Главная » Просмотр файлов » Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006)

Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006) (1095470), страница 4

Файл №1095470 Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006) (Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006)) 4 страницаМалов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006) (1095470) страница 42018-10-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

в точках сферы возмущенияRпостоянны. Поэтому волну и называют сферической.1Множительв решении выражает закон сохранения энергии,rпередаваемой волной через сферическую поверхность. Известно,что поток энергии пропорционален произведению квадрата ампли1туды на площадь сферы, т. е. 2 4πr 2 = 4π = const.r⎛ 2πν ⎞Пусть S ( w) = A exp ⎜ iw ⎟ , тогда решение (3.6) имеет вид⎝ v⎠u(M , t ) =30A⎛ 2πν ⎞ A⎛ 2πνexp ⎜ iw ⎟ = exp ⎜ i( r − vt ) ⎞⎟ ,r⎝ v⎠ r⎝ v⎠илиu(M , t ) =A2πν ⎞ ⎞⎛ ⎛exp ⎜ −i ⎜ 2πνt −r ⎟⎟ .rv ⎠⎠⎝ ⎝Обозначая длину волны как λ =u(M , t ) =v, запишем решениеνA⎛ ⎛2π ⎞ ⎞exp ⎜ −i ⎜ 2πνt −r ⎟ ⎟.rλ ⎠⎠⎝ ⎝(3.7)Решение (3.7) (частное решение уравнения (3.5)) носит название сферической монохроматической волны.

Это расходящаясяволна от источника излучения, расположенного в начале системыкоординат.Замечание. Можно непосредственно подстановкой показать,A⎛ ⎛2π ⎞ ⎞что решение u1 ( M , t ) = exp ⎜ −i ⎜ 2πνt +r ⎟ также удовлетво⎝ ⎝rλ ⎠ ⎟⎠ряет волновому уравнению. Это решение – тоже сферическая волна, но сходящаяся к началу координат, что не имеет физическогосмысла.3.3. Комплексная амплитуда монохроматической волныОбратимся к волновому уравнению (3.1).

Для этого уравнениямы рассмотрели два частных решения в виде плоской и сферической монохроматических волн:⎛ ⎛2π⎞⎞uпл ( M , t ) = A exp ⎜ −i ⎜ 2πνt −r ⋅ e⎟⎟ ,⎠⎠⎝ ⎝λuсф ( M , t ) =A⎛ ⎛2π ⎞ ⎞exp ⎜ −i ⎜ 2πνt −r⎟ .⎝ ⎝rλ ⎠ ⎟⎠(3.8)(3.9)Представим (3.8) и (3.9) в другом виде:⎛ 2π⎞uпл ( M , t ) = A exp ⎜ ir ⋅ e ⎟ exp ( −i 2πνt ) ,⎝ λ⎠(3.10)31uсф ( M , t ) =A⎛ 2π ⎞exp ⎜ ir exp ( −i 2πνt ) .⎝ λ ⎟⎠r(3.11)Эти два выражения представляют собой комплексные гармонические функции видаu ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) ,(3.12)где u ( M ) – комплексная амплитуда, которая для плоской монохроматической волны имеет вид⎛ 2π⎞uпл ( M ) = A exp ⎜ ir ⋅e⎟ ,⎝ λ⎠(3.13)а для сферической монохроматической волны – видuсф ( M ) =Введем волновое числоA⎛ 2π ⎞exp ⎜ ir .⎝ λ ⎟⎠r(3.14)2π= k .

Тогдаλuпл ( M ) = A exp ( i k r ⋅ e ) ,uсф ( M ) =Aexp ( i k r ) .r(3.15)(3.16)Если амплитуда комплексной гармонической функции (3.12)представлена в виде (3.15) или (3.16), то комплексная гармоническая функция u ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) есть решение волновогоуравнения (3.5).3.4.

Уравнение ГельмгольцаПоставим задачу: каким свойством должна обладать комплексная амплитуда u ( M ), чтобы комплексная гармоническая функция(3.12)быларешениемволновогоуравнения.Пустьu ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) – решение волнового уравнения. Подставим это решение в уравнение (3.1):321v22u ( M ) ( −i 2πν ) exp ( −i 2πνt ) = ∆u ( M )exp ( −i 2πνt ) .После сокращения данного выражения на exp ( −i 2πνt ) ≠ 0 по2⎛ 2πν ⎞лучим − ⎜⎟ u ( M ) = ∆u ( M ) или⎝ v ⎠2⎛ 2πν ⎞∆u ( M ) + ⎜⎟ u ( M ) = 0.⎝ v ⎠Помня, что2πν 2π== k , окончательно записываемvλ∆u ( M ) + k 2u ( M ) = 0.(3.17)Уравнение (3.17) называется уравнением Гельмгольца.Итак, гармоническая функция u ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) является решением волнового уравнения, если амплитуда u ( M )удовлетворяет уравнению Гельмгольца.Замечание.

Пусть u ( M ) – комплексная амплитуда в решенииволновогоуравнения.Обозначимa( M ) = u ( M ) ,a ( M ) ≥ 0,ϕ ( M ) = Arg u ( M ). Тогда u ( M ) = a ( M ) exp ( i ϕ ( M )) . Подставим этовыражение в u ( M , t ) :u ( M , t ) = a( M )exp ( −i ( 2πνt − ϕ ( M )) ) .(3.18)Полученное решение волнового уравнения есть монохроматическая волна с амплитудой a ( M ), полной фазой ( 2πνt − ϕ ( M )) ,зависящей как от времени ϕ(t ) = 2πνt , так и от координат ϕ( M ).Поверхность постоянной фазы в любой точке M, в которой вданный момент времени t = t ∗ фаза волны ϕ( M ) постоянна и одинакова для всех точек (ϕ ( M ) = const), называется волновым фронтом.Замечание. Рассмотрим решение волнового уравнения (3.1) ввиде (3.18) в комплексной форме:u ( M , t ) = a( M ) ( cos ( 2πνt − ϕ ( M )) − i sin ( 2πνt − ϕ ( M )) ) .33Если u ( M ) – решение (3.1), то и действительная и мнимая части u ( M ) – тоже решения.

Поэтому за решение (3.1) можно принять функцию u1 ( M , t ) = Re u ( M , t ) = a ( M )cos ( 2πνt − ϕ ( M )) , которую называют временным гармоническим сигналом.Замечание. В общем случае поверхность постоянной фазыϕ( M ) = const не совпадает с поверхностью постоянной амплитуды, при этом говорят, что такая волна неоднородна.3.5. Решение уравнения ГельмгольцаПусть уравнению Гельмгольца (3.17) удовлетворяют решенияu ( M ) и u1 ( M ), которые являются амплитудами сферической монохроматической волны:A(3.19)u ( M ) = exp ( i k r ) ,rA(3.20)u1 ( M ) = exp ( −i k r )rдля расходящейся и сходящейся волн соответственно.Это решение непрерывно в пространстве, где r > 0. Аналогично можно показать, что решениеAu (rM 0 M ) =exp ± i k rM 0 M ,rM 0 M(где rM 0 M =)( x − x0 ) 2 + ( y − y0 )2 + ( z − z0 ) 2 ,также удовлетворяетуравнению Гельмгольца.

Решения (3.19)–(3.20) называют фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца в пространствеr ( M ) > 0 или rM 0 M ≥ 0.3.6. Обобщенное фундаментальное решениеуравнения ГельмгольцаОбобщеннымrM 0 Mфундаментальным решением в области1exp i k rM 0 M называется решение≥ 0 вида u ( M ) =rM 0 M(неоднородного уравнения Гельмгольца:34)∆u ( M ) + k 2u ( M ) = −4πδ ( M , M 0 ) ,где δ ( M , M 0 ) – дельта-функция. Если ввести сферическую систему координат с центром в точке M 0 , то в этом случае1 d ⎛ 2 d ⎞⎜r⎟ , и решение уравненияr 2 dr ⎝ dr ⎠= −4πδ (r ) примет более простой вид:∆=∆u ( M ) + k 2u ( M ) =1u (r ) = exp(ik r ) для r ≥ 0.21Воспользуемся тем, что v ( r ) = , r ≥ 0, – это обобщенноеrфундаментальное решение уравнения Пуассона ∆v (r ) = −4πδ ( r ) .11Так как u (r ) = exp ( ik r ) , v ( r ) = , то v ( r ) = u (r ) exp ( −ik r ) иrrполученное решение для v ( r ) удовлетворяет уравнению Пуассона∆ ( u (r ) exp ( −ik r ) ) = −4π δ ( r ) , r ≥ 0.1 d ⎛ 2 dr(u (r ) exp ( −ik r ) )⎞⎟⎠ = −4π δ ( r ) .2 dr ⎜⎝drrВычислим левую часть этого соотношения:Действительно,1 d ⎛ 2 du (r )⎞rexp ( −ik r ) − iku (r ) exp ( −ikr ) ⎟ =2 dr ⎜dr⎝⎠r⎞1 d ⎛ ⎛ du (r )⎞= 2 ⎜⎜ r2− iku (r ) ⎟ exp ( −ikr ) ⎟ =dr⎠r dr ⎝ ⎝⎠⎛ 2 ⎛ du (r )⎞= exp ( −i k r ) ⎜ ⎜− iku (r ) ⎟ +⎠⎝ r ⎝ dr⎛ d 2u ( r )du (r )⎛ du (r )⎞⎞⎞()ikikikur+⎜−−−⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ =⎜ dr 2dr⎝ dr⎠⎠⎠⎝⎛ ⎛ d 2u (r ) 2 du (r ) ⎞ 2⎞du (r ) i 2k⎟=()2()kurikur= exp ( −i k r ) ⎜ ⎜+−−−⎟⎜ ⎜ dr 2⎟r dr ⎟⎠drr⎝⎝⎠35⎛ ⎛ d 2u ( r ) 2 du (r )⎞2ku(r)= exp ( −i k r ) ⎜ ⎜++⎟−⎟⎜ ⎜ dr 2r dr⎠⎝⎝−2k 2u (r ) − i 2kdu (r ) i 2k⎞u (r ) ⎟ =−drr⎠()()i 2k ⎛ du ( r )⎛⎞⎞= exp ( −i k r ) ⎜ ∆u (r ) + k 2u (r ) −− ik ru (r ) + u (r ) ⎟ ⎟ =⎜rrdr⎝⎠⎠⎝⎛⎞⎞i 2k ⎛ d ( u (r )r )= exp ( −i k r ) ⎜ ∆u (r ) + k 2u (r ) −− ik ( u (r )r ) ⎟ ⎟ =⎜⎜⎟r ⎝dr⎠⎠⎝w = u (r )r , w = exp ( ikr )= d ( w)dr− ikw = ik exp ( ikr ) − exp ( ikr ) = 0(=)= exp ( −ikr ) ∆u (r ) + k 2u (r ) .Приравниваем полученную левую часть правой и получаем( ∆u(r ) + k u(r )) exp ( −i k r ) = −4π δ ( r )2или∆u (r ) + k 2u (r ) = −4π δ ( r ) exp ( ik r ) .Так как f ( x ) δ ( x, x0 ) = f ( x0 ) δ ( x, x0 ) , тоexp ( ik r )M =M 0δ ( M , M 0 ) = 1⋅ δ ( M , M 0 ) = δ ( r )и∆u ( r ) + k 2 u ( r ) = −4 π δ ( r ) .Это означает, что амплитуда u ( M ) =1rM 0 M(exp ik rM 0 M)–обобщенное фундаментальное решение неоднородного уравненияГельмгольца ∆u ( M ) + k 2u ( M ) = −4π δ ( M , M 0 ) при rM 0 M ≥ 0.363.7.

Неоднородное уравнение ГельмгольцаК нему приводит рассмотрение волнового уравнения при наличии в среде источников возбуждения электромагнитного происхождения. В этом случае1 ∂ 2uv 2 ∂t 2= ∆u ( M , t ) + F ( M , t ) ,(3.21)где F ( M , t ) – функция, определяющая мощность распределенныхисточников.Рассмотрим источники, которые имеют гармоническийхарактер с постоянной частотой ν = const, т. е.

F ( M , t ) == f ( M ) exp ( −i 2πνt ) . Будем искать решение уравнения (3.21) ввиде u ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) . Подставив F ( M , t ) и u ( M , t ) в(3.21), получаем12u ( M ) ( −i 2πν ) exp ( −i 2πνt ) =2v= ∆u ( M ) exp ( −i 2πνt ) + f ( M )exp ( −i 2πνt ) .После сокращения на exp ( −i 2πνt ) ≠ 0, учитывая, что2π= k , получаем неоднородноеλ∆u ( M ) + k 2u ( M ) = − f ( M ).=уравнение2πν=vГельмгольца3.8. Интегральное представление решенияуравнения ГельмгольцаРассмотрим первую формулу Грина для решений u ( M ) иv(M ) :⎛ ∂v∂u ⎞w∫∫ ⎜⎝ u ∂n − v ∂n ⎟⎠ d σ = ∫∫∫ ( u∆v − v∆u ) d ω.∑Ω() ((3.22))Используя тождество u ∆v − v∆u ≡ u ∆v + k 2 v − v ∆u + k 2u ,получим вторую формулу Грина37w∫∫ ⎜⎝ u ∂n − v ∂n ⎟⎠d σ = ∫∫∫ ( u ( ∆v + k⎛ ∂v∂u ⎞∑2))) (v − v ∆u + k 2u d ω, (3.23)Ωгде u ( M ) – решение неоднородного уравнения Гельмгольца∆u + k 2u = − f ( M ) , M ∈Ω;v(M ) =1rM 0 M(exp i k rM 0 M)(3.24)– обобщенное фундаментальное ре-шение уравнения∆v + k 2 v = −4π δ ( M , M 0 ) rM 0 M ≥ 0, M ∈ Ω .(3.25)Учитывая (3.24) и выражение для v ( M ), (3.23) переписываем ввиде(⎛⎛ exp i k rM M0⎜u (P) ∂ ⎜w∫∫ ⎜⎜⎜∂nrM 0 M∑ ⎝⎝) ⎞⎟ − exp ( i k rM M ) ∂u ( P ) ⎞⎟d σ0⎟⎠∂n ⎟⎟⎠rM 0 M(⎛exp i k rM 0 M= ∫∫∫ ⎜ ( −4πδ ( M , M 0 ) ) u ( M ) + f ( M )⎜rM 0 MΩ ⎝P) ⎞⎟d ω.⎟⎠=(3.26)По свойству дельта-функции получаем∫∫∫ ( −4πδ ( M , M 0 )) u ( M ) d ω = −4π u ( M 0 ) .(3.27)ΩС учетом (3.26) и (3.27), если P ∈∑, M ∈Ω, получим интегральное представление решения неоднородного уравненияГельмгольца, или формулу Кирхгофа:()⎛ exp i k rM M ∂u P( )−10⎜u(M0 ) =w∫∫∂n4π ⎜rM 0 M∑ ⎝−u ( P )38(⎛∂ ⎜ exp i k rM 0 MrM 0 M∂n ⎜⎝) ⎞⎟ ⎞⎟ d σ⎟ ⎟⎟⎠⎠P++(⎛exp i k rM 0 M1⎜ f (M )∫∫∫rM 0 M4π ⎜Ω ⎝) ⎞⎟d ω.(3.28)⎟⎠Формула Кирхгофа определяет решение u ( M ) неоднородногоуравнения Гельмгольца (3.24) в любой точке M 0 , если известнызначения искомого решения u ( P ) и его нормальной производной∂u ( P )на границе области Ω, т.

е. на ∑ .∂nЕсли в пространстве отсутствуют источники, т. е. f ( M ) ≡ 0, торешение уравнения ∆u ( M ) + k 2u ( M ) = 0, M ∈Ω, представляетсявыражениемu(M0 ) ==()(⎛ exp i k r⎛M 0 M ∂u ( P )∂ ⎜ exp i k rM 0 M1⎜uP−()∫∫ ⎜⎜ rM MrM 0 M4π w∂n∂n ⎜0∑ ⎝⎝) ⎞⎟ ⎞⎟d σ⎟ ⎟⎟⎠⎠P , (3.29)которое также называют формулой Кирхгофа.3.9. Функция Грина для уравнения ГельмгольцаРассмотрим вторую формулу Грина, в которой u ( M ) – решение неоднородного уравнения Гельмгольца (3.24), а v ( M ) – решение однородного уравнения ∆v ( M ) + k 2 v ( M ) = 0, M ∈Ω.

Тогдаформула (3.23) примет вид⎛w∫∫ ⎜⎝ u ( P )∑∂v ( P )∂n− v (P)∂u ( P ) ⎞⎟d σP −∂n ⎠− ∫∫∫ f ( M ) v ( M ) d ω = 0.(3.30)Ω391и вычтем (3.30) из (3.28) – первой4πформулы Кирхгофа. Тогда получим⎛ ⎛ exp ikr⎞ ∂u PM 0M1⎜⎜⎟ ( )−+vu(M0 ) =P()w∫∫⎟ ∂n4π ⎜⎜ ⎜rM 0 M∑ ⎝⎝⎠Домножим (3.30) на(−u ( P )+())⎛⎞⎞∂ ⎜ exp ikrM 0 M+ v ( P ) ⎟ ⎟ d σP +⎟ ⎟⎟rM 0 M∂n ⎜⎝⎠⎠()⎛ exp ikrM M⎞10⎜⎟ f ( M ) d ω.+Mv()⎟rM 0 M4π ∫∫∫ ⎜Ω ⎝⎠(3.31)Введем функцию Грина для уравнения Гельмгольца:G(M , M0 ) =(exp i k rM 0 MrM 0 M) + v ( M ).(3.32)Тогда решение (3.31) уравнения (3.24) через функцию Гриназапишется какu(M0 ) =⎛ ∂u ( P )∂G ( P, M 0 ) ⎞1G ( P, M 0 ) − u ( P )⎜⎟ d σP +w∫∫∂n4π ⎝ ∂n⎠∑1+ ∫∫∫ f ( M ) G ( M , M 0 ) d ω.4π(3.33)ΩФункция Грина (3.32) состоит из двух слагаемых, где(exp ik rM 0 MrM 0 M)– обобщенное фундаментальное решение уравненияГельмгольца (3.25); v ( M ) – решение однородного уравненияГельмгольца ∆v ( M ) + k 2 v ( M ) = 0, а сама функция Грина удовлетворяет уравнению∆G ( M , M 0 ) + k 2G ( M , M 0 ) = − 4π δ ( M , M 0 ) , rM 0 M ≥ 0.40Формула (3.33) определяет решение неоднородного уравненияГельмгольца в любой точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) через значения решения u ( M ) и функции Грина G и их нормальных производных наповерхности ∑ (границе области Ω ), т.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6552
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее