Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006), страница 5

е. формула (3.33) позволяетпостроить решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца.3.10. Метод функции Грина решения первой краевой задачидля уравнения ГельмгольцаРассмотрим первую краевую задачу для уравнения Гельмгольца при f ( M ) ≡ 0:⎧⎪ ∆u ( M ) + k 2u ( M ) = 0, M ∈Ω,⎨u ∑ = ϕ ( P ) , P ∈∑ .⎪⎩Функцию Грина построим таким образом, чтобы она была решением этой задачи:⎧⎪ ∆G ( M , M 0 ) + k 2G ( M , M 0 ) = −4π δ ( M , M 0 ) , rM M ≥ 0,0⎨G0.=⎪⎩∑Решением задачи может служить функция G ( M , M 0 ) , определенная, как было показано в (3.32), в виде=(exp i k rM 0 MrM 0 M) + v(M ),G (M , M0 ) =M ∈Ω, если функция v ( M ) будет удов-летворять решению однородного уравнения Гельмгольца и граничному условию v ∑ = −(exp i k rM 0 MrM 0 M).Тогда, учитывая, чтоu ∑ = ϕ ( P ) , G ∑ = 0, f ≡ 0, из формулы (3.33) получим решениепервой краевой задачиu(M0 ) = −⎛∂G ( P, M 0 ) ⎞1⎜ ϕ( P)⎟ d σP .w∫∫∂n4π ⎝⎠(3.34)∑41Замечание.

Известны функции Грина, полученные методом отражений для шара, полупространства, симметричного относительноплоскости, для двугранного угла, для телесного угла и т. д. [5].3.11. Цилиндрическая волнаРассмотрим волновое уравнение1 ∂ 2uv 2 ∂t 2= ∆u ( M , t ) .(3.35)Было установлено, что его решение можно записать в виде (3.12):u ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) , ν = const, где амплитуда u ( M )должна удовлетворять однородному уравнению Гельмгольца.Пусть u ( M ) обладает осевой симметрией, u ( M ) = u (r ),r = x 2 + y 2 , z – любое, на поверхности цилиндра r = R.

Тогда вмомент времени t = t ∗ и при r = R и u ( M , t ∗ ) = const получим цилиндрическую монохроматическую волну.Введем цилиндрическую систему координат ( r , ϕ, z ) , в которой∆=1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂2∂2.+⎜⎝ r ⎟⎠ + 2r ∂r ∂rr ∂ϕ 2 ∂z 2Так как u (r ) = u ( M ) не зависит от координат ϕ и z, то∆=1 d ⎛ d ⎞⎜ r ⎟ , и уравнение Гельмгольца получит видr dr ⎝ dr ⎠1 d ⎛ du ⎞2⎜ r ⎟ + k u = 0,r dr ⎝ dr ⎠(3.36)илиd 2u1 du+ k 2u = 0.(3.37)2rdrdr1Выражение (3.37) в виде u ′′ + u ′ + k 2u = 0 есть частный слуrчай уравнения Бесселя:42+( )( )⎧ y1 = I 0 λ x ,⎪⎨⎪⎩ y2 = N 0 λ x ,⎛1m2 ⎞y′′ + y ′ + ⎜ λ − 2 ⎟ y = 0,⎜xx ⎟⎠⎝для случая m = 0 λ = k 2 .Решениями (3.37) являются функции Бесселя и Неймана:u1 ( r ) = I 0 ( kr ) ,u2 ( r ) = N 0 ( kr ) .Поставим задачу нахождения такого частного решения уравнения (3.37), при котором решение волнового уравнения (3.35) представляло бы собой расходящуюся цилиндрическую волну.Для этого воспользуемся асимптотикой частных решенийуравнения Бесселя нулевого порядка:⎧2π⎞ ⎡⎛⎛ 1⎞ ⎤cos ⎜ x − ⎟ ⎢1 + 0 ⎜ ⎟ ⎥ ,⎪ y1 ( x ) = I 0 λ x =⎝⎠⎝ x⎠ ⎦πx4 ⎣1⎪y ′′ + y ′ + y = 0, ⎨x2π⎞ ⎡⎛⎛ 1⎞ ⎤⎪y x = Nxxsin10.λ=−+()⎜⎟20⎢⎪⎝⎝⎜ x ⎠⎟ ⎥⎦4⎠ ⎣πx⎩()()Построим частные решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения Бесселя нулевого порядка в виде⎧⎪ y3 ( x ) = y1 ( x) + i y2 ( x) ,⎨⎪⎩ y4 ( x) = y1 ( x ) − i y2 ( x ) .Эти частные решения – функции Ханкеля (Ганкеля):⎧⎪ H (1) ( x) = I ( x) + i N ( x) ,000⎨ (2)⎪⎩ H 0 ( x) = I 0 ( x) − i N 0 ( x ) .Для них асимптотика примет вид43⎧ (1)2 ⎛π⎞π ⎞⎞ ⎡⎛⎛⎛ 1 ⎞⎤⎪ H0 ( x) =⎜ cos ⎜ x − ⎟ + i sin ⎜ x − ⎟ ⎟ ⎢1 + 0 ⎜ ⎟ ⎥ =4⎠4 ⎠⎠ ⎣πx ⎝⎝⎝⎝ x ⎠⎦⎪⎪π⎛⎞⎪2 i⎜⎝ x − 4 ⎟⎠ ⎡⎛ 1 ⎞⎤e=1 + 0 ⎜ ⎟⎥ ,⎪⎢πx⎝ x ⎠⎦⎣⎪⎨⎪ H (2) x = 2 ⎛ cos ⎛ x − π ⎞ − i sin ⎛ x − π ⎞ ⎞ ⎡1 + 0 ⎛ 1 ⎞ ⎤ =⎜⎜⎟⎜⎟⎟⎜ ⎟⎥⎪ 0 ( )πx ⎝4⎠4 ⎠ ⎠ ⎣⎢⎝⎝⎝ x ⎠⎦⎪⎛ π⎞⎪2 −i⎜⎝ x − 4 ⎟⎠ ⎡⎛ 1 ⎞⎤⎪e=1 + 0 ⎜ ⎟⎥ ,⎢⎪πx⎝ x ⎠⎦⎣⎩илиπ⎧−i⎪ H 0(1) ( x) = e 4 2 eix ⎡⎢1 + 0 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎤⎥ ,⎝ x⎠ ⎦πx ⎣⎪⎨πi⎪ (2)2 − ix ⎡⎛ 1⎞ ⎤e ⎢1 + 0 ⎜ ⎟ ⎥ .⎪ H 0 ( x) = e 4⎝ x⎠ ⎦πx⎣⎩Выберем в качестве u ( M ) функцию y3 ( kr ) = H 0(1) ( kr ) .

Тогдарешениеu (r , t ) = H 0(1) ( kr ) exp ( −i 2πνt ) = r R ≈⎛ π⎞ 2≈ exp ⎜ −i ⎟exp ( ikr ) exp ( −i 2πνt ) ,⎝ 4 ⎠ πx⎛ π⎞ 2u (r , t ) = exp ⎜ −i ⎟exp ( −i ( 2πνt − kr ) ) .⎝ 4 ⎠ πxЭто частное решение – расходящаяся монохроматическая цилиндрическая волна.44Список литературы1. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000. 400 с.2. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина,А.П.

Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. 366 с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып. XII).3. Мосягин Г.М., Немжинов В.Б., Лебедев Е.Н. Теория оптикоэлектронных систем. М.: Машиностроение, 1990. 432 с.4. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методыматематической физики: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина,А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.

Баумана, 2001. 700 с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIII).5. Сборник задач по уравнениям математической физики / В.С. Владимиров, А.А. Вашарин, Х.Х. Каримова и др. М.: Физматлит, 2001. 288 с.45ОглавлениеПредисловие .....................................................................................................31. Волновое уравнение.....................................................................................32. Решение уравнений Лапласа и Пуассона методом функции Грина ......113. Некоторые частные решения волнового уравнения ...............................27Список литературы ........................................................................................4546Для заметок47Методическое изданиеЮрий Иванович МаловМаргарита Михайловна СержантоваАлександр Всеволодович ЧередниченкоВолновое уравнениеРедактор А.В. СахароваКорректор Л.И.

МалютинаКомпьютерная верстка О.В. БеляевойПодписано в печать 29.09.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.Печ. л. 3,0. Усл. печ. л. 2,73. Уч.-изд. л. 2,55. Изд. № 140. Тираж 500 экз.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская, 5..