Функция одной переменной (Конспект), страница 5

55Çàìå÷àíèå. Òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ ïåðèîäîì T , òî ôóíêöèÿ y = K ·f (kx+b)+a òîæå ïåðèîäè÷åñêàÿTñ ïåðèîäîì T1 =(ï. 3.5 ëåêöèè 3). Äåéñòâèòåëüíî, ãðàôèê ïîñëåä|k|íåé ôóíêöèè ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîãî ñäâèãîì âäîëü îñè Ox, ÷òî íåìåíÿåò ïåðèîä, ïîñëåäóþùèì ¾ñæàòèåì¿ âäîëü îñè Ox, ÷òî ¾óìåíüøàåò¿ ïåðèîä â |k| ðàç (ïåðèîä T äåëèòñÿ íà |k|), è îêîí÷àòåëüíûìóìíîæåíèåì âñåõ îðäèíàò íà K ñ ïîñëåäóþùèì ïðèáàâëåíèåì a, ÷òîTòàêæå íå èçìåíÿåò ïîëó÷èâøèéñÿ ïåðèîä T1 =.|k|Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 3. Îñíîâíûå ñâîéñòâàôóíêöèéÍà ýòîì çàíÿòèè ìû íà ïðàêòèêå ïîçíàêîìèìñÿ ñ îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè ôóíêöèé.Ïðèìåð 3.1.1+√.2+xÍàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè: y =√−x +Ð å ø å í è å: Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèè åñòü ïåðåñå√1÷åíèå îáëàñòåé îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé y =−x ò.å.−x > 0 è y = √2+x,ò.å.:{2+x>02 + x ̸= 0Òàêèì îáðàçîì, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè åñòü ðåøåíèåñèñòåìû íåðàâåíñòâ:{ −x > 0x602+x>0 ⇔x > −2 2 + x ̸= 0Îòâåò: (−2; 0].Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 3.

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ôóíêöèé73Ïðèìåð 3.2. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèèy = arcsin(x + 1)3 .Ð å ø å í è å: Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèè åñòü ìíîæåñòâî{ðåøåíèé3 ñèñòåìû íåðàâåíñòâ:(x + 1) 6 1(x + 1)3 > −1Ðåøàÿäàííóþ ñèñòåìó,{{ ïîëó÷àåì:x+161⇔x + 1 > −1Îòâåò: D(f ) = [−2; 0]Ïðèìåð 3.3.y=ex +e−x.2x60x > −2Èññëåäóéòå ôóíêöèþ íà ÷¼òíîñòü è íå÷¼òíîñòü:Ð å ø å í è å:Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèèD(f ) == (−∞; +∞) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.

Ïðîâåðèìe−x +exâûïîëíåíèå âòîðîãî óñëîâèÿ: f (−x) == f (x), ò.å. ôóíêöèÿ2÷¼òíàÿ.Îòâåò: ÷¼òíàÿ.Ïðèìåð 3.4.íå÷¼òíîñòü.Èññëåäóéòå ôóíêöèþ y = x2 − 5x + 6 íà ÷¼òíîñòü èÐ å ø å í è å: Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè åñòü(−∞; +∞),ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî 0. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå âòîðîãî óñëîâèÿ:22f (−x) = (−x) − 5(−x) + 6 = x + 5x + 6 ̸= ±f (x)Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ôóíêöèÿ ñâîéñòâàìè ÷¼òíîñòè, íå÷¼òíîñòèíå îáëàäàåò. Çàìåòèì, ÷òî å¼ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ÷¼òíîé(y = x2 + 6) è íå÷¼òíîé (y = −5x) ôóíêöèé.Îòâåò: ÷¼òíîñòüþ, íå÷¼òíîñòüþ íå îáëàäàåò.Äëÿ ïðèâåä¼ííîé ôóíêöèè íàéäèòå íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä T , åñëè îíà ïåðèîäè÷åñêàÿ: y = 5 sin 3x.Ïðèìåð 3.5.Ð å ø å í è å:Ïåðèîä ôóíêöèèy = sin xðàâåí2π . ñîîòâåò-ñòâèè ñ òåîðåìîé ï.3.5 íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä ôóíêöèèy = 5 sin 3x áóäåò ðàâåí 2π.32πÎòâåò:.374Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 3.

Îñíîâíûå ñâîéñòâà ôóíêöèéÏðèìåð 3.6. Íàéäèòå íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä ôóíêöèè y = 3 sin 5x + 4 cos 7x.Ð å ø å í è å:  ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.1 ôóíêöèÿ y = 3 sin 5xT1 = 2π, ôóíêöèÿ y = 4 cos 7x 52πïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì T2 =. Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèÿ ïåð72π 4π 6πâîé ôóíêöèè áóäóò ïîâòîðÿòüñÿ ÷åðåç, 5 , 5 , . . . , âòîðîé ÷åðåç52π 4π, 7 , . . . . Î÷åâèäíî, ÷òî íàèìåíüøèé îáùèé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä7ýòèõ äâóõ ôóíêöèé ðàâåí 2π ; ýòî è áóäåò íàèìåíüøèì ïîëîæèòåëüáóäåò ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîìíûì ïåðèîäîì èõ ñóììû.Îòâåò:T = 2π .Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòàÍàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè:Ïðèìåð 3.8.√1 + x.√3y = 1 + x.Ïðèìåð 3.9.y=Ïðèìåð 3.7.y=1.4−x2√4Ïðèìåð 3.11.9 − x2 .√y = 2 + x − x2 .Ïðèìåð 3.12.y=Ïðèìåð 3.13.y=Ïðèìåð 3.14.2x).y = arccos( 1+xÏðèìåð 3.15.y = lg( xÏðèìåð 3.16.xy = arcsin(lg( 10))Ïðèìåð 3.10.y=√2−x2.xln( 2+x).2−x2 −3x+2x+1).Èññëåäóéòå ôóíêöèþ íà ÷¼òíîñòü è íå÷¼òíîñòü:Ïðèìåð 3.17.y=Ïðèìåð 3.18.y=Ïðèìåð 3.19.y=ex −e−x.2√49 − x2 .Ïðèìåð 3.20.√√1 + x + x2 − 1 − x + x2 .√√y = 3 (x + 1)2 + 3 (x − 1)2 .Ïðèìåð 3.21.).y = lg( 1+x1−xÏðèìåð 3.22.y = x2 − x + 1.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 4.

Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé75Äëÿ ïðèâåä¼ííîé ôóíêöèè íàéäèòå íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûéïåðèîäT,åñëè îíà ïåðèîäè÷åñêàÿ.Ïðèìåð 3.23.Ïðèìåð 3.24.Ïðèìåð 3.25.Ïðèìåð 3.26.y = 2 sin 3x + 7 cos 5x.√y = tg x.y = sin2 x.√y = sin x.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 4. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâôóíêöèéÄëÿ äàííîé ôóíêöèè îïðåäåëèòå îáëàñòü, â êîòîðîéîíà áóäåò îáðàòèìîé, è íàéäèòå îáðàòíóþ ôóíêöèþ: y = 2x + 3.Ïðèìåð 4.1.Ð å ø å í è å:Äàííàÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ìîíîòîííî âîçðàñòà-x ∈ R, ïîýòîìó îáðàòèìà. Äëÿ íàõîæäåíèÿ îáðàòíîé ôóíêx ÷åðåç y è çàòåì îáîçíà÷èì x ÷åðåç y , à y ÷åðåç x:y = 2x + 3 ⇔ x = y2 − 32 ⇔ y = x2 − 23 .Îòâåò: Ìíîæåñòâî, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ îáðàòèìà: R. Îáðàòíàÿxôóíêöèÿ y =− 32 .2√Ïðèìåð 4.2.

Ïóñòü f (x) =1 + x2 ; íàéäèòå 2f (x) − f 2 (x).åò ïðèöèè âûðàçèìÐ å ø å í è å:y = 2f (x) −f 2 (x)√21+x1 + x2 . Ïîëó÷èì: y = 2−Ïîäñòàâèì â èñêîìóþ ôóíêöèþ√âìåñòî f (x) äàííîå âûðàæåíèå: f (x) =√√2− ( 1 + x2 )2 èëè: y = 2 1+x√ − 1 − x2 .2f (x)Îòâåò: 2− f 2 (x) = 2 1+x − 1 − x2 .Ïðèìåð 4.3. Íàéäèòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, óäîâëåòâîðÿþùåé ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó M (1; 1) ïîä óãëîì135◦ ê îñè Ox.Ð å ø å í è å:  óðàâíåíèè ïðÿìîé (4.6)y − y0 = k(x − x0 ) óãëoâîéêîýôôèöèåíò ðàâåí òàíãåíñó óãëà ïðÿìîé ñ îñüþ Ox : k = tg(φ). Äëÿ◦äàííîé ïðÿìîé k = tg 135 = −1.

Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå ïðÿìîé (4.6)M, ïîëó÷èì y − 1 = −(x − 1).y = −x + 2.êîîðäèíàòû òî÷êèÎòâåò:76Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 4. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèéÏðèìåð 4.4. Âû÷èñëèòå óãëû è êîîðäèíàòû âåðøèí òðåóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî äàíû óðàâíåíèÿìè: l1 : 18x + 6y − 17 = 0, l2 :14x − 7y + 15 = 0, l3 : 5x + 10y − 9 = 0.Aòî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ l1 è l2 ,B ïðÿìûõ l2 è l3 , C ïðÿìûõ l1 è l3 . Íàéäåì óãîë A △ABC ïî ôîðìóëå:k1 −k2tg ∠A = 1+k, ãäå k1 , k2 óãëîâûå êîýôôèöèåíòû ïðÿìûõ l1 è l2 .1 k217Âûðàçèì y èç óðàâíåíèé l1 è l2 : l1 : 18x + 6y − 17 = 0 ⇐⇒ y = −3x +;615l2 : 14x−7y+15 = 0 ⇐⇒ y = 2x+ 7 ; îòñþäà k1 = −3, k2 = 2.

Ïîëó÷àåì:tg ∠A = −3−2= +1 =⇒ ∠A = 45o . Îñòàëüíûå óãëû △ABC íàéäèòå1−6Ð å ø å í è å:Îáîçíà÷èìñàìîñòîÿòåëüíî.Íàéäåì êîîðäèíàòû âåðøèíûA êàê ðåøåíèå{ñèñòåìû óðàâíåíèé:{{2918x + 6y − 17 = 0y = −3x + 17x = 426⇔⇔154414x − 7y + 15 = 0y = 2x + 7y = 2 1052944Îòâåò: A(; 2 105).210Íàïèøèòå óñëîâèÿ, çàäàþùèå ìíîæåñòâî òî÷åê∆ABC , åñëè A(1; 1), B(2; 3), C(3; 0).Ïðèìåð 4.5.Ð å ø å í è å: Íàïèøåì óðàâíåíèå ñòîðîííåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå òî÷êè.AB : y−1= x−1⇔ y = 2x − 13−12−1y−3x−2BC : 0−3 = 3−2 ⇔ y = −3x + 9AC : y−1= x−1⇔ y = − x2 + 320−13−1∆ABC , èñïîëüçóÿ óðàâ-AB äåëèò ïëîñêîñòü Oxy íà äâå ïîëóïëîñêîñòè: y > 2x − 1è y 6 2x − 1.

∆ABC ðàñïîëîæåí â òîé èç íèõ, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ âåðøèíà C . Ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû òî÷êè C(3; 0) óäîâëåòâîðÿþòâòîðîìó èç ïðèâåä¼ííûõ íåðàâåíñòâ, çàêëþ÷àåì, ÷òî ∆ABC ëåæèò âïîëóïëîñêîñòè, óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó y 6 2x − 1.Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì, ÷òî êîîðäèíàòû òî÷åê ∆ABC óäîâëåòâîx3ðÿþò íåðàâåíñòâàì y 6 −3x + 9 è y > − + . Îêîí÷àòåëüíî çàêëþ÷à22åì, ÷òî ∆ABC îïðåäåëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ýòèõ ïîëóïëîñêîñòåé, ò.å.ñèñòåìîéíåðàâåíñòâ:y62x − 1y 6 −3x + 9y > − x2 + 32ÏðÿìàÿÏðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 4. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèéÏðèìåð 4.6.Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = |x2 − 1|.Ð å ø å í è å: Ãðàôèê ôóíêöèèy = f (x)ôóíêöèè•77y = |f (x)|ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêàñëåäóþùèì îáðàçîì (ðèñ.

56)âñå ÷àñòè ãðàôèêà ôóíêöèèy = f (x),ëåæàùèå íèæå îñèOx, ñëåäóåò îòîáðàçèòü ââåðõ ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ýòîé•îñè;îñòàâøèåñÿ âíèçó ÷àñòè èñõîäíîãî ãðàôèêà ñëåäóåò ñòåðåòü.Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ìîäóëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà èìååì:{|f (x)| =f (x),−f (x),åñëèåñëèf (x) 6 0,f (x) < 0.Òàêèì îáðàçîì, òå ó÷àñòêè èñõîäíîãî ãðàôèêà, êîòîðûå ëåæàò íåOx (f (x) > 0), ìåíÿòü íå íóæíî, àOx, íóæíî ïîñòðîèòüíèæå îñèäëÿ òåõ ó÷àñòêîâ, êî-òîðûå ëåæàò íèæå îñèôóíêöèþy = −f (x). ñîîòâåòñòâèè ñ ï. 5.2 ýòî ïîëó÷àåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòîáðàæåíèåìèñõîäíîãî ãðàôèêà îòíîñèòåëüíî îñè Ox.

Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûéãðàôèê ëåæèò íå íèæå îñè∀x ∈ D(f ).yOx,÷òî åñòåñòâåííî, ò.ê.|f (x)| > 0äëÿyyy= 4-5xy= x+4y= x2xÐèñ. 55.Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèèy = |x2 − 1|•y = f (x)y = f (|x|)√4 − 5xïîêàçàíî íà ðèñ. 57.ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêàñëåäóþùèì îáðàçîì (ðèñ. 58):âñå ÷àñòè ãðàôèêà ôóíêöèèOy ,y=Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè (|x| − 2)2 .Ð å ø å í è å: Ãðàôèê ôóíêöèèôóíêöèè4/5 xx-4Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèèÏðèìåð 4.7.2ñëåäóåò ñòåðåòü;y = f (x),ëåæàùèå ñëåâà îò îñè78Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 4.

Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèéyyy= f(x)y=f(x)xÐèñ. 56.xÏîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèèy = |f (x)|yyy= x2 -1y=x 2 -1-1Ðèñ. 57.•11-1x1Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèèxy = |x2 − 1|îñòàâøóþñÿ ÷àñòü ãðàôèêà ñëåäóåò îòîáðàçèòü íàëåâî ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñèOy .Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ìîäóëÿ äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà èìååì:{|x| =x,−x,åñëèåñëèx > 0,x < 0.Òàêèì îáðàçîì, íå íóæíî èçìåíÿòü òå ó÷àñòêè èñõîäíîãî ãðàôèêà,x > 0, à äëÿ x < 0 (ñëåâà îò îñè Oy ) ñëåäóåò ïîñòðîèòüôóíêöèè y = f (−x).

 ñîîòâåòñòâèè ñ ï. 5.2 ýòî ïîëó÷àåò-äëÿ êîòîðûõãðàôèêñÿ ñèììåòðè÷íûì îòîáðàæåíèåì èñõîäíîãî ãðàôèêà îòíîñèòåëüíî îñèOy . Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííûé ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñèOy , ÷òî åñòåñòâåííî, ò.ê. ôóíêöèÿ y = f (|x|) ÷¼òíàÿ (äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî).Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèèy = (|x| − 2)2ïîêàçàíî íà ðèñ. 59.Ýëåìåíòàðíûìè ìåòîäàìè ìîæíî ñòðîèòü ýñêèçû ãðàôèêîâ áîëååñëîæíûõ ôóíêöèé.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 4. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé79yyy=f( x )y=f(x)xÐèñ. 58.xÏîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèèyyy = f (|x|)y=( x -2) 2y=(x-2) 2442Ðèñ.