Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006) (1095470), страница 2
Текст из файла (страница 2)
д.В данном пособии рассматривается, в основном, метод решения с помощью функции Грина.Метод разделения переменных можно применять, когда функции, входящие в уравнение, в граничные и начальные условия, могут быть разложены в ряд Фурье по собственным функциям, т. е.функции должны, например, удовлетворять условиям Дирихле ибыть периодическими, при этом допускается конечное число точекразрыва у функций с конечными скачками.В случае бесконечного скачка в точке x0 , как, например, вслучае с дельта-функцией, приходится пользоваться интегральным10преобразованием Фурье для получения обобщенного решенияуравнений Лапласа и Гельмгольца. В этом случае прибегают к нахождению решения с помощью функции Грина.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА И ПУАССОНАМЕТОДОМ ФУНКЦИИ ГРИНА2.1.
Вывод уравнения ЛапласаРассмотрим векторное поле a , определенное в некоторой области Ω, такое, что оно одновременно и потенциальное, т. е.rot a = 0, и соленоидальное, т. е. div a = 0. Так как поле a – потенциальное, существует скаляр u ( M ), M ( x, y, z ) ∈ Ω, называемый потенциалом поля a , такой, что a = grad u. Выполнение условий rot a = 0 и div a = 0 приводит к равенству div grad u = 0 или∇ ⋅ ∇u = 0 (∆u = 0).Дифференциальное уравнение∆u ( M ) = 0, M ( x, y, z ) ∈ Ωназывают уравнением Лапласа.В декартовых прямоугольных координатах уравнение Лапласапринимает вид∂ 2u∂ 2 u ∂ 2u++= 0;∂x 2 ∂y 2 ∂z 2(2.1)в цилиндрических координатах (r , ϕ, z ) , где0 ≤ r < +∞,⎧ x = r cos ϕ,⎪0 ≤ ϕ ≤ 2π,⎨ y = r sin ϕ,⎪ z = z,−∞ < z < +∞,⎩оно принимает вид∆u =1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u ∂ 2u+= 0;⎜r ⎟ +r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂ϕ2 ∂z 2(2.2)11в сферических координатах (r , θ, ϕ) , где⎧ x = r sin θ cos ϕ, 0 ≤ r < +∞,⎪⎨ y = r sin θ sin ϕ, 0 ≤ θ ≤ π,⎪ z = r cos θ,0 ≤ ϕ ≤ 2π,⎩принимает вид1 ∂ ⎛ ∂u ⎞1∂ ⎛∂u ⎞∆u = 2 ⎜ r 2 ⎟ + 2⎜ sin θ ⎟ +∂θ ⎠r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝∂ 2u1+ 2 2= 0.r sin θ ∂ϕ2(2.3)Неоднородное уравнение∆u ( M ) = − f ( M ), M ( x, y, z ) ∈ Ω,(2.4)где f ( M ) – заданная функция, называют уравнением Пуассона.2.2.
Фундаментальное решение уравнения ЛапласаБудем искать решение уравнения Лапласа, обладающее центральной симметрией, когда искомое решение есть функцияu ( M ) = u ( r ),гдеr = x2 + y 2 + z 2– расстояние от точкиM ( x, y, z ) до начала координат. В этом случае уравнение Лапласав сферической системе координат запишется как1 d ⎛ 2 du ⎞⎜r⎟ = 0.r 2 dr ⎝ dr ⎠После повторного интегрирования получимr2CCdu= C1; du = 21 dr ; u = − 1 + C2 .rdrr1Пусть C1 = −1 и C2 = 0.
Тогда получаем частное решение: u = .r12Это решение уравнения Лапласа называют фундаментальным⎛1⎞решением. При этом ∆ ⎜ ⎟ ≡ 0, если r > 0.⎝r⎠1, гдеФункция u =rM 0 MrM 0 M =( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + ( z − z0 )2 ,также удовлетворяет уравнению Лапласа, что проверяется непосредственно.Это решение также называют фундаментальным решениемуравнения Лапласа.2.3. Обобщенное фундаментальное решениеВведем понятие обобщенного фундаментального решения.Рассмотрим уравнение Пуассона∆u ( M ) = −4πδ ( M , M 0 ) , rM 0 M ≥ 0,(2.5)где δ ( M , M 0 ) – дельта-функция, определяемая соотношением⎧ f ( M 0 ) , M 0 ∈ Ω,∫∫∫ f ( M ) δ ( M , M 0 ) dV = ⎨⎩0,ΩM 0 ∉ Ω;f ( M ) – непрерывная и ограниченная в области Ω функция.Если f ( M ) ≡ 1, то⎧ 1,∫∫∫ δ ( M , M 0 ) dV = ⎨⎩0,ΩM 0 ∈ Ω,M 0 ∉ Ω.Пусть ΩM 0 , R – шар с центром в точке M 0 радиуса R, а ∑ M 0 , R– его сферическая поверхность.
Интегрируя уравнение Пуассонапо объему ΩM 0 , R , получим13∫∫∫ΩM 0 , R∆u ( M ) dV = −4π , rM 0 M ≥ 0.(2.6)Преобразуем интеграл в левой части равенства, используяформулу Остроградского – Гаусса:∫∫∫ΩM 0 , R=w∫∫div ( grad u ) dV =∫∫∫∆u ( M ) dV =ΩM 0 , Rgrad u n d σ =∑ M 0 ,Rw∫∫∑M 0 ,R∂ud σ,∂nгде n – внешняя нормаль к сфере, на которойсфере принимает постоянное значение:Тогдаw∫∫∑M0 ,R∂u∂udσ =∂n∂rСледовательно,∂u∂rw∫∫∂u∂n ∑dσ =r =R ∑M 0 ,R4πR 2 = −4π илиr =RЭто означает, что функция u =1rM 0 MM 0 ,R∂u∂r∂∂∂uина=∂n ∂r∂n∂u=≡ const .∂r r = R4πR 2 .r =R∂u∂r=−r =R1r2.r=Rявляется решением урав-нения Пуассона в пространстве rM 0 M ≥ 0, т. е.⎛ 1 ⎞⎟ = −4πδ ( M , M 0 ) , rM 0 M ≥ 0.
В этом случае функцию∆⎜⎜ rM M ⎟⎝ 0 ⎠1u=называют обобщенным фундаментальным решениемrM 0 Mуравнения Пуассона (2.5).Рассмотрим уравнение Лапласа в цилиндрических координатах, когда решение не зависит от координат ϕ и z, а зависит толь14ко от координаты r, т. е. когда в случае осевой симметрииu ( M ) = u ( r ) уравнение Лапласа принимает вид1 d ⎛ du ⎞⎜ r ⎟ = 0.r dr ⎝ dr ⎠Интегрируя это уравнение, получаем u ( r ) = C1 ln r + C2 . При1C1 = −1 и C2 = 0 u ( r ) = ln , r > 0. Это решение называют фундаrментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.1Аналогично получается обобщенное решение u ( r ) = ln,rM 0 MrM 0 M ≥ 0, как решение уравнения Пуассона∆u ( M ) = −2πδ ( M , M 0 ) ,или⎛1∆ ⎜ ln⎜ rM M0⎝⎞⎟ = −2πδ ( M , M 0 ) , rM 0 M ≥ 0,⎟⎠(2.7)где δ ( M , M 0 ) – двумерная дельта-функция с центром в точке M 0 .2.4.
Интегральная формула ГринаРассмотримu (M ), v ( M )∈Cского – Гаусса:векторное2( Ω + ∑ ).полеa = u∇v − v∇u ,гдеПрименим к нему формулу Остроград-w∫∫ a ⋅ n d σ = ∫∫∫ ∇ ⋅ a dV ,∑Ωгде поверхность ∑ – граница области Ω, а n – внешняя нормаль∂v∂uк ней. Заметим, что a ⋅ n = u − vи ∇ ⋅ a = ∇ ⋅ ( u∇v − v∇u ) =∂n∂n= u ∆v − v∆u. Подставляя полученные соотношения в формулу15Остроградского – Гаусса, получим формулу Грина для оператораЛапласа:⎛ ∂v∂u ⎞w∫∫ ⎜⎝ u ∂n − v ∂n ⎟⎠ d σ = ∫∫∫ ( u∆v − v∆u ) dV .∑(2.8)ΩПусть теперь u ( M ) есть решение уравнения Пуассона (2.4), афункция v =1– обобщенное решение уравненияrM 0 M∆v = −4πδ ( M , M 0 ) , rM 0 M ≥ 0,где M 0 ( x0 , y0 , z0 ) – может быть любой точкой пространства.Тогда формула Грина для u ( M ) и v ( M ) примет вид⎛1 ∂u ⎞∂ ⎛ 1 ⎞⎟ dσ =⎟−⎟ rM P ∂n ⎟ PP0⎝ 0 ⎠⎠w∫∫ ⎜⎜ u ∂n ⎜⎜ rM∑⎝⎛f (M ) ⎞⎟ dVM ,= ∫∫∫ ⎜ −4πu ( M ) δ ( M , M 0 ) +⎜rM 0 M ⎟⎠Ω ⎝где P ( M ) ∈ ∑ , M ∈ Ω.В силу определения дельта-функции∫∫∫ u ( M ) δ ( M , M 0 ) dV =Ω= u ( M 0 ) , и формула Грина преобразуется к видуu(M0 ) =f (M )1dVM +∫∫∫rM 0 M4πΩ+⎛ 1 ∂u∂ ⎛ 1 ⎞⎞1⎜−u∫∫ ⎜ rM P ∂n ∂n ⎜⎜ rM P ⎟⎟ ⎟⎟ d σ P .4π w0⎝ 0 ⎠⎠∑ ⎝(2.9)Полученное соотношение называют интегральной формулойГрина.
Она определяет решение u ( M ) уравнения Пуассона в лю16бой точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , если известны значения искомого решения u ( P ) и его нормальной производной∂u ( P )на границе ∑∂nобласти Ω . Первое слагаемое в правой части формулы называютобъемным потенциалом ϕ ( M ) , который обладает следующимсвойством: вне области Ω он удовлетворяет уравнению Лапласа∆ϕ ( M ) = 0, а внутри области Ω – уравнению Пуассона∆ϕ ( M ) = − f ( M ) , что проверяется непосредственно. Второе итретье слагаемые называются соответственно потенциалами простого и двойного слоя.Аналогично для решения u ( M ) уравнения Пуассона (2.4) наплоскости получаем11u(M0 ) =f ( M ) lndS +∫∫2πrM 0 MG+Здесь1 ⎛1 ∂u ( P )1 ⎞⎞∂ ⎛⎜⎜⎟ ⎟ dl.lnln−uP()∫ ⎜ rM P ∂n2π >∂n ⎝⎜ rM 0 P ⎠⎟ ⎟0L⎝⎠M 0 ( x0 , y0 , z0 )–любаяточкаплоскости,M ∈ G,P ( x, y ) ∈ L, L – граница области G.Первое слагаемое в правой части формулы называют логарифмическим потенциалом.Известно, что функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа,называются гармоническими.
Перечислим без доказательств ихсвойства.1. Если u ( M ) – гармоническая функция в области Ω, то∂uw∫∫ ∂n d σ = 0,где ∑ – замкнутая поверхность, ограничивающая∑область Ω, а n – внешняя нормаль к ней.2. Формула среднего значения имеет=w∫∫∑ M 0 ,R∂udσ∂n( 4πR2 ) ,видu(M0 ) =т. е. среднее значение гармонической17функции на сфере радиуса R равно ее значению в центре шаровойобласти ΩM 0 , R , в точке M 0 .3. Гармоническая функция в замкнутой области Ω достигаетсвоего наибольшего (наименьшего) значения на поверхности ∑,ограничивающей область Ω, – эта закономерность называетсяпринципом максимального значения.Следствие.
Если гармоническая функция постоянна на границе области, то она постоянна и во всей области.2.5. Краевые задачи для уравнения ЛапласаКраевой задачей для уравнения Лапласа ∆u = 0 будем называть задачу нахождения функции u ( M ) непрерывной в замкнутойобласти Ω = Ω + ∑, которая внутри области удовлетворяет уравнению Лапласа, а на границе ∑ области одному из следующихусловий:краевому условию 1-го родаu ∑ = F ( P),краевому условию 2-го рода∂u= g ( P),∂n ∑краевому условию 3-го рода()⎛ ∂u⎞22⎜ α + βu ⎟ = γ ( P ) , α ≥ 0, β ≥ 0, α + β ≠ 0 .⎝ ∂n⎠∑Здесь F ( P ) , g ( P ) и γ ( P ) – заданные на поверхности ∑ функции; n – внешняя нормаль к ней.Если область Ω – внутренняя по отношению к поверхности ∑,то краевую задачу называют внутренней, а если область Ω –внешняя по отношению к поверхности ∑, то краевую задачу называют внешней. Краевую задачу для уравнения Лапласа с усло18виями на границе 1-го рода называют задачей Дирихле, 2-го рода –задачей Неймана.Решения краевых задач для уравнения Лапласа обладают следующими свойствами.1.
Решение внутренней задачи Дирихле единственно.2. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной постоянной.3. Условие разрешимости задачи Неймана следует из свойства 1для гармонических функций: w∫∫ g ( P ) d σ = 0 .∑2.6. Функция ГринаПусть u ( M ) – решение уравнения Лапласа в области Ω. Запишем это решение с помощью интегральной формулы Грина, положив в ней f ( M ) = 0:u(M0 ) =⎛ 1 ∂u ( P )∂ ⎛ 1 ⎞⎞1⎜⎜⎟ ⎟ d σP .−uP()∫∫ ⎜ rM P ∂n∂n ⎝⎜ rM 0 P ⎠⎟ ⎟4π w0∑ ⎝⎠(2.10)Пусть функция v ( M ) также является решением уравнения Лапласа в области Ω.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
