Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаЮ.И. Малов, М.М. Сержантова,А.В. ЧередниченкоВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕИздательство МГТУ им. Н.Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаЮ.И. Малов, М.М. Сержантова,А.В. ЧередниченкоВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕМетодические указания к выполнению типового расчетапо курсу «Уравнения математической физики»Под редакцией Г.П. СтасьМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2006УДК 517.9ББК 22.161.6М18Рецензент Л.К. МартинсонМ18Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В.Волновое уравнение: Метод.

указания к выполнениютипового расчета по курсу «Уравнения математическойфизики» / Под ред. Г.П. Стась. – М.: Изд-во МГТУим. Н.Э. Баумана. 2006. – 47 с.: ил.Рассмотрено волновое уравнение и некоторые его частные решения ввиде плоской, сферической и цилиндрической монохроматических волн.Приведены решения уравнений Лапласа и Пуассона в классе обобщенныхфункций с использованием функции Грина – функции источника.Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс«Уравнения математической физики». Может быть полезна студентамстарших курсов, изучающим соответствующую дисциплину.Ил.

4. Библиогр. 5 назв.УДК 517.9ББК 22.161.6© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006ПредисловиеДанное пособие содержит краткое изложение теории уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа,а именно уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца.Первая глава посвящена выводу волнового уравнения колебаний струны и электромагнитных колебаний. Вывод уравнения Лапласа приведен во второй главе. Также во второй и третьей главахрассмотрены решения волновых уравнений с помощью функцииГрина.Применение метода функции Грина вызвано необходимостьюиспользования обобщенных функций, а именно дельта-функции иее свойств [1], при решении различных задач физики, напримерзадач электродинамики [2], в расчетах оптико-электронных систем[3] или при описании установившихся колебаний гибкой мембраны, закрепленной по контуру [4].1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ1.1.

Механическая модель волнового процесса.Уравнение колебаний струныСтруной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу, но сопротивляющаяся растяжению. Отсутствие сопротивления изгибу математически выражается в том, что напряжения,возникающие в струне, всегда направлены по касательной к еемгновенному профилю.Будем рассматривать плоское движение струны, когда смещение находится в плоскости ( x, u ), а вектор смещения в каждыймомент времени перпендикулярен оси Ox. Пусть в плоскости( x, u ) струна совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью Ox.

Величинуотклонения (смещения) струны от положения равновесия в точке xв момент времени t обозначим как u ( x, t ).3Рис. 1Так как струна не сопротивляется изгибу, ее натяжение T ( x, t )в момент t направлено по касательной к профилю струны в точкеx. Любой участок струны ( x1 , x2 ) после отклонения от положенияравновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины. Действительно, длинаl=x2∫x12⎛ ∂u ⎞1 + ⎜ ⎟ dx ≈⎝ ∂x ⎠x2∫ dx = x2 − x1.x1Следовательно, по закону Гука, натяжение T ( x, t ) будет оставаться постоянным, не зависящим от x, t : T ( x, t ) = T0 .Пусть ρ( x) – линейная плотность струны в точке х, так чтоρ( x)∆x – масса элемента ∆ x струны M1M 2 .Составим уравнение движения струны. На ее элемент M1M 2действуют силы натяжения T2 ( x + ∆x, t ) = T0 и T1 ( x, t ) = T0 , суммакоторых, согласно второму закону Ньютона, равна произведениюмассы этого элемента на его ускорение.

Проектируя это векторноеравенство на ось u, получимT0 sin α x +∆x − T0 sin α x = ρ( x)∆x4∂ 2u∂t 2,(1.1)2∂utg α∂u=; sin α =∂x1 + tg 2 α ∂xПоделим уравнение (1.1) на ∆ x :∂u⎛ ∂u ⎞1+ ⎜ ⎟ ≈.∂x⎝ ∂x ⎠где tg α =ρ( x)2∂ u∂t2∂u∂x≅ T0−x +∆x∂u∂x∆xx.(1.2)Перейдем в выражении (1.2) к пределу при ∆ x → 0 :ρ( x)∂ 2u∂t 2= T0∂ 2u∂x 2.(1.3)Делением уравнения (1.3) на T0 получим уравнение свободных, не зависящих от внешних сил колебаний струны:1 ∂ 2u ∂ 2u.=⎛ T0 ⎞ ∂t 2 ∂x 2⎜ρ⎟⎝ ⎠(1.4)Поясним смысл отношения T0 / ρ, исходя из единиц измерениярассматриваемых величин:u измеряется в метрах;ut′ – в метрах в секунду;utt′′ – в метрах в секунду в квадрате;u x′ – безразмерная;u ′xx измеряется в метрах в минус первой степени.Таким образом, величина T0 / ρ имеет размерность квадратаскорости.Обозначим T0 / ρ = v 2 .

Тогда (1.4) перепишется в виде1 ∂ 2uv 2 ∂t 2=∂ 2u∂x 2,или∂ 2u∂t 2= v2∂ 2u∂x 2.(1.5)5Получим уравнение свободных колебаний струны, или одномерное волновое уравнение.Покажем, что если ϕ( x) – дважды дифференцируемая функция, то уравнению (1.5) удовлетворяет функция u ( x, t ) = ϕ( x − vt ),или u ( x, t ) = u ( w) = ϕ( w), w = x − vt.Действительно,⎧ut′ = ϕ′w wt′ = − vϕ′w1utt′′ = v 2ϕ′′ww ,⇒⇒ 2 v 2 ϕ′′ww = ϕ′′ww ,⎨′′′′uw,=ϕ=ϕ′′ = ϕ′′ww ,u xxvw xw⎩ xчто и требовалось доказать.Рис. 2Частное решение уравнения колебаний струны имеет видu ( x, t ) = ϕ( x − vt ).Дадим геометрическую интерпретацию решения. Пусть в начальный момент времени t = 0 был известен профиль струны. Посмотрим, что будет со струной в следующие моменты времени(рис.

2). Точка М на струне движется со скоростью v вправо, приэтом ее отклонение остается во все моменты времени постоянным.Это движение называется также плоской волной, которая такжедвижется со скоростью v. Сам процесс колебаний струны описывается волновым уравнением (1.5).61.2. Волновое уравнение для электромагнитных волнЭлектромагнитное поле характеризуется напряженностьюE ( M , t ) электрического и H ( M , t ) магнитного полей, гдеM ( x, y , z ) – точка пространства; t – время. Эти величины удовлетворяют следующим уравнениям Максвелла для непроводящейсреды (σ = 0) при отсутствии объемных электрических зарядов:⎧∂H⎪⎪div E = 0, rot E = −µµ0 ∂t ,⎨⎪div H = 0, rot H = εε ∂E ,0∂t⎩⎪(1.6)где ε, µ – диэлектрическая и магнитная проницаемости; ε0 , µ0 –электрическая и магнитная постоянные в единицах СИ.Введем векторно-дифференциальный оператор Гамильтона,обозначаемый знаком «набла» ∇:⎛ ∂ ∂ ∂⎞∇ =⎜ , , ⎟.⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠Тогда система уравнений Максвелла перепишется в следующем виде:⎧∂H⎪⎪ ∇ ⋅ E = 0, ∇ × E = −µµ0 ∂t ,(1.7)⎨⎪∇ ⋅ H = 0, ∇ × H = εε ∂E .0∂t⎩⎪К последним двум уравнениям применим операцию векторногоумножения на оператор ∇ слева и получим систему⎧⎛ ∂H ⎞⎪∇ × ( ∇ × E ) = −µµ0∇ × ⎜⎟,⎪⎝ ∂t ⎠⎨⎪∇ × ∇ × H = εε ∇ × ⎛ ∂E ⎞ .() 0 ⎜ ∂t ⎟⎪⎝⎠⎩(1.8)Воспользуемся формулой векторного анализа a × (b × c ) == b (a ⋅ c ) − c (a ⋅ b ).

Тогда левые части уравнений будут состоять7из двух слагаемых, а операцию дифференцирования и взятия векторного-дифференциального оператора в правой части можно поменять местами:∂⎧22⎪⎪ ∇ ⋅ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ E = −∇ E = −µµ 0 ∂t ( ∇ × H ) ,⎨⎪∇ ⋅ ( ∇ ⋅ H ) − ∇ 2 H = −∇ 2 H = εε ∂ ( ∇ × E ) .0⎪⎩∂tДифференциальный оператор ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 =∂2∂x 2+∂2∂y 2(1.9)+∂2∂z 2на-зывают оператором Лапласа и обозначают как ∇ 2 ≡ ∆.Так как первые слагаемые в (1.9) равны нулю, выражение (1.9)сократится до вида⎧∂⎛∂E ⎞⎪ −∆E = −µµ0 ⎜ εε 0⎟,∂t ⎝∂t ⎠⎪⎨⎪ −∆H = εε ∂ ⎛ −µµ ∂H ⎞ .⎜⎟00⎪∂t ⎝∂t ⎠⎩(1.10)Окончательно имеем⎧∂2 E⎪∆E = εε0µµ0 2 ,⎪∂t⎨∂2 H⎪∆H=εεµµ.00⎪∂t 2⎩(1.11)Два векторных уравнения (1.11) эквивалентны шести скалярным уравнениям относительно компонент векторов E и H .

Всешесть уравнений имеют одинаковый вид. Обозначим черезu ( M , t ) какую-нибудь компоненту какого-либо вектора. Тогда этаскалярная величина будет удовлетворять уравнению∆u ( M , t ) = εε0µµ08∂ 2u∂t 2.(1.12)Заметим, чтоv=1= c ≅ 3 ⋅ 108 м / c – скорость света. Пустьε 0µ 0c. Тогда уравнение (1.12) для u ( M , t ) примет видεµ∆u ( M , t ) =1 ∂ 2uv 2 ∂t 2.(1.13)Уравнение (1.13) – волновое уравнение для электромагнитныхволн. Решение уравнения (1.13) будем называть волной.Волновое уравнение (1.13) является математической модельюразличных физических процессов.

Рассмотрим в качестве примеранекоторые из них.1. Пусть точка M ( x) принадлежит одномерному пространству– прямой Ox, тогда однородное волновое уравнение имеет видutt′′ ( x, t ) = v 2u ′′xx(1.14)и описывает свободные поперечные колебания струны или свободные продольные колебания стержня. Если же на струну илистержень кроме упругих сил действуют внешние возмущающиесилы F ( x, t ), то уравнение колебаний называется неоднородным:utt′′ ( x, t ) = v 2u ′′xx + f ( x, t ),(1.15)v 2 F ( x, t ); ρ( x) – плотность струны или стержня.ρ( x)Получающееся при этом решение называют вынужденнымиколебаниями. Если струна или стержень ограничены, то задаютсяграничные условия на обоих концах, а также начальные условия.Начальные условия задаются, например, в виде начального профиля u ( x, 0) и начального импульса ut′ ( x, 0) в момент t = 0. Вэтом случае уравнения (1.14) и (1.15) называют уравнениями гиперболического типа.2.

Пусть точка M ( x, y ) принадлежит двумерному пространству– плоскости xOy. Тогда однородное волновое уравнениегде f ( x, t ) =(utt′′ ( x, y, t ) = v 2 u ′′xx + u ′′yy)(1.16)9можно рассматривать как уравнение свободных колебаний плоской мембраны, а неоднородное уравнение()utt′′ ( x, y, t ) = v 2 u ′′xx + u ′′yy + f ( x, y, t )(1.17)рассматривать как уравнение вынужденных колебаний мембраны.При этом начальные условия задают начальное положение мембраны и распределение начальных скоростей на ней, а граничныеусловия задаются способами закрепления границ мембраны.Если же струна, стержень или мембрана неограниченны, то вкачестве граничных условий задают поведение решения на бесконечности, которое, как правило, на бесконечности должно стремиться к нулю.3.

Пусть точка M ( x, y, z ) принадлежит трехмерному пространству. Тогда волновое уравнение можно рассматривать какуравнение малых колебаний газа, заключенного в сферическуюоболочку с соответствующими начальными условиями в моментвремени t = 0 и граничными условиями на сфере, или как уравнение электромагнитных колебаний, свободных или вынужденных,по аналогии с изложенным в пп. 1 и 2.Основная проблема, возникающая при исследовании всех этихуравнений и многих других, – это построение решения. Опустимвопрос построения корректного решения [1] и просто перечислимнекоторые методы нахождения решения дифференциальных уравнений в частных производных: метод разделения переменных Фурье, метод нахождения обобщенного решения с помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа, метод функции Гринаили источника, приближенные методы, например сеточные, и т.