Функция одной переменной (Конспект), страница 3

32), ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì çàìåíû x íà yèyíàÏðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 3.2. Åñëè y = f (x) âîçðàñòàþùàÿ (óáûâàþùàÿ) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî îíà èìååò îáðàòíóþ, êîòîðàÿ òîæå ÿâëÿåòñÿâîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé).Ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ íå÷¼òíîé, òàêæå íå÷¼òíàÿ.56Ëåêöèÿ 4. Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèèÏðèìåð 3.22. Íàéòè îáðàòíóþ ôóíêöèþ ê ôóíêöèè y = 2x − 1.Ïîñòðîèòü ãðàôèêè îáåèõ ôóíêöèé.x ÷åðåç y : y = 2x−1 ⇐⇒ x =y+1.2íà x. Óðàâíåíèå îáðàòíîé ôóíêöèè ïðèìåò âèä:Ð å ø å í è å: Âûðàçèì çíà÷åíèåÇàìåíèì x íà y , a y. Ãðàôèêè ýòèõ ôóíêöèé èçîáðàæåíû íà ðèñ. 33.y = x+12y-1y=f (x)y=f(x)x0y=xÐèñ.

32.Ôóíêöèÿy = x2 ,Ãðàôèê ïðÿìîé è îáðàòíîé ôóíêöèéêàê îòìå÷àëîñü, íåîáðàòèìà, îäíàêî åñëè å¼ ðàñ-ñìàòðèâàòü òîëüêî ïðèx ∈ [0; +∞), òî îíà áóäåò ìîíîòîííîéè, ñëåäî√y = x èçîáðàæåíâàòåëüíî, îáðàòèìîé. Ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèèíà ðèñóíêå 34Ëåêöèÿ 4. Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèèÝëåìåíòàðíûåôóíêöèè.Ñâîéñòâàîñíîâíûõýëåìåíòàðíûõôóíêöèé. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ4.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÎïðåäåëåíèå 4.1. Îñíîâíûìè ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè ÿâëÿþòñÿ: ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ (y = C), ñòåïåííàÿ (y = xn , n ∈ R),ïîêàçàòåëüíàÿ (y = ax ), ëîãàðèôìè÷åñêàÿ (y = loga x), òðèãîíîìåòðè÷åñêèå (y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x) è îáðàòíûå ê íèì(y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x).Ëåêöèÿ 4.

Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè57yy=2x-1y=xy= x+1211Ðèñ. 33.Ãðàôèê ôóíêöèèxy = 2x − 1 è îáðàòíîé ê íåéy2y=x (x>0)y=xy= xx0Ðèñ. 34.Ãðàôèêè ôóíêöèèy = x2 è y =√xÎïðåäåëåíèå 4.2. Ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè íàçûâàþòñÿ òåôóíêöèè, êîòîðûå ìîæíî çàäàòü â ÿâíîì âèäå îäíèì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì èç îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþàðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé è íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè îò ôóíêöèé, ïðèìåí¼ííûõ êîíå÷íîå ÷èñëî ðàç.Ïðèìåðàìè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû, äðîáíîðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ (îòíîøåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ), èððàöèîíàëüíûå (êîðåíü èç ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè) è ò.ä.58Ëåêöèÿ 4. Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèèÍå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè, íàïðèìåð, ôóíêöèè: 1, ïðè x > 0,0, ïðè x = 0,y=−1, ïðè x < 0,{1, ïðè x ∈ Q,y= −1, ïðè x ∈ I, x2 + 2x + 3, ïðè x < 0,3, ïðè 0 6 x < 5,y= √x, ïðè x > 5.è ò.ä.Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.4.2.

Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòèÎïðåäåëåíèå 4.3.Ëèíåéíîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà:y = kx + b.(4.1)D(f ) = (−∞; +∞); ïðè k ̸= 0 E(f ) = (−∞; +∞), ôóíêöèÿ íåîãðàíè÷åííàÿ, íåïåðèîäè÷åñêàÿ. Ïðè b = 0 ôóíêöèÿ íå÷¼òíàÿ; ïðè k > 0ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, ïðè k < 0 óáûâàåò, ïðè k = 0 ïîñòîÿííà.(Äîêàæèòå âñå ýòè ñâîéñòâà ñàìîñòîÿòåëüíî).Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñÿìè êîîðäèíàò(0; b)è(− kb ; 0);ãðàôèêîìy = kx + b ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì (òàíãåíñ óãëà ñ îñüþ Îx) k = tg φ (ðèñ. 35, 36) ïðè k ̸= 0. Îáðàòíàÿx−bôóíêöèÿ y =òàêæå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé.kôóíêöèèÓñëîâèåì ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ íåâåðòèêàëüíûõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòèy = k1 x + b1èy = k2 x + b 2ÿâëÿåòñÿ:k1 = k2 ,ò.ê.(4.2)φ1 = φ2 ⇐⇒ tg φ1 = tg φ2 ⇐⇒ k1 = k2 .Óñëîâèå (4.2) îçíà÷àåò, ÷òî äâå ïðÿìûå èëè íåïåðåñåêàþòñÿ ïðè b1 ̸= b2 èëè ñîâïàäàþò ïðè b1 = b2 .Çàìå÷àíèå 4.1.Óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè íà ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èçâåñòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìóëû:tg(φ2 − φ1 ) =k2 − k1tg φ2 − tg φ1=.1 + tg φ1 · tg φ21 + k1 · k2Ëåêöèÿ 4.

Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèèφ2 − φ1 = arctg59k2 − k11 + k1 · k2(4.3)Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.3), ïîëó÷èì óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòèφ2 − φ1 = 90◦ =⇒äâóõ íåâåðòèêàëüíûõ ïðÿìûõ.  ýòîì ñëó÷àå=⇒ tg(φ2 − φ1 ) = ∞ =⇒ 1 + k1 · k2 = 0.Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìóñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè:k1 · k2 = −1.(4.4)Êàê èçâåñòíî, äâå òî÷êè îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ íà ïëîñêîñòè. Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå òî÷êè(x1 ; y1 )è(x2 ; y2 ),èìååò âèä:y − y1x − x1=.(4.5)y2 − y1x2 − x1Äåéñòâèòåëüíî, âûðàçèâ y èç óðàâíåíèÿ (4.5), ïîëó÷èì óðàâíåíèåy2 −y1y2 −y1âèäà (4.1) ïðè k =è b = y1 −· x1 ; êðîìå òîãî, êîîðäèíàòûx2 −x1x2 −x1äàííûõ äâóõ òî÷åê óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (4.5), ò.å. ýòà ïðÿìàÿïðîõîäèò ÷åðåç äàííûå äâå òî÷êè.yy=kx+b, k>0tg( ϕ )=kby=(x-b)/k, k>0ϕ0Ðèñ.

35.Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿxy = kx + b ïðè k > 0Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå (4.5) îïèñûâàåò ëþáóþïðÿìóþ íà ïëîñêîñòè, êðîìå âåðòèêàëüíîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äâå60Ëåêöèÿ 4. Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèèybOxϕy= x-bk, k<0y=kx+b, k<0Ðèñ. 36.Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿy = kx + b ïðè k < 0òî÷êè ëåæàò íà âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé, òî x1 = x2 è â óðàâíåíèè (4.5)o1k = xy22 −yíå ñóùåñòâóåò (óãîë φ = 90 =⇒ k = tg φ = ∞). Çàìå−x1òèì òàêæå, ÷òî åñëè äâå òî÷êè ëåæàò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé, òîy1 = y2 =⇒ k = 0y = b.(x0 ; y0 ) è óãëîâîé êîýôôèöèåíò k òàêæå îïðåäå-è óðàâíåíèå ïðÿìîé (4.5) ïðèîáðåòàåò âèäÄàííàÿ òî÷êà ïðÿìîéëÿþò ïðÿìóþ.

Ëåãêî ïîêàçàòü (ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì), ÷òî e¼ óðàâíåíèå èìååò âèä:y − y0 = k(x − x0 ).(4.6)Ïó÷êîì ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç äàííóþòî÷êó (x0 ; y0 ), íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè,ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç äàííóþ òî÷êó.Îïðåäåëåíèå 4.4.Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå âñåõïðÿìûõ ïó÷êà, êðîìå âåðòèêàëüíîé, èìååò âèä (4.6).

Óðàâíåíèå êîíêðåòíîé ïðÿìîé ïó÷êà ïîëó÷àåòñÿ èç (4.6) ïðè ôèêñèðîâàííîìk.Íàðÿäó ñ óðàâíåíèåì (4.1) ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè ìîæåò áûòü çàäàíàòàê íàçûâàåìûì îáùèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé:Ax + By + C = 0,ãäå êîýôôèöèåíòûAèBíå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî.(4.7)Ëåêöèÿ 4. Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè61Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå (4.1) ëåãêî çàïèñàòü â âèäå (4.7), ïåðå-íåñÿ âñå ÷ëåíû â ëåâóþ ÷àñòü.

Íàîáîðîò, åñëè B ̸= 0 â óðàâíåíèèAC(4.7), òî âûðàæàÿ y , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå y = − x −âèäà (4.1) ÏðèBBB = 0, A ̸= 0 èç óðàâíåíèÿ (4.7) ìîæíî âûðàçèòü x = − CA è ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (4.7)ÿâëÿåòñÿ áîëåå îáùèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé, ÷åì (4.1), ÷òî îáúÿñíÿåòåãî íàçâàíèå.4.3. Îáðàòíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòüÎáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþíàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà: y = x1 ; D(f ) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); E(f ) == (−∞; 0) ∪ (0; +∞).Îïðåäåëåíèå 4.5.Ôóíêöèÿ íåîãðàíè÷åííàÿ, íåïåðèîäè÷åñêàÿ. Ôóíêöèÿ íå÷¼òíàÿ ò.ê.1D(f ) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî òî÷êè O è f (−x) = −x= − x1 = −f (x).Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà(−∞; 0) è íà (0; +∞).Äîêàæåì ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå.

Âîçüì¼ì x1 > x2 > 0 è ðàññìîò1f (x1 ) − f (x2 ) = x11 − x12 = xx21−x. x1 > x2 > 0 ⇐⇒ x2 − x1 < 0,·x2x2 −x1x1 · x2 > 0 ⇐⇒ x1 ·x2 < 0 ⇐⇒ f (x1 ) − f (x2 ) < 0 ⇐⇒ f (x1 ) < f (x2 ).1Òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñÿìè êîîðäèíàò íåò. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y =xÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëà (ðèñ. 37). Ôóíêöèÿ îáðàòèìàÿ, îáðàòíàÿ ôóíêöèÿy = x1 .1Íåïðàâèëüíî ãîâîðèòü, ÷òî y =óáûâàåò íà (−∞; 0) ∪ (0; +∞),xò.ê., íàïðèìåð, äëÿ x1 = 1,x2 = −1, x1 > x2 , f (x1 ) > f (x2 ).ðèìÍåëüçÿ òàê æå óòâåðæäàòü, ÷òî ôóíêöèÿ íà îáúåäèíåíèè èíòåðâàëîââîçðàñòàåò, ò.ê., íàïðèìåð,f (2) < f (1).4.4.

Êâàäðàòè÷íàÿ çàâèñèìîñòü y = x2D(f ) = (−∞; +∞); E(f ) = [0; +∞) Ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà ñíèçó:y > 0; íå ïåðèîäè÷åñêàÿ. Ôóíêöèÿ ÷¼òíàÿ, ò.ê. D(f ) ñèììåòðè÷íà22îòíîñèòåëüíî O è f (−x) = (−x) = x = f (x). Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà(−∞; 0) è âîçðàñòàåò íà (0; +∞). Äîêàæåì âîçðàñòàíèå íà (0; +∞).22Âîçüì¼ì x1 > x2 > 0 è ðàññìîòðèì f (x1 ) − f (x2 ) = x1 − x2 = (x1 −−x2 )(x1 + x2 ), x1 > x2 > 0 ⇐⇒ x1 − x2 > 0, x1 + x2 > 0 ⇐⇒ (x1 −−x2 )(x1 + x2 ) > 0 ⇐⇒ f (x1 ) − f (x2 ) > 0 ⇐⇒ f (x1 ) > f (x2 ). Òî÷êà2ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ Oy (0; 0).

Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x ÿâëÿåòñÿïàðàáîëà (ðèñ. 38). Ôóíêöèÿ íåîáðàòèìàÿ, íî åñëè ðàññìîòðåòü îäíóå¼ âåòâü íày=√x[0; +∞) √(èëè íà (−∞; 0]), òî ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿy = − x).(èëè62Ëåêöèÿ 4. Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè4.5. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ y = xny = x, y = x2 , y = x1 ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìèñëó÷àÿìè ýòîé ôóíêöèè ïðè n = 1, 2, −1 ñîîòâåòñòâåííî. Ðàññìîòðèì3äðóãèå ñëó÷àè.

y = x ; D(f ) = (−∞; +∞), E(f ) = (−∞; +∞). ÔóíêÐàññìîòðåííûå ôóíêöèèöèÿ íåîãðàíè÷åííàÿ, íåïåðèîäè÷åñêàÿ. Ôóíêöèÿ íå÷¼òíàÿ. Ôóíêöèÿìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñÿìè (0;0). Ãðàôèêîì3ôóíêöèè y = x ÿâëÿåòñÿ êóáè÷åñêàÿ ïàðàáîëà (ðèñ. 39). Ôóíêöèÿ√3èìååò îáðàòíóþ ôóíêöèþ y =x. Ôóíêöèè y = x5 , y = x7 , y = x9è ò.ä. îáëàäàþò àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàìè è èìåþò ïðèáëèçèòåëüíî468òàêèå æå ãðàôèêè. Ôóíêöèè y = x , y = x , y = x è ò.ä.

îáëàäàþò2ñâîéñòâàìè, àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàì ôóíêöèè y = x , è èìåþò ïîõîæèé ãðàôèê.yy= 1xxÐèñ. 37.Ãðàôèê ãèïåðáîëûy=1xyy=x21y= x0Ðèñ. 38.1Ãðàôèê ïàðàáîëûxy = x2Ëåêöèÿ 4. Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè63y1y= 3 x-1x0 1-1y=x3Ðèñ. 39.Ãðàôèê ïàðàáîëûyy=a x, 0<a<1y = x3y=a x, a>1y=log ax, a>1101xy=log ax, 0<a<1Ðèñ. 40.Ãðàôèê ïîêàçàòåëüíîé è ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèé4.6.

Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ y = ax , a > 0, a ̸= 1D(f ) = (−∞; +∞), E(f ) = (0; +∞) Ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà ñíèçó:y > 0; íåïåðèîäè÷åñêàÿ. Ôóíêöèÿ íè ÷¼òíàÿ, íè íå÷¼òíàÿ. Ôóíêöèÿïðè a > 1 âîçðàñòàåò, ïðè a < 1 óáûâàåò. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþOy : (0; 1). Ãðàôèê ôóíêöèè ïðèâåäåí íà ðèñ. 40. Ôóíêöèÿ îáðàòèìàÿ,îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ y = loga x.64Ëåêöèÿ 4. Îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè4.7. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = loga x, a > 0, a ̸= 1y = loga x ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê ôóíêöèè y = ax ,îíà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: D(f ) = (0; +∞),E(f ) = (−∞; +∞).