Функция одной переменной (Конспект)

Ëåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ43ÃËÀÂÀ IIÔóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîéËåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÏîíÿòèå ÷èñëîâîé ôóíêöèè. Ñïîñîáû çàäàíèÿ. ×¼òíûå, íå÷¼òíûå, ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè. Îáðàòíûå ôóíêöèè.3.1. Ïîíÿòèå ÷èñëîâîé ôóíêöèèÏóñòü äàíû äâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ÷èñåë Õ è Ó. ×èñëîâîé ôóíêöèåé y = f (x) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëî, êîòîðîå êàæäîìó ÷èñëó x ∈ X ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå ÷èñëî y ∈ Y . Ïåðåìåííóþ x íàçûâàþò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîéèëè àðãóìåíòîì, ïåðåìåííóþ y çàâèñèìîé ïåðåìåííîé èëè ôóíêöèåé, ìíîæåñòâî Õ íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D(f ), ìíîæåñòâî Y íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ èçìåíåíèÿ èëè ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíêöèè E(f ).Îïðåäåëåíèå 3.1.Íàðÿäó ñ îáîçíà÷åíèÿìè ôóíêöèèâ ÷àñòíîñòèy = f (x) èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå,y = y(x).

Çíà÷åíèå ôóíêöèè äëÿ ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åx0 áóäåì îáîçíà÷àòü y0 = f (x0 ) èëè y0 = y(x0 ). Ñàìàíèÿ àðãóìåíòàôóíêöèÿ, åå àðãóìåíò è çíà÷åíèå ìîãóò áûòü îáîçíà÷åíû è äðóãèìèV = F (u).ïåðåìåííûå x è y ðàññìàòðèâàòüáóêâàìè, íàïðèìåð:Åñëèêàê äåêàðòîâû êîîðäèíàòûòî÷åê íà ïëîñêîñòè, òî ãðàôèêîì ÷èñëîâîé ôóíêöèèåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòèOxyy = f (x) íàçûâàñ êîîðäèíàòàìè(x; f (x)).Îñíîâíûìè ñïîñîáàìè çàäàíèÿ ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèé,ãðàôè÷åñêèé è òàáëè÷íûé.Ïðè àíàëèòè÷åñêîì ñïîñîáå ôóíêöèÿ çàäà¼òñÿ ïîñðåäñòâîì ôîðìóë.Ïðè ýòîì îíà ìîæåò áûòü çàäàíà â äåêàðòîâûõ è ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ â ÿâíîì è íåÿâíîì âèäå, â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå.Åñëè â óðàâíåíèè, îïðåäåëÿþùåì ôóíêöèþ, çíà÷åíèå ôóíêöèèyâûðàæåíî â ÿâíîì âèäå (èçîëèðîâàíî â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ), òî44Ëåêöèÿ 3.

Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà â ÿâíîì âèäå:y = f (x).Ïðèìåð 3.1.(3.1)y = 2x + 1.Äàííàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ â ÿâíîì âèäå, êàæäîìó äåéñòâèòåëü-x ∈ R ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå äåéñòâèòåëüíîå÷èñëî y , äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîòîðîãî íåîáõîäèìî çíà÷åíèå x óìíîæèòü íàíîìó ÷èñëó2 è ê ðåçóëüòàòó ïðèáàâèòü 1.Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèèèçìåíåíèÿD(f ) = (−∞; +∞), îáëàñòüE(f ) = (−∞; +∞).Åñëè â óðàâíåíèè, îïðåäåëÿþùåì ôóíêöèþ, çíà÷åíèå ôóíêöèèyíå âûðàæåíî â ÿâíîì âèäå (íå èçîëèðîâàíî â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ),òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ çàäàíà â íåÿâíîì âèäå óðàâíåíèåì âèäà:F (x, y) = 0.(3.2)Çàìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì îñòàåòñÿ òðåáîâàíèå, ÷òîáû êàæäîìó ÷èñëóx èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâîâàëî åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå y èç222ìíîæåñòâà çíà÷åíèé.

Òàê, íàïðèìåð, óðàâíåíèå x + y = R îïðåäå√√2222ëÿåò äâå ôóíêöèè: y =R − x è y = − R − x . Ê ýòîìó ïðèìåðóìû åù¼ âåðí¼ìñÿ.Ïðèìåð 3.2.xy = 1.Ôóíêöèÿ çàäàíà óðàâíåíèåì â íåÿâíîì âèäå. Äëÿ êàæäîãî äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿx ̸= 0ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå ó,óäîâëåòâîðÿþùåå ýòîìó óðàâíåíèþ. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíê-D(f ) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞),∪ (0; +∞).öèèîáëàñòü èçìåíåíèÿE(f ) = (−∞; 0) ∪Ïðè ãðàôè÷åñêîì ñïîñîáå ôóíêöèÿ çàäà¼òñÿ ñ ïîìîùüþ ãðàôèêà.Íàïðèìåð, ïî ãðàôèêó ôóíêöèè, èçîáðàæ¼ííîìó íà ðèñ. 26, ìîæíîx = 0 ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåy = 1, çíà÷åíèþ x = 1 ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå y = 2 è ò.ä.óñòàíîâèòü, ÷òî çíà÷åíèþÏðè ïàðàìåòðè÷åñêîì çàäàíèè ôóíêöèè â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ çíà÷åíèå ôóíêöèèyè å¼ àðãóìåíòàxçàäàþòñÿ êàê ôóíêöèè îòòðåòüåé ïåðåìåííîé âåëè÷èíû, òàê íàçûâàåìîãî ïàðàìåòðàæåñòâàtèç ìíî-T:{x = x(t),y = y(t).(3.3)Ëåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ45y32-3-2-11123x0-1-2-3Ðèñ. 26.Ãðàôè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèèÅñëè ýòè ôóíêöèè âû÷èñëèòü ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèè ïàðàìåòðàt,M (x; y); êîãäàT , òî÷êà M (x, y)ìû ïîëó÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè íà ïëîñêîñòèïåðåìåííàÿtïðîáåãàåò âñå çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâàOxy .îïèñûâàåò íåêîòîðóþ ëèíèþ â ïëîñêîñòèÓðàâíåíèÿ (3.3) íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ýòîéëèíèè. Èíîãäà, èñêëþ÷èâ ïàðàìåòðtèç ñèñòåìû (3.3), ìîæíî ïîëó-÷èòü ÿâíîå èëè íåÿâíîå óðàâíåíèå ôóíêöèè.{Ïðèìåð 3.3.x = R cos t,y = R sin t.(3.4)Åñëè ýòè óðàâíåíèÿ ïî÷ëåííî âîçâåñòè â êâàäðàò è ñëîæèòü, òî âsin2 t + cos2 t = 1 ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå x2 + y 2 = R2 .ñèëó òîæäåñòâàÝòîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò êîîðäèíàòû òî÷åê îêðóæíîñòè ñöåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîìëû (2.6) äëÿ òî÷åêM (x; y),R,òàê êàê â ñèëó ôîðìó-êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò ýòî-ìó óðàâíåíèþ, ðàññòîÿíèå äî íà÷àëà êîîðäèíàòðàâíîO(0; 0)ïîñòîÿííî èR.x2 + y 2 = R2 âûðàçèòüy√2ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè: y =R − x2Åñëè èç óðàâíåíèÿëó÷èì äâåâ ÿâíîì âèäå, ïî√è y = − R2 − x2 .Êàæäàÿ èç ýòèõ ôóíêöèé çàäà¼òñÿ ïàðàìåòðè÷åñêè îäíèìè è òåìèæå óðàâíåíèÿìè, íî îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà äëÿ ýòèõ ôóíêöèéðàçëè÷íû: äëÿ ïåðâîé èç íèõïîëóîêðóæíîñòü), äëÿ âòîðîéïîëóîêðóæíîñòü).06t6ππ 6 t 6 2π(ãðàôèêîì ñëóæèò âåðõíÿÿãðàôèêîì ÿâëÿåòñÿ íèæíÿÿ46Ëåêöèÿ 3.

Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ{Ïðèìåð 3.4.x = a(t − sin t),y = a(1 − cos t).(3.5)Ýòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè öèêëîèäû. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëèíèÿ, îïèñûâàåìàÿ ýòèìè óðàâíåíèÿìè (öèêëîèäà), ïîëó÷àåòñÿ êàê òðàåêòîðèÿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êèîêðóæíîñòè ðàäèóñîìMa, êàñàâøåéñÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò îñè àáñöèññâ íà÷àëå êîîðäèíàò, êîòîðàÿ êàòèòñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ïî îñè àáñöèññ(ðèñ. 27).

Ïðè ýòîì â íà÷àëüíûé ìîìåíò òî÷êàMñîâïàäàåò ñ íà÷àëîìêîîðäèíàò.y.aMaÐèñ. 27.Ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðàïîëíûé îáîðîò. Òî÷êàx2π a0MÖèêëîèäàt îò 0 äî 2πîêðóæíîñòü ñîâåðøèò îäèíïðè ýòîì îïèøåò îäíó àðêó öèêëîèäû.Ïðè çàäàíèè ôóíêöèè â ÿâíîì âèäå â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ïîëÿðíûé ðàäèóñrâûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîëÿðíûé óãîëφ:r = r(φ).Ïðè ýòîì êàæäîìó çíà÷åíèþñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèår.φèç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåò-Ýòî, îäíàêî, íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî ïðèïåðåõîäå ê äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì êàæäîìó çíà÷åíèþâåòñòâîâàòü åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåÏðèìåð 3.5.(3.6)x áóäåò ñîîò-y.r = a(1 + cos φ).Êðèâàÿ, îïèñûâàåìàÿ ýòèì óðàâíåíèåì â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ,íàçûâàåòñÿ êàðäèîèäîé (ðèñ.

28).Ñîñòàâèâ òàáëèöó äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷åíèé ïîëÿðíîãî óãëàr, ïîñòðîèì ïîëó÷èâøóþñÿ êðèâóþπ/2 3π/4π 5π/43π/2 7π/42π√√√2−12−12+1√√√a a 2 0 a 2aa 2 2añîîòâåòñòâóþùèõ èì çíà÷åíèéφ 0π/4√r 2a a √2+12φèËåêöèÿ 3. Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ47Ïðè òàáëè÷íîì ñïîñîáå ôóíêöèÿ çàäà¼òñÿ ïîñðåäñòâîì òàáëèöû.Íàïðèìåð, ñëåäóþùàÿ òàáëèöà óñòàíàâëèâàåò çàêîí, êîòîðûé êàæäîìó èç ïåðå÷èñëåííûõ â ýòîé òàáëèöå çíà÷åíèé àðãóìåíòàñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåxyxñòàâèò ây.-2-1-0,501-3-1013x2a0Ðèñ. 28.Êàðäèîèäà√ Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòü èçìåíåíèÿôóíêöèè y = 2x − 1.Ïðèìåð 3.6.Ð å ø å í è å:Òàê êàê îïåðàöèÿ èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿîïðåäåëåíà òîëüêî äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ âåëè÷èí, òî äàííàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà òîëüêî äëÿ çíà÷åíèé àðãóìåíòàíåðàâåíñòâó:2x − 1 > 0.x,óäîâëåòâîðÿþùèõÐåøàÿ ýòî íåðàâåíñòâî, ïîëó÷àåì:D(f ) == [0, 5; +∞).

Ïîñêîëüêó àðèôìåòè÷åñêèé êîðåíü íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì, çàêëþ÷àåì, ÷òî îáëàñòü èçìåíåíèÿ E(f ) = [0; +∞).Îòâåò: D(f ) = [0, 5; +∞), E(f ) = [0; +∞).Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòü èçìåíåíèÿôóíêöèè y = log2 (x2 − 3x + 2).Ïðèìåð 3.7.Ð å ø å í è å: Ïîñêîëüêó îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêîéôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûé èíòåðâàë (0; +∞), çàêëþ÷àåì, ÷òî îá2ëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(f ) = {x|x −3x+2 > 0}. Ðåøèì ýòî íåðàâåíñòâî,äëÿ ÷åãî îïðåäåëèì êîðíè óðàâíåíèÿ:x2 − 3x + 2 = 0 =⇒ x1 = 1, x2 = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèåì2íåðàâåíñòâà x − 3x + 2 > 0 ÿâëÿåòñÿ (−∞; 1) ∪ (2; +∞).48Ëåêöèÿ 3.

Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÎáëàñòüþ çíà÷åíèé ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ìíîæå-ñòâîR,E(f ) = {y|y ∈ R}.D(f ) = (−∞; 1) ∪ (2; +∞) E(f ) = (−∞; +∞).ïîýòîìóÎòâåò:Ïðèìåð 3.8.Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y =1.(x+1)(x−2)xÿâëÿþòñÿÐ å ø å í è å: Íåäîïóñòèìûìè çíà÷åíèÿìè àðãóìåíòà(x + 1)(x − 2) = 0. Ðåøåíèÿìèÿâëÿþòñÿ x1 = −1, x2 = 2, ñëåäîâàòåëüíîD(f ) = (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; +∞).Îòâåò: D(f ) = (−∞; −1) ∪ (−1; 2) ∪ (2; +∞).ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿÏðèìåð 3.9.Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y =Ð å ø å í è å:íåðàâåíñòâóäàííîãî óðàâíåíèÿÄîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà1 − x > 0.2x√ 1.1−x2óäîâëåòâîðÿþòÐåøàÿ ýòî íåðàâåíñòâî, íàõîäèì, ÷òîD(f ) == (−1; 1).Îòâåò:D(f ) = (−1; +1).3.2. Îïåðàöèè íàä ôóíêöèÿìèÏóñòü äàíû äâå ôóíêöèè:y = f (x)èy = g(x)ñ îáëàñòüþ îïðå-D(f ) è D(g) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü íîâóþy = f (x) + g(x), çíà÷åíèÿ êîòîðîé ïðè êàæäîì x èç îáëàñòèîïðåäåëåíèÿ âû÷èñëÿþòñÿ êàê ñóììà çíà÷åíèé f (x) è g(x).

Îáëàñòüîïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x) + g(x) åñòü D(f ) ∩ D(g).Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèè y = f (x)g(x), y = f (x) − g(x)f (x)f (x)è y =, ïðè÷¼ì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y =åñòü ìíîæåg(x)g(x)ñòâî D(f ) ∩ D(g) ∩ {x|g(x) ̸= 0}.√Ïðèìåð 3.10. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y =x − 1+1+.x−1äåëåíèÿôóíêöèþÐ å ø å í è å: Ïðåäñòàâèì íàøó ôóíêöèþ â âèäå y = f (x) + g(x),√1ãäå f (x) =x − 1, g(x) = x−1. Íàéäåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ êàæäîéôóíêöèè.D(f ) : x − 1 > 0 ⇐⇒ D(f ) = [1; +∞),D(g) : x − 1 ̸= 0 ⇐⇒ D(g) = (−∞; 1) ∪ (1; +∞).Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ èñõîäíîé ôóíêöèè åñòü ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ìíîæåñòâ.Îòâåò:(1; +∞).Ëåêöèÿ 3.

Ôóíêöèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ493.3. Ñëîæíàÿ ôóíêöèÿu = f (x) ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D(f )è îáëàñòüþ èçìåíåíèÿ E(f ), à y = g(u) ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ ñ îáëàñòüþîïðåäåëåíèÿ D(g), E(f ) ⊂ D(g) è îáëàñòüþ èçìåíåíèÿ E(g).Òîãäà êàæäîìó x ∈ D(f ) ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåy ∈ E(g): êàæäîìó x ∈ D(f ) ôóíêöèÿ u = f (x) ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèååäèíñòâåííîå çíà÷åíèå u ∈ E(f ), êîòîðîìó ôóíêöèÿ y = g(u) ñòàâèòâ ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå y ∈ E(g).

Ïîëó÷åííàÿ ôóíêöèÿÏóñòüíàçûâàåòñÿ ñëîæíîé ôóíêöèåé (èëè ñóïåðïîçèöèåé äâóõ ôóíêöèé) èy = g(f (x)). Ôóíêöèÿ u = f (x) íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåéôóíêöèåé, ôóíêöèÿ y = g(u) âíåøíåé.2Íàïðèìåð, åñëè u = x − 3x + 2, è y = log2 u, òî ìîæíî îïðåäåëèòü2ñëîæíóþ ôóíêöèþ y = log2 (x − 3x + 2).îáîçíà÷àåòñÿÇàïèñàòü ñëîæíóþ ôóíêöèþ, ÿâëÿþùóþñÿ ñóïåðïîçèöèåé äâóõ ôóíêöèé : u = 1 − x2 è y = √1u .Ïðèìåð 3.11.Ð å ø å í è å: äàííîì ïðèìåðå f (x) = 1 −g(u) = √1u ⇒ D(g) = (0; +∞),x2 ⇒ D(f ) = R,E(g) = (0; +∞). ÊàêE(f ) = (−∞; 1],âèäèì, E(f )⊂/ D(g).

Îäíàêî, åñëè îïðåäåëèòü âíóòðåííþþ ôóíêöèþ2íà ìíîæåñòâå {x|1 − x > 0} = (−1; 1), ýòî òðåáîâàíèå áóäåò âûïîëíåíî.Îòâåò:y=√ 1ïðè1−x2x ∈ (−1; 1).3.4. ×¼òíûå è íå÷¼òíûå ôóíêöèèÌíîæåñòâî X ⊂ R íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, åñëè −x ∈ X äëÿ ëþáîãî x ∈ X .Íà ÷èñëîâîé îñè ñèììåòðè÷íîå ìíîæåñòâî Õ ðàñïîëîæåíî ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷êè O.Îïðåäåëåíèå 3.2.×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ÷¼òíîé, åñëè îáëàñòü å¼ îïðåäåëåíèÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò è f (−x) = f (x) äëÿ âñåõ x ∈ D(f ).Îïðåäåëåíèå 3.3.Ãðàôèê ÷¼òíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò,ò.ê.