Функция одной переменной (Конспект), страница 2

òî÷êè(x; f (x))è(−x; f (−x))äëÿ ÷¼òíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷íûîòíîñèòåëüíî îñè Îó, ïîñêîëüêó f (−x) =y = x2 +1 ÿâëÿåòñÿ ÷¼òíîé, ïîñêîëüêó D(f )îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò èf (x). Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ= (−∞; +∞) ñèììåòðè÷íàf (−x) = (−x)2 + 1 = x2 + 1 = f (x).50Ëåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÃðàôèê ôóíêöèèy = x2 + 1ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè Îó(ðèñ. 29).Ñóììà, ðàçíîñòü, ïðîèçâåäåíèå è ÷àñòíîå äâóõ ÷¼òíûõ ôóíêöèéåñòü ÷¼òíàÿ ôóíêöèÿ.Ïîïðîáóéòå äîêàçàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.y2y=x+13210-3 -2 -1-1123x-2Ðèñ. 29.Ãðàôèê ôóíêöèèy = x2 + 1yy=x 3321-2 -10-112x-2Ðèñ. 30.Ãðàôèê ôóíêöèèy = x3Ëåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ51Îïðåäåëåíèå 3.4. ×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íå÷¼òíîé, åñëè îáëàñòü åå îïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò è f (−x) = −f (x) äëÿ âñåõ x ∈ D(f ).Ãðàôèê íå÷¼òíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò (òî÷êè Î), ò.ê. òî÷êè(x; f (x))è(−x; f (−x))äëÿ íå÷¼òíîéôóíêöèè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, ïîñêîëüêó f (−x) == −f (x). Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ y = x3 ÿâëÿåòñÿ íå÷¼òíîé, ïîñêîëüêó å¼D(f ) = (−∞; +∞) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíîf (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x).3Ãðàôèê ôóíêöèè y = x ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî òî÷êè O (ðèñ. 30).îáëàñòü îïðåäåëåíèÿíà÷àëà êîîðäèíàò èÑóììà è ðàçíîñòü íå÷¼òíûõ ôóíêöèé åñòü íå÷¼òíàÿ ôóíêöèÿ.Ïðîèçâåäåíèå è ÷àñòíîå íå÷¼òíûõ ôóíêöèé åñòü ÷¼òíàÿ ôóíêöèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ óòâåðæäåíèé ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî òîìó,êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ ÷¼òíûõ ôóíêöèé: ñíà÷àëà óñòàíàâëèâàåòñÿñèììåòðè÷íîñòü îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, çàòåì ïðîâåðÿåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü òðåáóåìîãî ðàâåíñòâà.

Äîêàæèòå èõ ñàìîñòîÿòåëüíî.Íàðÿäó ñ ÷¼òíûìè è íå÷¼òíûìè ñóùåñòâóþò ôóíêöèè, íå ÿâëÿþùèåñÿ íè òåìè, íè äðóãèìè, ò.å. íå îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì ÷¼òíîñòè√3íå÷¼òíîñòè. Íàïðèìåð, ôóíêöèè y = x + 1, y =x, y = 2x , y = lg xíå ÿâëÿþòñÿ íè ÷åòíûìè, íè íå÷¼òíûìè.Çàìåòèì, ÷òî ëþáóþ ôóíêöèþy = φ(x)ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿD(f ), ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ÷¼òíîé è íå÷¼òíîé ôóíêöèè: φ(x) = f (x)+g(x), ãäåφ(x)−φ(−x)f (x) = φ(x)+φ(−x)åñòü ôóíêöèÿ ÷¼òíàÿ (äîêàæèòå), à g(x) =223åñòü ôóíêöèÿ íå÷¼òíàÿ.

Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ y = x + 1 ïðåäñòàâèìà â3âèäå ñóììû ÷¼òíîé ôóíêöèè f (x) = 1 è íå÷¼òíîé ôóíêöèè g(x) = x .√Ïðèìåð 3.12. Ôóíêöèÿ y =x íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷¼òíîé, íè íå÷¼òíîé, ò.ê. å¼ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(f ) = [0; +∞) íå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî O.Ïðèìåð 3.13.íîé?ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ y =x2 +xx÷¼òíîé èëè íå÷¼ò-Ð å ø å í è å: Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèèD(f ) = (−∞; 0)∪∪(0; +∞) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî O. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå îäíîãîèç ðàâåíñòâ:f (−x) = f (x) èëè f (−x) = −f (x),2 −x2= x−x̸= f (x),f (−x) = (−x)−xxx2 +x−f (x) = − x ̸= f (−x).52Ëåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÎòâåò:y=x2 +xíå ÿâëÿåòñÿ íè ÷¼òíîé íè íå÷¼òíîé ôóíêöèåé.xÏðèìåð 3.14.íîé?Ð å ø å í è å:ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ y =1x2 −1÷¼òíîé èëè íå÷¼ò-Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèèD(f ) = (−∞; −1) ∪ (−1; 1) ∪ (1; +∞) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî O.Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå îäíîãî èç ðàâåíñòâ:f (−x) = f (x) èëè f (−x) = −f (x).f (−x) = (−x)12 −1 = x21−1 = f (x)1Îòâåò: y = 2÷¼òíàÿ ôóíêöèÿ.x −13.5.

Ïåðèîäè÷íîñòü ôóíêöèèy = f (x) íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì T ̸= 0,åñëè x − T è x + T ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, f (x) = f (x ± T )äëÿ ëþáîãî x ∈ D(f ). Îáû÷íî ïîä ïåðèîäîì ôóíêöèè ïîíèìàþò íàèÔóíêöèÿìåíüøèé èç âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ ïåðèîäîâ, åñëè òàêîé ïåðèîä ñóùåñòâóåò.  ýòîì ñëó÷àå âñå ïåðèîäûT0 : T = n · T0 ,ãäån ∈ Z.Têðàòíû íàèìåíüøåìó ïåðèîäóÈç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òîT0 > 0.Ïðèìåð 3.15. Ôóíêöèÿ y = sin x èìååò ïåðèîä T0 = 2π , ò.ê.x + 2π ∈ D(f ), x − 2π ∈ D(f ) è sin(x ± 2π) = sin x.Ïðèìåð 3.16. Ôóíêöèÿ y = {x} èìååò ïåðèîä T0 = 1, ò.ê. x+1 ∈∈ D(f ), x − 1 ∈ D(f ) è {x + 1} = {x}.Ñóììà, ðàçíîñòü, ïðîèçâåäåíèå è ÷àñòíîå ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèéT.y = {x} + 1 ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ïåðèîäîì T = 1, ò.ê.

y = {x} è y = 1 ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè ñ òåì æåïåðèîäîì. Åñëè u = f (x) åñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì T ,òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = g(f (x)) òîæå ïåðèîäè÷åñêàÿ (âîçìîæíî ññ ïåðèîäîìTÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ïåðèîäîìÍàïðèìåð,äðóãèì ïåðèîäîì), åñëè âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå òðåáîâàíèå â îïðåäåëåíèè ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè.2Íàïðèìåð, y = sin x ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ïåðèîäîìT0 = π . ïóíêòå 4.12 ëåêöèè 4 áóäåò ïîêàçàíà ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãîóòâåðæäåíèÿ:Òåîðåìà 3.1.

Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ ïåðèîäîìT , òî ôóíêöèÿ y = Kf (kx + b) + a áóäåò òàêæå ïåðèîäè÷åñêîé ñTïåðèîäîì T1 = |k|, k ∈ R.Ëåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÏðèìåð 3.17.53Íàéòè ïåðèîä ôóíêöèè y = 2 sin(3x + 2).y = sin x èìååò ïåðèîä T = 2π , k = 3. Ïîýòîìó2·πïåðèîä T1 ôóíêöèè y = 2 sin(3x + 2) áóäåò ðàâåí T1 =.32·πÎòâåò: T1 =.3√Ïðèìåð 3.18. ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ y =x ïåðèîäè÷åñêîé?Ð å ø å í è å:Ð å ø å í è å: Ýòà ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, ò.ê., íàïðè-x = 0 è T > 0 x − T íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòèT < 0 x + T ïðè x = 0 íå ïðèíàäëåæèò îáëàñòèìåð, äëÿîïðåäåëåíèÿ.Ïðèîïðåäåëåíèÿ.Òàêèì îáðàçîì, íå âûïîëíÿåòñÿ ïåðâîå òðåáîâàíèå îïðåäåëåíèÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè.Ïðèìåð 3.19.ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ y = x ïåðèîäè÷åñêîé?D(f ) = (−∞; +∞), ïîýòîìó x + T ∈ D(f ) è x − T ∈∈ D(f ), åñëè x ∈ D(f ). Íàéäåì ïåðèîä T0 èç óñëîâèÿ: f (x+T0 ) = f (x),ò.å.

x + T0 = x. Îòñþäà T0 = 0.Îòâåò: y = x íå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé.Ð å ø å í è å:3.6. Îãðàíè÷åííûå ôóíêöèèÎïðåäåëåíèå 3.5. Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîéñâåðõó, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M , ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ D(f ) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: f (x) 6 M . Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿîãðàíè÷åííîé ñíèçó, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî m, ÷òî äëÿ âñåõx ∈ D(f ) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: f (x) > m.

Ôóíêöèÿ, îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó è ñíèçó, íàçûâàåòñÿ ïðîñòî îãðàíè÷åííîé.Íàïðèìåð,y = x2îãðàíè÷åíà ñíèçó, íàïðèìåð, ÷èñëîì m = −2 èy = −x4 îãðàíè÷åíà ñâåðõó, íàïðèìåð,íå îãðàíè÷åíà ñâåðõó. ÔóíêöèÿM = 1 è íå îãðàíè÷åíà ñíèçó. Ôóíêöèÿ y = sin x îãðàíè÷åíà:−1 6 sin x 6 1. Ôóíêöèè y = x, y = lg(x), y = tg(x), y = x1 íå÷èñëîìîãðàíè÷åíû.3.7. Âîçðàñòàíèå è óáûâàíèå ôóíêöèéÔóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåéíà ìíîæåñòâå X ⊂ D(f ), åñëè äëÿ ëþáûõ x1 ∈ X è x2 ∈ X èç íåðàâåíñòâà x1 > x2 ñëåäóåò f (x1 ) > f (x2 ) (ò.å.

¾÷åì áîëüøå x, òåìáîëüøå y ¿). Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé íà ìíîæåñòâåX ⊂ D(f ), åñëè äëÿ ëþáûõ x1 ∈ X è x2 ∈ X èç íåðàâåíñòâà x1 > x2Îïðåäåëåíèå 3.6.54Ëåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿñëåäóåò f (x1 ) < f (x2 ) (ò.å. ¾÷åì áîëüøå x, òåì ìåíüøå y ¿). Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåóáûâàþùåé íà ìíîæåñòâå X ⊂ D(f ),åñëè äëÿ ëþáûõ x1 ∈ X è x2 ∈ X èç íåðàâåíñòâà x1 > x2 ñëåäóåòf (x1 ) > f (x2 ). Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé íàìíîæåñòâå X ⊂ D(f ), åñëè äëÿ ëþáûõ x1 ∈ X è x2 ∈ X èç íåðàâåíñòâà x1 > x2 ñëåäóåò f (x1 ) 6 f (x2 ).

Ôóíêöèè, òîëüêî âîçðàñòàþùèåèëè òîëüêî óáûâàþùèå, íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè, à ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà X îáëàñòÿìè ìîíîòîííîñòè.Íàïðèìåð, ôóíêöèÿy = x2íà(−∞; 0]óáûâàåò, à íàðàñòàåò.Ïðèìåð 3.20.Äîêàçàòü âîçðàñòàíèå ôóíêöèè y =Ð å ø å í è å:D(f ) = [0; +∞).Âîçüì¼ì[0; +∞)√x.x1 > x2 > 0äâà çíà÷åíèÿàðãóìåíòà èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Íåîáõîäèìî äîêàçàòü, ÷òî> f (x2 ).Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü√√f (x1 ) − f (x2 ) = x1 − x2 .è ðàçäåëèì íà ñóììó êîðíåé:√√√√√√( x1 − x2 )·( x1 + x2 )√2 .√√x1 − x2 == √xx11 −xx1 + x2+ x2x −xÒ.ê. x1 > x2 ⇔ x1 − x2 > 0 ⇔ √ 1 √2>0⇔x1 + x2⇔ f (x1 ) − f (x2 ) > 0 ⇔ f (x1 ) > f (x2 ).âîç-f (x1 ) >Óìíîæèì√√x1 − x2 > 0Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.Ïðèìåð 3.21.

Ôóíêöèÿ, èçîáðàæ¼ííàÿ íà ðèñ. 31, âîçðàñòàåò íàèíòåðâàëàõ (a; x1 ), (x2 ; x3 ), (x4 ; b) è óáûâàåò íà èíòåðâàëàõ (x1 ; x2 ),(x3 ; x4 ).3.8. Îáðàòíûå ôóíêöèèy = f (x) ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D(f )è îáëàñòüþ èçìåíåíèÿ E(f ). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè, êàæäîìó çíà÷åíèþ x ∈ D(f ) ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå y ∈ E(f ).Îäíàêî ðàçíûì çíà÷åíèÿì x1 ∈ D(f ) è x2 ∈ D(f ), x1 ̸= x2 , ìîæåò2ñîîòâåòñòâîâàòü îäíî çíà÷åíèå y ∈ E(f ). Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ y = xñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå äâóì ðàçíûì çíà÷åíèÿì àðãóìåíòà x1 = 1 èx2 = −1 îäíî çíà÷åíèå y = 1.ÏóñòüÔóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ îáðàòèìîé, åñëè ðàçíûì çíà÷åíèÿì àðãóìåíòà x1 ̸= x2 ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûåçíà÷åíèÿ ôóíêöèè y1 ̸= y2 .Îïðåäåëåíèå 3.7.Åñëè ôóíêöèÿy ∈ E(f )y = f (x)îáðàòèìà, òî ìîæíî êàæäîìó çíà÷åíèþïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå ÷èñëîx ∈ D(f ).

Òày = f (x), èêîå îáðàòíîå ñîîòâåòñòâèå íàçûâàþò ôóíêöèåé, îáðàòíîé êËåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ55yy=f(x)ax1x20x3x4 b xf(x1)Ðèñ. 31.Èíòåðâàëû ìîíîòîííîñòèx = f −1 (y). Àðãóìåíò îáðàòíîé ôóíêöèè îáû÷íî îáîçíà÷àþò ÷åðåç x, à çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ÷åðåç y . Òîãäà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ−1çàïèøåòñÿ â âèäå: y = f(x).−1−1Åñëè ôóíêöèÿ fÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê f , òî fÿâ−1ëÿåòñÿ îáðàòèìîé, è f ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê f. Ôóíê−1öèè f è fíàçûâàþò âçàèìíî îáðàòíûìè. Äëÿ âçàèìíî îáðàòíûõîáîçíà÷àþòôóíêöèé èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:D(f −1 ) = E(f ); f −1 (f (x)) = x äëÿ x ∈ D(f );E(f −1 ) = D(f ); f (f −1 (x)) = x äëÿ x ∈ D(f −1 ).Ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîåñâîå çíà÷åíèå îíà ïðèíèìàåò òîëüêî îäèí ðàç.  ÷àñòíîñòè, ïåðèîäè÷åñêèå è ÷¼òíûå ôóíêöèè íå ÿâëÿþòñÿ îáðàòèìûìè.Ãðàôèêè âçàèìíî îáðàòíûõ ôóíêöèé ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíîïðÿìîéx.y = x (ðèñ.