Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006), страница 4

в точках сферы возмущенияRпостоянны. Поэтому волну и называют сферической.1Множительв решении выражает закон сохранения энергии,rпередаваемой волной через сферическую поверхность. Известно,что поток энергии пропорционален произведению квадрата ампли1туды на площадь сферы, т. е. 2 4πr 2 = 4π = const.r⎛ 2πν ⎞Пусть S ( w) = A exp ⎜ iw ⎟ , тогда решение (3.6) имеет вид⎝ v⎠u(M , t ) =30A⎛ 2πν ⎞ A⎛ 2πνexp ⎜ iw ⎟ = exp ⎜ i( r − vt ) ⎞⎟ ,r⎝ v⎠ r⎝ v⎠илиu(M , t ) =A2πν ⎞ ⎞⎛ ⎛exp ⎜ −i ⎜ 2πνt −r ⎟⎟ .rv ⎠⎠⎝ ⎝Обозначая длину волны как λ =u(M , t ) =v, запишем решениеνA⎛ ⎛2π ⎞ ⎞exp ⎜ −i ⎜ 2πνt −r ⎟ ⎟.rλ ⎠⎠⎝ ⎝(3.7)Решение (3.7) (частное решение уравнения (3.5)) носит название сферической монохроматической волны.

Это расходящаясяволна от источника излучения, расположенного в начале системыкоординат.Замечание. Можно непосредственно подстановкой показать,A⎛ ⎛2π ⎞ ⎞что решение u1 ( M , t ) = exp ⎜ −i ⎜ 2πνt +r ⎟ также удовлетво⎝ ⎝rλ ⎠ ⎟⎠ряет волновому уравнению. Это решение – тоже сферическая волна, но сходящаяся к началу координат, что не имеет физическогосмысла.3.3. Комплексная амплитуда монохроматической волныОбратимся к волновому уравнению (3.1).

Для этого уравнениямы рассмотрели два частных решения в виде плоской и сферической монохроматических волн:⎛ ⎛2π⎞⎞uпл ( M , t ) = A exp ⎜ −i ⎜ 2πνt −r ⋅ e⎟⎟ ,⎠⎠⎝ ⎝λuсф ( M , t ) =A⎛ ⎛2π ⎞ ⎞exp ⎜ −i ⎜ 2πνt −r⎟ .⎝ ⎝rλ ⎠ ⎟⎠(3.8)(3.9)Представим (3.8) и (3.9) в другом виде:⎛ 2π⎞uпл ( M , t ) = A exp ⎜ ir ⋅ e ⎟ exp ( −i 2πνt ) ,⎝ λ⎠(3.10)31uсф ( M , t ) =A⎛ 2π ⎞exp ⎜ ir exp ( −i 2πνt ) .⎝ λ ⎟⎠r(3.11)Эти два выражения представляют собой комплексные гармонические функции видаu ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) ,(3.12)где u ( M ) – комплексная амплитуда, которая для плоской монохроматической волны имеет вид⎛ 2π⎞uпл ( M ) = A exp ⎜ ir ⋅e⎟ ,⎝ λ⎠(3.13)а для сферической монохроматической волны – видuсф ( M ) =Введем волновое числоA⎛ 2π ⎞exp ⎜ ir .⎝ λ ⎟⎠r(3.14)2π= k .

Тогдаλuпл ( M ) = A exp ( i k r ⋅ e ) ,uсф ( M ) =Aexp ( i k r ) .r(3.15)(3.16)Если амплитуда комплексной гармонической функции (3.12)представлена в виде (3.15) или (3.16), то комплексная гармоническая функция u ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) есть решение волновогоуравнения (3.5).3.4.

Уравнение ГельмгольцаПоставим задачу: каким свойством должна обладать комплексная амплитуда u ( M ), чтобы комплексная гармоническая функция(3.12)быларешениемволновогоуравнения.Пустьu ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) – решение волнового уравнения. Подставим это решение в уравнение (3.1):321v22u ( M ) ( −i 2πν ) exp ( −i 2πνt ) = ∆u ( M )exp ( −i 2πνt ) .После сокращения данного выражения на exp ( −i 2πνt ) ≠ 0 по2⎛ 2πν ⎞лучим − ⎜⎟ u ( M ) = ∆u ( M ) или⎝ v ⎠2⎛ 2πν ⎞∆u ( M ) + ⎜⎟ u ( M ) = 0.⎝ v ⎠Помня, что2πν 2π== k , окончательно записываемvλ∆u ( M ) + k 2u ( M ) = 0.(3.17)Уравнение (3.17) называется уравнением Гельмгольца.Итак, гармоническая функция u ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) является решением волнового уравнения, если амплитуда u ( M )удовлетворяет уравнению Гельмгольца.Замечание.

Пусть u ( M ) – комплексная амплитуда в решенииволновогоуравнения.Обозначимa( M ) = u ( M ) ,a ( M ) ≥ 0,ϕ ( M ) = Arg u ( M ). Тогда u ( M ) = a ( M ) exp ( i ϕ ( M )) . Подставим этовыражение в u ( M , t ) :u ( M , t ) = a( M )exp ( −i ( 2πνt − ϕ ( M )) ) .(3.18)Полученное решение волнового уравнения есть монохроматическая волна с амплитудой a ( M ), полной фазой ( 2πνt − ϕ ( M )) ,зависящей как от времени ϕ(t ) = 2πνt , так и от координат ϕ( M ).Поверхность постоянной фазы в любой точке M, в которой вданный момент времени t = t ∗ фаза волны ϕ( M ) постоянна и одинакова для всех точек (ϕ ( M ) = const), называется волновым фронтом.Замечание. Рассмотрим решение волнового уравнения (3.1) ввиде (3.18) в комплексной форме:u ( M , t ) = a( M ) ( cos ( 2πνt − ϕ ( M )) − i sin ( 2πνt − ϕ ( M )) ) .33Если u ( M ) – решение (3.1), то и действительная и мнимая части u ( M ) – тоже решения.

Поэтому за решение (3.1) можно принять функцию u1 ( M , t ) = Re u ( M , t ) = a ( M )cos ( 2πνt − ϕ ( M )) , которую называют временным гармоническим сигналом.Замечание. В общем случае поверхность постоянной фазыϕ( M ) = const не совпадает с поверхностью постоянной амплитуды, при этом говорят, что такая волна неоднородна.3.5. Решение уравнения ГельмгольцаПусть уравнению Гельмгольца (3.17) удовлетворяют решенияu ( M ) и u1 ( M ), которые являются амплитудами сферической монохроматической волны:A(3.19)u ( M ) = exp ( i k r ) ,rA(3.20)u1 ( M ) = exp ( −i k r )rдля расходящейся и сходящейся волн соответственно.Это решение непрерывно в пространстве, где r > 0. Аналогично можно показать, что решениеAu (rM 0 M ) =exp ± i k rM 0 M ,rM 0 M(где rM 0 M =)( x − x0 ) 2 + ( y − y0 )2 + ( z − z0 ) 2 ,также удовлетворяетуравнению Гельмгольца.

Решения (3.19)–(3.20) называют фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца в пространствеr ( M ) > 0 или rM 0 M ≥ 0.3.6. Обобщенное фундаментальное решениеуравнения ГельмгольцаОбобщеннымrM 0 Mфундаментальным решением в области1exp i k rM 0 M называется решение≥ 0 вида u ( M ) =rM 0 M(неоднородного уравнения Гельмгольца:34)∆u ( M ) + k 2u ( M ) = −4πδ ( M , M 0 ) ,где δ ( M , M 0 ) – дельта-функция. Если ввести сферическую систему координат с центром в точке M 0 , то в этом случае1 d ⎛ 2 d ⎞⎜r⎟ , и решение уравненияr 2 dr ⎝ dr ⎠= −4πδ (r ) примет более простой вид:∆=∆u ( M ) + k 2u ( M ) =1u (r ) = exp(ik r ) для r ≥ 0.21Воспользуемся тем, что v ( r ) = , r ≥ 0, – это обобщенноеrфундаментальное решение уравнения Пуассона ∆v (r ) = −4πδ ( r ) .11Так как u (r ) = exp ( ik r ) , v ( r ) = , то v ( r ) = u (r ) exp ( −ik r ) иrrполученное решение для v ( r ) удовлетворяет уравнению Пуассона∆ ( u (r ) exp ( −ik r ) ) = −4π δ ( r ) , r ≥ 0.1 d ⎛ 2 dr(u (r ) exp ( −ik r ) )⎞⎟⎠ = −4π δ ( r ) .2 dr ⎜⎝drrВычислим левую часть этого соотношения:Действительно,1 d ⎛ 2 du (r )⎞rexp ( −ik r ) − iku (r ) exp ( −ikr ) ⎟ =2 dr ⎜dr⎝⎠r⎞1 d ⎛ ⎛ du (r )⎞= 2 ⎜⎜ r2− iku (r ) ⎟ exp ( −ikr ) ⎟ =dr⎠r dr ⎝ ⎝⎠⎛ 2 ⎛ du (r )⎞= exp ( −i k r ) ⎜ ⎜− iku (r ) ⎟ +⎠⎝ r ⎝ dr⎛ d 2u ( r )du (r )⎛ du (r )⎞⎞⎞()ikikikur+⎜−−−⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ =⎜ dr 2dr⎝ dr⎠⎠⎠⎝⎛ ⎛ d 2u (r ) 2 du (r ) ⎞ 2⎞du (r ) i 2k⎟=()2()kurikur= exp ( −i k r ) ⎜ ⎜+−−−⎟⎜ ⎜ dr 2⎟r dr ⎟⎠drr⎝⎝⎠35⎛ ⎛ d 2u ( r ) 2 du (r )⎞2ku(r)= exp ( −i k r ) ⎜ ⎜++⎟−⎟⎜ ⎜ dr 2r dr⎠⎝⎝−2k 2u (r ) − i 2kdu (r ) i 2k⎞u (r ) ⎟ =−drr⎠()()i 2k ⎛ du ( r )⎛⎞⎞= exp ( −i k r ) ⎜ ∆u (r ) + k 2u (r ) −− ik ru (r ) + u (r ) ⎟ ⎟ =⎜rrdr⎝⎠⎠⎝⎛⎞⎞i 2k ⎛ d ( u (r )r )= exp ( −i k r ) ⎜ ∆u (r ) + k 2u (r ) −− ik ( u (r )r ) ⎟ ⎟ =⎜⎜⎟r ⎝dr⎠⎠⎝w = u (r )r , w = exp ( ikr )= d ( w)dr− ikw = ik exp ( ikr ) − exp ( ikr ) = 0(=)= exp ( −ikr ) ∆u (r ) + k 2u (r ) .Приравниваем полученную левую часть правой и получаем( ∆u(r ) + k u(r )) exp ( −i k r ) = −4π δ ( r )2или∆u (r ) + k 2u (r ) = −4π δ ( r ) exp ( ik r ) .Так как f ( x ) δ ( x, x0 ) = f ( x0 ) δ ( x, x0 ) , тоexp ( ik r )M =M 0δ ( M , M 0 ) = 1⋅ δ ( M , M 0 ) = δ ( r )и∆u ( r ) + k 2 u ( r ) = −4 π δ ( r ) .Это означает, что амплитуда u ( M ) =1rM 0 M(exp ik rM 0 M)–обобщенное фундаментальное решение неоднородного уравненияГельмгольца ∆u ( M ) + k 2u ( M ) = −4π δ ( M , M 0 ) при rM 0 M ≥ 0.363.7.

Неоднородное уравнение ГельмгольцаК нему приводит рассмотрение волнового уравнения при наличии в среде источников возбуждения электромагнитного происхождения. В этом случае1 ∂ 2uv 2 ∂t 2= ∆u ( M , t ) + F ( M , t ) ,(3.21)где F ( M , t ) – функция, определяющая мощность распределенныхисточников.Рассмотрим источники, которые имеют гармоническийхарактер с постоянной частотой ν = const, т. е.

F ( M , t ) == f ( M ) exp ( −i 2πνt ) . Будем искать решение уравнения (3.21) ввиде u ( M , t ) = u ( M ) exp ( −i 2πνt ) . Подставив F ( M , t ) и u ( M , t ) в(3.21), получаем12u ( M ) ( −i 2πν ) exp ( −i 2πνt ) =2v= ∆u ( M ) exp ( −i 2πνt ) + f ( M )exp ( −i 2πνt ) .После сокращения на exp ( −i 2πνt ) ≠ 0, учитывая, что2π= k , получаем неоднородноеλ∆u ( M ) + k 2u ( M ) = − f ( M ).=уравнение2πν=vГельмгольца3.8. Интегральное представление решенияуравнения ГельмгольцаРассмотрим первую формулу Грина для решений u ( M ) иv(M ) :⎛ ∂v∂u ⎞w∫∫ ⎜⎝ u ∂n − v ∂n ⎟⎠ d σ = ∫∫∫ ( u∆v − v∆u ) d ω.∑Ω() ((3.22))Используя тождество u ∆v − v∆u ≡ u ∆v + k 2 v − v ∆u + k 2u ,получим вторую формулу Грина37w∫∫ ⎜⎝ u ∂n − v ∂n ⎟⎠d σ = ∫∫∫ ( u ( ∆v + k⎛ ∂v∂u ⎞∑2))) (v − v ∆u + k 2u d ω, (3.23)Ωгде u ( M ) – решение неоднородного уравнения Гельмгольца∆u + k 2u = − f ( M ) , M ∈Ω;v(M ) =1rM 0 M(exp i k rM 0 M)(3.24)– обобщенное фундаментальное ре-шение уравнения∆v + k 2 v = −4π δ ( M , M 0 ) rM 0 M ≥ 0, M ∈ Ω .(3.25)Учитывая (3.24) и выражение для v ( M ), (3.23) переписываем ввиде(⎛⎛ exp i k rM M0⎜u (P) ∂ ⎜w∫∫ ⎜⎜⎜∂nrM 0 M∑ ⎝⎝) ⎞⎟ − exp ( i k rM M ) ∂u ( P ) ⎞⎟d σ0⎟⎠∂n ⎟⎟⎠rM 0 M(⎛exp i k rM 0 M= ∫∫∫ ⎜ ( −4πδ ( M , M 0 ) ) u ( M ) + f ( M )⎜rM 0 MΩ ⎝P) ⎞⎟d ω.⎟⎠=(3.26)По свойству дельта-функции получаем∫∫∫ ( −4πδ ( M , M 0 )) u ( M ) d ω = −4π u ( M 0 ) .(3.27)ΩС учетом (3.26) и (3.27), если P ∈∑, M ∈Ω, получим интегральное представление решения неоднородного уравненияГельмгольца, или формулу Кирхгофа:()⎛ exp i k rM M ∂u P( )−10⎜u(M0 ) =w∫∫∂n4π ⎜rM 0 M∑ ⎝−u ( P )38(⎛∂ ⎜ exp i k rM 0 MrM 0 M∂n ⎜⎝) ⎞⎟ ⎞⎟ d σ⎟ ⎟⎟⎠⎠P++(⎛exp i k rM 0 M1⎜ f (M )∫∫∫rM 0 M4π ⎜Ω ⎝) ⎞⎟d ω.(3.28)⎟⎠Формула Кирхгофа определяет решение u ( M ) неоднородногоуравнения Гельмгольца (3.24) в любой точке M 0 , если известнызначения искомого решения u ( P ) и его нормальной производной∂u ( P )на границе области Ω, т.

е. на ∑ .∂nЕсли в пространстве отсутствуют источники, т. е. f ( M ) ≡ 0, торешение уравнения ∆u ( M ) + k 2u ( M ) = 0, M ∈Ω, представляетсявыражениемu(M0 ) ==()(⎛ exp i k r⎛M 0 M ∂u ( P )∂ ⎜ exp i k rM 0 M1⎜uP−()∫∫ ⎜⎜ rM MrM 0 M4π w∂n∂n ⎜0∑ ⎝⎝) ⎞⎟ ⎞⎟d σ⎟ ⎟⎟⎠⎠P , (3.29)которое также называют формулой Кирхгофа.3.9. Функция Грина для уравнения ГельмгольцаРассмотрим вторую формулу Грина, в которой u ( M ) – решение неоднородного уравнения Гельмгольца (3.24), а v ( M ) – решение однородного уравнения ∆v ( M ) + k 2 v ( M ) = 0, M ∈Ω.

Тогдаформула (3.23) примет вид⎛w∫∫ ⎜⎝ u ( P )∑∂v ( P )∂n− v (P)∂u ( P ) ⎞⎟d σP −∂n ⎠− ∫∫∫ f ( M ) v ( M ) d ω = 0.(3.30)Ω391и вычтем (3.30) из (3.28) – первой4πформулы Кирхгофа. Тогда получим⎛ ⎛ exp ikr⎞ ∂u PM 0M1⎜⎜⎟ ( )−+vu(M0 ) =P()w∫∫⎟ ∂n4π ⎜⎜ ⎜rM 0 M∑ ⎝⎝⎠Домножим (3.30) на(−u ( P )+())⎛⎞⎞∂ ⎜ exp ikrM 0 M+ v ( P ) ⎟ ⎟ d σP +⎟ ⎟⎟rM 0 M∂n ⎜⎝⎠⎠()⎛ exp ikrM M⎞10⎜⎟ f ( M ) d ω.+Mv()⎟rM 0 M4π ∫∫∫ ⎜Ω ⎝⎠(3.31)Введем функцию Грина для уравнения Гельмгольца:G(M , M0 ) =(exp i k rM 0 MrM 0 M) + v ( M ).(3.32)Тогда решение (3.31) уравнения (3.24) через функцию Гриназапишется какu(M0 ) =⎛ ∂u ( P )∂G ( P, M 0 ) ⎞1G ( P, M 0 ) − u ( P )⎜⎟ d σP +w∫∫∂n4π ⎝ ∂n⎠∑1+ ∫∫∫ f ( M ) G ( M , M 0 ) d ω.4π(3.33)ΩФункция Грина (3.32) состоит из двух слагаемых, где(exp ik rM 0 MrM 0 M)– обобщенное фундаментальное решение уравненияГельмгольца (3.25); v ( M ) – решение однородного уравненияГельмгольца ∆v ( M ) + k 2 v ( M ) = 0, а сама функция Грина удовлетворяет уравнению∆G ( M , M 0 ) + k 2G ( M , M 0 ) = − 4π δ ( M , M 0 ) , rM 0 M ≥ 0.40Формула (3.33) определяет решение неоднородного уравненияГельмгольца в любой точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) через значения решения u ( M ) и функции Грина G и их нормальных производных наповерхности ∑ (границе области Ω ), т.