Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В. Волновое уравнение. Под ред. Г.П.Стась (2006), страница 3

Для гармонических функций u ( M ) и v ( M ) изформулы Грина (2.8) получим∂u ⎞⎛ ∂v0=w∫∫ ⎜⎝ u ∂n − v ∂n ⎟⎠ d σ P .∑(2.11)Вычитая из равенства (2.10) равенство (2.11), получимu(M0 ) =−u ( P)⎛ ∂u ( P ) ⎛ 1⎞1⎜⎜+ v ( P)⎟ −w∫∫⎟⎜ ∂n ⎜ rM P4π⎝ 0⎠∑ ⎝⎞⎞∂ ⎛ 1⎜+ v ( P ) ⎟ ⎟ d σP .⎟⎟∂n ⎜⎝ rM 0 P⎠⎠(2.12)19Введем функцию ГринаG(M , M0 ) =где11rM 0 M+ v ( M ) , M ∈ Ω,(2.13)– обобщенное решение для rM 0 M ≥ 0.rM 0 MУчитывая (2.13), перепишем (2.12) в видеu(M0 ) =⎛ ∂u ( P )1G ( P, M 0 ) −⎜w∫∫4π ⎝ ∂n∑−u ( P)∂G ( P, M 0 ) ⎞⎟ − d σP .∂n⎠(2.14)Формула (2.14) устанавливает связь между значениями решения уравнения Лапласа u ( M 0 ) в произвольной точке M 0 и значениями этого решения, функции Грина и их нормальных производных на поверхности ∑ .2.7.

Функция Грина в задаче ДирихлеПостановка задачи Дирихле имеет вид⎪⎧ ∆u ( M ) = 0, M ∈ Ω,⎨u = F P , P ∈ ∑ .( )⎩⎪ ∑Для нахождения решения воспользуемся формулой (2.14), гдефункция Грина неизвестна. Определим функцию ГринаG ( M , M 0 ) так, чтобы входящая в нее гармоническая в области Ωv(M )функцияv∑ =−201rM 0 Pнаграницеобласти, rM 0 P ≥ 0. Заметим, чтопринималазначение⎛ 1⎞∆G ( M , M 0 ) = ∆ ⎜+ v (M )⎟ =⎜ rM M⎟⎝ 0⎠⎛ 1 ⎞⎟ + ∆v ( M ) = −4πδ ( M , M 0 ) .= ∆⎜⎜ rM M ⎟⎝ 0 ⎠Поэтому⎧∆⎪ G ( M , M 0 ) = −4πδ ( M , M 0 ) , M ∈ Ω,⎨G ∑ = 0,⎪⎩M ∈ Ω,⎧ ∆v = 0,⎪⎨v = − 1 .⎪ ∑rM 0 P⎩При таком выборе функции Грина, когда G ( P, M 0 ) = G(2.15)(2.16)∑= 0,применение формулы (2.14) даст решениеu(M0 ) = −∂G ( P, M 0 )1u ( P)d σP .w∫∫4π∂n(2.17)∑Подставив в (2.17) заданное значение искомого решения u ( P )на поверхности ∑, получим решение задачи Дирихле:u(M0 ) = −∂G ( P, M 0 )1F ( P)d σP .w∫∫4π∂n(2.18)∑Здесь функция Грина определена как решение задачи (2.15).2.8.

Функция Грина в задаче НейманаВ этом случае получить функцию Грина так, чтобы выполня∂Gлось условие= 0, не представляется возможным, так как для∂n ∑21гармонической функции v ( M ) получим∂vw∫∫ ∂n d σ P ≠ 0,∂G∂n=−∑∂ ⎛ 1⎜∂n ⎜⎝ rM 0 M⎞⎟ и⎟⎠что противоречит свойству гармонических функ-∑ций из разд. 2.4.

Поэтому функцию Грина для задачи Нейманаследует искать из решения уравнения⎧∆G ( M , M 0 ) = −4πδ ( M , M 0 ) , M ∈ Ω,⎪4π⎨ ∂G⎪ ∂n = − S ,∑⎩где S – площадь поверхности ∑ .Решение задачи Неймана⎧∆u ( M ) = 0,⎪⎨ ∂u⎪ ∂n = g ( P ) ,⎩ ∑запишется в виде u ( M 0 ) =M ( x, y , z ) ∈ Ω ,P ∈ ∑,1∫∫ g ( P ) G ( P, M 0 ) d σP .4π w∑2.9. Физический смысл функции ГринаИз определения функции Грина следует, что в каждой точкеM 0 ∈ Ω она удовлетворяет в обобщенном смысле уравнению Пуассона∆G ( M , M 0 ) = − 4πδ ( M , M 0 ) , M ∈ Ω,и обращается в нуль на границе области ∑ в случае задачи Дирихле.

Поэтому функцию Грина можно интерпретировать как кулонов потенциал, порождаемый внутри заземленной поверхности∑ единичным зарядом, находящимся в точке M 0 ∈ Ω.22Приведем примеры решения краевой задачи Дирихле с помощью функции Грина для полупространства и шара. Для другихобластей функция Грина может быть получена методом отражений [1, 5].2.10. Примеры построения функции Гринадля различных областей1. Задача Дирихле для полупространства. Постановка краевой задачи имеет вид−∞ < x, y < +∞,⎪⎧∆u ( x, y, z ) = 0,⎨z > 0.⎪⎩ u ( x, y, 0 ) = F ( x, y ) ,В этой задаче поверхность ∑ представляет собой плоскостьz = 0, которую можно считать замкнутой в бесконечности.

Длянахождения функции Грина введем точку M 0* ( x0 , y0 , − z0 ) , сопряженную точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , т. е. точки M 0* и M 0 будутсимметричны относительно плоскости z = 0.В качестве гармонической функции в пространстве z > 0 возь1мем функцию v ( x, y , z ) = −, а функцию Грина возьмем вr *M 0Mвиде∆G ( M , M 0 ) =1rM 0 M−1rгде rM 0 M =( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + ( z − z0 )2 ;=( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + ( z + z0 )2 .rM 0*MПри этом G ∑ = G z =0 = 0 .

Найдем∂G∂n=∑∂G∂z=−z =0∂Gна поверхности ∑ :∂n(( x − x )0,M 0*M2 z022+ ( y − y0 ) + z02)32.23Тогда решение задачи Дирихле для полупространстваzu ( x0 , y0 , z0 ) = 02π+∞ +∞∫ ∫−∞ −∞(( x − x )0F ( x, y ) dx dy22+ ( y − y0 ) + z02)32.Интеграл в правой части этой формулы носит название интеграла Пуассона для полупространства.2. Задача Дирихле для шара. Постановка краевой задачи имеет вид⎧∆M ( x, y , z ) ∈ ΩR ,⎪ u ( M ) = 0,⎨ u= F ( P ) , P ( x, y , z ) ∈ ∑ R ,∑R⎪⎩где ΩR – шар радиуса R с центром в начале координат; ∑ R – поверхность этого шара.Введем точку M 0* вне шара, сопряженную точке M 0 внутришара, такую, что r0 r0* = R 2 (рис. 3), где r0 = x02 + y02 + z02 ;r0* = x0*2 + y0*2 + z0*2 ;rM 0*M=rM 0 M =( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + ( z − z0 )2 ;( x − x0* ) + ( y − y0* ) + ( z − z0* ) .222Рис.

324Совместим точку M ( x, y, z ) с точкой P ( x, y, z ) ∈ ∑ R (рис. 4).Рис. 4Из условия r0 r0* = R 2 и подобия треугольников ∆OPM 0 иR∆OPM 0* следует r * = rM 0 P . В качестве функции Грина расM 0Mr0смотрим функцию∆G ( M , M 0 ) =1rM 0 Mгде G ∑ = G ( P, M 0 ) = 0, а v ( M ) = −−R 1r0 r *,M 0MR 1r0 r *.M 0M∂G ∂G=. Для этого введем некоторые обозначения и∂n ∂rвоспользуемся теоремой косинусов для нахождения rM M иНайдем0rM 0*M:OM = r = x 2 + y 2 + z 2 , OM 0 = r0 = x02 + y02 + z02 , ∠M 0OM = ϕ,25rM 0 M = r 2 + r02 − 2rr0 cos ϕ , rM 0*M= r 2 + r0*2 − 2rr0* cos ϕ .Тогда⎞ R ∂ ⎛ 1⎜⎟−⎟ r0 ∂r ⎜ r ∗⎠⎝ M0M∂G ∂ ⎛ 1= ⎜∂n ∂r ⎝⎜ rM 0 M=−12rM0M⎞⎟=⎟⎠r − r0∗ cos ϕ=r *r − r0 cos ϕ R 1+rM 0 Mr0 r 2 ∗M 0MM 0M2RR2cos ϕR−=R − r0 cos ϕ Rr0r=−+=3Rr0 R 3 3rM 0P= rM 0 Pr *3r0M 0PrMPr0*=rM 0*P0=−R(2− r02R R 2 + r02 − 2 Rr cos ϕ)32.Решение задачи Дирихле по интегральной формуле Грина приметвидu(M0 ) =1∫∫ F ( P )4πR w∑R(RR 2 − r022+ r02− 2 Rr0 cos ϕ)32d σP .Если перейти в сферическую систему координат, введеннуюранее, то в ней точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) будет иметь координатыM 0 ( r0 , θ0 , ϕ0 ) ,анасфере( R, θ, ϕ )–F ( P ) = F ( θ, ϕ ) ,2d σ = R sin θd θd ϕ.

Найдем cos ϕ с помощью скалярного произведения:cos ϕ =26OM 0 ⋅ OPOM 0 ⋅ OP;OM 0OM 0⎛x y z ⎞= ⎜ 0 , 0 , 0 ⎟,⎝ r0 r0 r0 ⎠⎛x y z ⎞= ⎜ P , P , P ⎟ = ( sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ ) ,OP ⎝ R R R ⎠OPcos ϕ = sin θ0 sin θ cos ( ϕ − ϕ0 ) + cos θ0 cos θ.После перехода в выражении для u ( M 0 ) к сферическим координатам получимRu ( r0 , θ0 , ϕ0 ) =4π2π π∫∫0 0()F ( θ, ϕ ) R 2 − r02 sin θd θd ϕ(R2+ r02− 2 Rr0 cos ϕ)32, r0 < R.Этот интеграл в правой части называют интегралом Пуассонадля шара.Замечание. Для решения внешней задачи Дирихле для шарадостаточно в формуле поменять местами точки M 0 и M 0* , т. е.заменить r0 наR2.r03. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ3.1.

Плоская волнаРассмотрим волновое уравнение1 ∂ 2uv 2 ∂t 2= ∆u .(3.1)Покажем, что функция S = S ( w), где w = r ⋅ e − vt ; r – радиусвектор точки M с координатами ( x, y , z ); e – единичный векторс координатами e = ( cos α, cos β, cos γ ) , удовлетворяет уравнению(3.1), если S ( w) – дважды дифференцируемая функция. Действи′′ ;тельно, St′ = S w′ wt′ = − v S w′ ; Stt′′ = v 2 S ww27∆S =∂2S∂x 2+∂2S∂y 2+∂2S∂z 2(3.2),S x′ = S w′ w′x = S w′ ( r ⋅ e − vt )′ x == S w′ ( x cos α + y cos β + z cos γ − vt )′x = S w′ cos α,′′ = S ww′′ cos 2 α, аналогично S xx′′ = S ww′′ cos 2 β,S xx(′′ = S ww′′ cos 2 γ ,S xx)′′ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = S ′′( w).∆S = S ww(3.3)1′′ = S ww′′ , т. е.v 2 S wwv2S ( w) – частное решение волнового уравнения.Выясним свойства полученного решения S ( w). ПустьM ( x, y, z ) удовлетворяет уравнению r ⋅ e = d , r – радиус-векторточки M ( x, y, z ), x cos α + y cos β + z cos γ − d = 0 – уравнение плос-Подставим (3.2), (3.3) в (3.1), получимкости π с нормальным вектором e = ( cos α, cos β, cos γ ) ,d = const – расстояние от начала координат до плоскости π (это иозначает, что точка M ( x, y, z ) ∈ π).

Тогда в любой момент времениt = t ∗ получаем u ( M , t ∗ ) = S (d − vt ∗ ) = const, т. е. возмущение вточках плоскости постоянно.Если e & Ox и e = (1, 0, 0), то волна распространяется со скоростью v перпендикулярно плоскости yOz в направлении оси x, а вобщем случае – перпендикулярно плоскости r ⋅ e = d в направлении вектора e . Выберем в качестве S ( w) функцию⎛ 2πν ⎞S ( w) = A exp ⎜ iw ⎟ , где A = const; ν – частота. Тогда u ( M , t ) =⎝ v⎠⎛ ⎛2πν⎛ 2πν⎞⎞⎞Введем= A exp ⎜ i(r ⋅ e − vt ) ⎟ = A exp ⎜ −i ⎜ 2πνt −r ⋅ e ⎟⎟ .v⎝ v⎠⎠⎠⎝ ⎝vдлину волны = λ. Тогдаν28⎛ ⎛2π⎞⎞u ( M , t ) = A exp ⎜ −i ⎜ 2πνt −r ⋅ e ⎟⎟ .λ⎠⎠⎝ ⎝(3.4)Полученное частное решение (3.4) носит название плоской монохроматической волны.В силу линейности волнового уравнения действительная частьполученного решения – тоже решение, поэтому выражение2π⎛⎞u∗ ( M , t ) = Re u ( M , t ) = A cos ⎜ 2πνt −r ⋅e ⎟λ⎝⎠обычно принимают в качестве решения волнового уравнения.3.2.

Сферическая волнаРассмотрим волновое уравнение для функции u ( M , t ),обладающей центральной симметрией: u ( M , t ) = u (r , t ), гдеr = x2 + y2 + z2 .В этом случае оператор Лапласа ∆ =1 ∂⎛ 2 ∂ ⎞⎜r⎟ , а волновоеr 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠уравнение принимает вид1 ∂ 2u1 ∂ ⎛ ∂u ( r , t ) ⎞= 2 ⎜ r2⎟.∂r ⎠v ∂tr ∂r ⎝22(3.5)Рассмотрим произвольную дважды дифференцируемую функцию S ( w), где w = r − vt , и покажем, что функция1u (r , t ) = S ( r − vt ) есть решение волнового уравнения (3.1).

Найrдем все производные:11ut′ = S w′ wt′ = − v S w′ ,rr1′′ ,utt′′ = v 2 S wwr29∂ ⎛1⎛1⎞ 1 ∂⎛⎞⎞∆u = ∆ ⎜ S ( w ) ⎟ = 2 ⎜ r 2 ⎜ S ( w ) ⎟ ⎟ =⎝r⎠ r ∂r ⎝ ∂r ⎝ r⎠⎠1 ∂⎛ ⎛ 11⎞⎞= 2 ⎜ r 2 ⎜ − 2 S ( w ) + S w′ wr′ ⎟ ⎟ =rr ∂r ⎝ ⎝ r⎠⎠=1 ∂11′′ ) = S ww′′ .− S ( w ) + rS w′ ) = 2 ( − S w′ + S w′ + rS ww2 ∂r (rrrПодставим их в уравнение (3.1) и получим111′′ = S ww′′ .v 2 S wwrrv21Значит, выражение u (r , t ) = S ( w ) есть частное решение уравнеrния (3.1).Сравнивая полученное частное решение волнового уравнения(3.1) с решением уравнения для колебания струны, назовем решение1u (r , t ) = S ( r − vt )r(3.6)сферической волной, распространяющейся со скоростью v.В точках сферы r = R при фиксированном времени t = t ∗ име1ем u ( M , t ∗ ) = S ( R − vt ∗ ) = const , т. е.