ++ (1 + Bd )( ke − FR)(FR − 3Bin (1 + FR / 6) )} .(Н.8)Замечая, что все параметры aik малого дискриминанта (Н.8) по своему физическому смыслубольше нуля, а также, что вклад отрицательных слагаемых меньше положительных (даже прибольших значениях FR>10), убеждаемся, что знак δ<0.

Полученный результат представляет доказательство гиперболического типа кривой второго порядка. Его можно сформулировать в видеследующей леммыЛемма.9. Алгебраическая кривая второго порядка, описывающая границу статической неустойчивости, определяемой К1М критерием (Н.1), является гиперболой поскольку характеристическая квадратичная форма (Н.5), представленная соотношением (Н.8) для малого дискриминанта (Н.3б), является отрицательно определённой.Малый дискриминант входит составной частью в основные характеристические уравнения, описывающие поведение искомых кривых второго порядка, представляющих границы статической неустойчивости.

Упрощения малого дискриминанта (Н.8) наступают при следующихдопущениях:1) для высоких скоростей FR → 0δ = − Ψk21 (1 + Bd + Bd2 ) + Ψk1[ke (1 − Bd ) + 3Bin (1 + Bd ) + 2(2 + Bd )(Fλr + Bin ki )] +{+ ke2 + (Fλr + Bin ki )(2k e + Fλr + Bin ki ) − 3Fλr (1 + Bdr )(Ψk1 − Bin ) − 3Bin k e (1 + Bd ) } ,2) при малом влиянии термического расширения на экономайзерном участке Bin→0{(Н.9)}δ = − Ψk21 (1 + Bd + Bd2 ) + Ψk1 [k e (1 − Bd )] + k e2 + Fλr (2[Ψk1 (2 + Bd ) + k e ] + Fλr − 3Ψk1 (1 + Bdr ) ) ,(Н.10)3) при незначительном влиянии неравновесного пара Bd→0 и Bdr→0δ = − Ψk21 + Ψk1k e + k e2 + Fλr (Ψk1 + 2 k e + Fλr ) ,(Н.11){}4) для гомогенной модели (с равными скоростями фаз) Ψk1 ≡ 1{}δ = − 1 + k e + k e2 + Fλr (1 + 2 k e + Fλr ) ,(Н.12)5) для простого канала – без подъёмного участка Fλr ≡ 0{}δ = − 1 + k e + k e2 .(Н.13)Последние четыре соотношения ясно указывают, что возможность перехода от гиперболического характера кривых, описывающих границу статической неустойчивости, к параболическому (при δ > 0 ) возникает лишь при высокой неравновесности в области весьма малых (см/с)скоростей (большие значения числа FR).

Если допустить, что изменения переменных в (Н.8)имеют порядок единицы, то для того чтобы малый дискриминант стал больше нуля необходимо, по крайней мере, чтобы FR>>20.Асимптоты граничной кривой СН. Знание асимптотического поведения граничных кривыхважно при тестировании и верификации разрабатываемой модели.Для отыскания наклонных асимптот К1М критериального уравнения СН (Н.1) подставим внего искомую форму наклонной асимптоты Ja=ηZu+b и, выделив группу «старших» (квадратичных) членов, получимa22η2 − 2a12η + a11 = 0 ,(Н.14)b(b ⋅ a22 + 2 a23 ) = 0 ,(Н.15)из которых следует, что b=0, а углы наклона асимптоты η 1,2 в каноническом виде естьη1, 2 =2a12 ± a12− a11a22 a12 ± − δ (Ψk1 (2 + Bd ) + Fλr + k e + Bin ki ) ± − δ==.a22a223Ψk1 + FR − 3Bin (1 + FR / 6)(Н.16)387Рассмотрим предельные случаи: 1) незначительное влияние Bin→0 и неравновесного параBd→0, Bdr→0 в области умеренных и высоких массовых скоростей FR→0, тогдаη1, 2 =  2Ψk1 + Fλr + k e ± Ψk21 + Ψk1k e + k e2 + Fλr (Ψk1 + 2 k e + Fλr )  3Ψk1 ,(Н.17)2) для гомогенной модели Ψk1 ≡ 1η1, 2 =  2 + Fλr + k e ± 1 + ke + ke2 + Fλr (1 + 2 k e + Fλr )  3 ,3) при Fλr << 1 и ke << 1 , после разложения в ряд Тейлора, имеем(Н.18)η1 ≈ 1 + k e / 6 и η2 ≈ (1 − ke / 2) / 3 .(Н.19)Последняя зависимость представляет грубую оценку поведения асимптоты граничной кривойСН.

Но, как можно увидеть из дальнейшего, см. §7.1.2.2 Рисунок 7.6, опытные точки верхнейграницы СН лежат вблизи биссектрисы, то есть η1 ≅ 1 .Главное направление оси гиперболы (между ею и осью ox) определяется формулами2 a122(Ψk1 (2 + Bd ) + Fλr + k e + Bin ki )tg(2ϕ) ==a11 − a22 2(Ψk1 + FR) − ke − Bd (Ψk1 + k e − FR) − 3Bin (1 + FR / 6) − (1 + Bdr )(Fλr − LR ⋅ FR)и2(Ψk1 (2 + Bd ) + Fλr + ke + Bin ki ) , (Н.20)2ϕ = arc tg 2(Ψk1 + FR) − k e − Bd (Ψk1 + ke − FR) − 3Bin (1 + FR / 6) − (1 + Bdr )(Fλr − LR ⋅ FR) которое, в частности, в приведённых выше предельных случаях 1)-3) предстанет как 2(2Ψk1 + Fλr + k e )  2(2 + Fλr + ke ) 11ϕ = arc tg= arc tg≅ 31,72° .(Н.21)22Ψk1 − ke2 − keΨk1 ≡1 2Fλr <<1, k e <<1Как видно из сравнения угла наклона асимптот (большего из корней) по ур.

(Н.17) – (Н.19), этизависимости отличаются от (Н.21) в большую сторону, что указывает на расширение областинеустойчивости с ростом аргумента Zu. Если на плоскости Zu-Ja за начало координат принятьточку (0, 0), соотношения (Н.16) и (Н.20) можно рассматривать как асимптотические приближения К1М критерия для области статической неустойчивости пароводяных потоков в канале(или подъёмной ветви контура ЕЦ).§7.1.2.1 Критерий предельных значений безразмерного недогрева Jacr на границе СНВывод критерия Jacr исходит из положительности дискриминанта исходного обобщённогосоотношения (Н.1), решение которого в канонической форме имеет видJacr1, 2 ≡ y1, 2 =2a12 a13 + a11a23 ± a11( a22 a13+ a23 (2 a12 a13 + a11a23 ))2− δ(= a12− a11a22 )(Н.22)или a12 a13 a11  a 23a 22 a 23  a12 a 23  δ  2Jacr⋅ 1 +±++≅⋅ 1 ±.(Н.23)2 aaaaaa−δa12  131113 1113  12 a →0 Это наиболее лаконичная (каноническая) и полная форма критерия критического недогрева дляграницы статической неустойчивости.