Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006) (1095470), страница 5
Текст из файла (страница 5)
е. формула (3.33) позволяетпостроить решение краевой задачи для уравнения Гельмгольца.3.10. Метод функции Грина решения первой краевой задачидля уравнения ГельмгольцаРассмотрим первую краевую задачу для уравнения Гельмгольца при f ( M ) ≡ 0:⎧⎪ ∆u ( M ) + k 2u ( M ) = 0, M ∈Ω,⎨u ∑ = ϕ ( P ) , P ∈∑ .⎪⎩Функцию Грина построим таким образом, чтобы она была решением этой задачи:⎧⎪ ∆G ( M , M 0 ) + k 2G ( M , M 0 ) = −4π δ ( M , M 0 ) , rM M ≥ 0,0⎨G0.=⎪⎩∑Решением задачи может служить функция G ( M , M 0 ) , определенная, как было показано в (3.32), в виде=(exp i k rM 0 MrM 0 M) + v(M ),G (M , M0 ) =M ∈Ω, если функция v ( M ) будет удов-летворять решению однородного уравнения Гельмгольца и граничному условию v ∑ = −(exp i k rM 0 MrM 0 M).Тогда, учитывая, чтоu ∑ = ϕ ( P ) , G ∑ = 0, f ≡ 0, из формулы (3.33) получим решениепервой краевой задачиu(M0 ) = −⎛∂G ( P, M 0 ) ⎞1⎜ ϕ( P)⎟ d σP .w∫∫∂n4π ⎝⎠(3.34)∑41Замечание.
Известны функции Грина, полученные методом отражений для шара, полупространства, симметричного относительноплоскости, для двугранного угла, для телесного угла и т. д. [5].3.11. Цилиндрическая волнаРассмотрим волновое уравнение1 ∂ 2uv 2 ∂t 2= ∆u ( M , t ) .(3.35)Было установлено, что его решение можно записать в виде (3.12):u ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) , ν = const, где амплитуда u ( M )должна удовлетворять однородному уравнению Гельмгольца.Пусть u ( M ) обладает осевой симметрией, u ( M ) = u (r ),r = x 2 + y 2 , z – любое, на поверхности цилиндра r = R.
Тогда вмомент времени t = t ∗ и при r = R и u ( M , t ∗ ) = const получим цилиндрическую монохроматическую волну.Введем цилиндрическую систему координат ( r , ϕ, z ) , в которой∆=1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂2∂2.+⎜⎝ r ⎟⎠ + 2r ∂r ∂rr ∂ϕ 2 ∂z 2Так как u (r ) = u ( M ) не зависит от координат ϕ и z, то∆=1 d ⎛ d ⎞⎜ r ⎟ , и уравнение Гельмгольца получит видr dr ⎝ dr ⎠1 d ⎛ du ⎞2⎜ r ⎟ + k u = 0,r dr ⎝ dr ⎠(3.36)илиd 2u1 du+ k 2u = 0.(3.37)2rdrdr1Выражение (3.37) в виде u ′′ + u ′ + k 2u = 0 есть частный слуrчай уравнения Бесселя:42+( )( )⎧ y1 = I 0 λ x ,⎪⎨⎪⎩ y2 = N 0 λ x ,⎛1m2 ⎞y′′ + y ′ + ⎜ λ − 2 ⎟ y = 0,⎜xx ⎟⎠⎝для случая m = 0 λ = k 2 .Решениями (3.37) являются функции Бесселя и Неймана:u1 ( r ) = I 0 ( kr ) ,u2 ( r ) = N 0 ( kr ) .Поставим задачу нахождения такого частного решения уравнения (3.37), при котором решение волнового уравнения (3.35) представляло бы собой расходящуюся цилиндрическую волну.Для этого воспользуемся асимптотикой частных решенийуравнения Бесселя нулевого порядка:⎧2π⎞ ⎡⎛⎛ 1⎞ ⎤cos ⎜ x − ⎟ ⎢1 + 0 ⎜ ⎟ ⎥ ,⎪ y1 ( x ) = I 0 λ x =⎝⎠⎝ x⎠ ⎦πx4 ⎣1⎪y ′′ + y ′ + y = 0, ⎨x2π⎞ ⎡⎛⎛ 1⎞ ⎤⎪y x = Nxxsin10.λ=−+()⎜⎟20⎢⎪⎝⎝⎜ x ⎠⎟ ⎥⎦4⎠ ⎣πx⎩()()Построим частные решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения Бесселя нулевого порядка в виде⎧⎪ y3 ( x ) = y1 ( x) + i y2 ( x) ,⎨⎪⎩ y4 ( x) = y1 ( x ) − i y2 ( x ) .Эти частные решения – функции Ханкеля (Ганкеля):⎧⎪ H (1) ( x) = I ( x) + i N ( x) ,000⎨ (2)⎪⎩ H 0 ( x) = I 0 ( x) − i N 0 ( x ) .Для них асимптотика примет вид43⎧ (1)2 ⎛π⎞π ⎞⎞ ⎡⎛⎛⎛ 1 ⎞⎤⎪ H0 ( x) =⎜ cos ⎜ x − ⎟ + i sin ⎜ x − ⎟ ⎟ ⎢1 + 0 ⎜ ⎟ ⎥ =4⎠4 ⎠⎠ ⎣πx ⎝⎝⎝⎝ x ⎠⎦⎪⎪π⎛⎞⎪2 i⎜⎝ x − 4 ⎟⎠ ⎡⎛ 1 ⎞⎤e=1 + 0 ⎜ ⎟⎥ ,⎪⎢πx⎝ x ⎠⎦⎣⎪⎨⎪ H (2) x = 2 ⎛ cos ⎛ x − π ⎞ − i sin ⎛ x − π ⎞ ⎞ ⎡1 + 0 ⎛ 1 ⎞ ⎤ =⎜⎜⎟⎜⎟⎟⎜ ⎟⎥⎪ 0 ( )πx ⎝4⎠4 ⎠ ⎠ ⎣⎢⎝⎝⎝ x ⎠⎦⎪⎛ π⎞⎪2 −i⎜⎝ x − 4 ⎟⎠ ⎡⎛ 1 ⎞⎤⎪e=1 + 0 ⎜ ⎟⎥ ,⎢⎪πx⎝ x ⎠⎦⎣⎩илиπ⎧−i⎪ H 0(1) ( x) = e 4 2 eix ⎡⎢1 + 0 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎤⎥ ,⎝ x⎠ ⎦πx ⎣⎪⎨πi⎪ (2)2 − ix ⎡⎛ 1⎞ ⎤e ⎢1 + 0 ⎜ ⎟ ⎥ .⎪ H 0 ( x) = e 4⎝ x⎠ ⎦πx⎣⎩Выберем в качестве u ( M ) функцию y3 ( kr ) = H 0(1) ( kr ) .
Тогдарешениеu (r , t ) = H 0(1) ( kr ) exp ( −i 2πνt ) = r R ≈⎛ π⎞ 2≈ exp ⎜ −i ⎟exp ( ikr ) exp ( −i 2πνt ) ,⎝ 4 ⎠ πx⎛ π⎞ 2u (r , t ) = exp ⎜ −i ⎟exp ( −i ( 2πνt − kr ) ) .⎝ 4 ⎠ πxЭто частное решение – расходящаяся монохроматическая цилиндрическая волна.44Список литературы1. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000. 400 с.2. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина,А.П.
Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. 366 с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып. XII).3. Мосягин Г.М., Немжинов В.Б., Лебедев Е.Н. Теория оптикоэлектронных систем. М.: Машиностроение, 1990. 432 с.4. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методыматематической физики: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина,А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2001. 700 с.(Сер. Математика в техническом университете; Вып. XIII).5. Сборник задач по уравнениям математической физики / В.С. Владимиров, А.А. Вашарин, Х.Х. Каримова и др. М.: Физматлит, 2001. 288 с.45ОглавлениеПредисловие .....................................................................................................31. Волновое уравнение.....................................................................................32. Решение уравнений Лапласа и Пуассона методом функции Грина ......113. Некоторые частные решения волнового уравнения ...............................27Список литературы ........................................................................................4546Для заметок47Методическое изданиеЮрий Иванович МаловМаргарита Михайловна СержантоваАлександр Всеволодович ЧередниченкоВолновое уравнениеРедактор А.В. СахароваКорректор Л.И.
МалютинаКомпьютерная верстка О.В. БеляевойПодписано в печать 29.09.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.Печ. л. 3,0. Усл. печ. л. 2,73. Уч.-изд. л. 2,55. Изд. № 140. Тираж 500 экз.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская, 5..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
