Теория пределов и числовые ряды (Конспект), страница 4

86):122Ëåêöèÿ 7. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îñíîâíûå òåîðåìûyg (x)f (x)b+εbb- εϕ (x)xÃåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ óñëîâèé òåîðåìûî ïðîìåæóòî÷íîé ôóíêöèèÐèñ. 86.Òåîðåìà 7.12. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) > 0 äëÿ âñåõ x, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê a, èìååò ïðåäåë, òî ýòîò ïðåäåë íå ìîæåò áûòüîòðèöàòåëüíûì, ò.å.

lim f (x) > 0 (áåç äîêàçàòåëüñòâà).x→a7.5. Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåësin x=1x→0 xlimÐàññìîòðèì îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîπ˘ ÷èñëåííî ðàâíà öåíòðàëüíîìó óãëó x, âûðà. Äóãà AC2æåííîìó â ðàäèàíàõ, à îòðåçîê AB ÷èñëåííî ðàâåí sin x. Òàê êàê0 < x <˘ ,0 < AB < AC0 < sin x < x. Ïî òåîðåìå î ïðåäåëå ïðîìåæóx → 0 sin x äîëæåí ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ, ò.lim sin x = 0. Ìîæíî òàêæå ïîêàçàòü, ÷òî lim cos x = 1.òîòî÷íîé ôóíêöèè 7.11 ïðèå.x→0x→0xxlim cos x = lim (1 − 2 sin2 ) = 1 − 2 lim (sin2 ) = 1 − 2 · 0 = 1.x→0x→0x→022Êàê ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåííîãî ðèñóíêà 87:S△OAB < SñåêòOAC < S△ODC .Òàê êàêS△OAB =SñåêòOB · BAcos x sin x=,22OAC11x= R2 x = 12 x = ,222Ëåêöèÿ 7.

Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îñíîâíûå òåîðåìû123DA1sin xtg xxcos x BOÐèñ. 87.CÈëëþñòðàöèÿ ê îïðåäåëåíèþS△ODC =limx→0sin xxOC · CD1 tg xtg x==,222òî ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ äëÿ ïëîùàäåé â íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì:Ðàçäåëèì âñå ÷ëåíûcos x sin xxtg x< <.2221íåðàâåíñòâ íàsin x è ïðîâåäåì2cos x <èëèñîêðàùåíèÿ:x1<sin xcos x1sin x>> cos x.cos xxÝòè íåðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû, êàê ïðè x > 0, òàê è ïðè x < 0. Êàê1ïîêàçàíî âûøå, ïðè x → 0 ⇒ lim cos x = 1. Ïðèìåíèâ ê ÷àñòíîìócos xx→0òåîðåìó î ïðåäåëå äðîáè, ïîëó÷èì111== = 1.x→0 cos xlim cos x1limx→0Ïîñêîëüêó îáå êðàéíèå ôóíêöèè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïðèx→0èìåþò îäèíàêîâûé ïðåäåë, ðàâíûé åäèíèöå, ïî òåîðåìå î ïðåäåëå ïðîsin xìåæóòî÷íîé ôóíêöèè (îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ) ôóíêöèÿxèìååò òîò æå ïðåäåë ïðè x → 0, ò.

å.sin x= 1.(7.8)x→0 x= 1 ïðèíÿòî íàçûâàòü ïåðâûì çàìå÷àòåëülimÄàííûé ïðåäåëíûì ïðåäåëîì.limx→0sin xx124Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 7. Òåîðèÿ ïðåäåëîâÏðèìåð 7.11.Íàéòè limtg x.x→0 xÐ å ø å í è å: ×èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè ïðèx → 0 îäíîâðå-ìåííî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Òåîðåìà î ïðåäåëå äðîáè çäåñü íåïðèìåíèìà.Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðåäåëà ïðåîáðàçóåì äàííóþ äðîáü:tg xlim= limx→0 xx→0Ïðèìåð 7.12.(sin x1·xcos x)sin x· lim cos x = 1 · 1 = 1.x→0 xx→0= lim5x.x→0 arcsin 3xÍàéòè limÐ å ø å í è å: Ïðè ïîäñòàíîâêå x = 0 èìååì äåëî ñ íåîïðåäåë¼ísin y0. Îáîçíà÷èì arcsin 3x = y , òîãäà sin y = 3x è x =.03Ïðè x → 0 è y → 0.

Ñëåäîâàòåëüíî:íîñòüþ âèäà5 · sin3 y5x5sin y55lim= lim= lim= ·1= .x→0 arcsin 3xy→0y→0y3y33()1 x= eÎòìåòèì, ÷òî ââåäåííûé íàìè ðàíåå lim 1 +xx→∞ïðèíÿòîíàçûâàòü âòîðûì çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîì.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 7. Òåîðèÿ ïðåäåëîâÒåîðèÿ ïðåäåëîâ ñîñòàâëÿåò ôóíäàìåíò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.Èìåííî ïîýòîìó îáó÷àþùåìóñÿ íåîáõîäèìî õîðîøî âëàäåòü ïðèåìàìèíàõîæäåíèÿ ïðåäåëîâ ôóíêöèè. Åñòåñòâåííî ïðè ýòîì èñïîëüçîâàòüðàññìîòðåííûé âûøå â ëåêöèÿõ òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë.

 òåîðèèïðåäåëîâ ñóùåñòâåííîå çíà÷åíèå èìåþò òåîðåìû î ïðåäåëàõ, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ â ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ ñïîñîáñòâóåò íàõîæäåíèþïðåäåëîâ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé.Äëÿ çàêðåïëåíèÿ ïðîéäåííîãî òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ïðîöåññ ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ ïðèìåðîâ.Ïðèìåð 7.1. Äëÿ ïðèâåä¼ííûõ íèæå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé çàïèñàòü ôîðìóëó îáùåãî ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Ðåêîìåíäàöèÿ. Ïîñëå àíàëèçà ïåðâûõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòèíåîáõîäèìî óñòàíîâèòü çàêîíîìåðíîñòü ïîëó÷åíèÿ êàæäîãî ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â çàâèñèìîñòè îò íîìåðà ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòèn, ãäå n=1, 2, 3, 4,. .

. .•1, 2, 3, 4,. . . . Çäåñü ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîâïàäàþò ñíîìåðîì ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Îòâåò:yn = n.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 7. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ125• 12 , 23 , 34 , 45 , · · · . ×èñëèòåëü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîîòâåòñòâóåò íîìåðó ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à çíàìåíàòåëü íà åäèíèöónáîëüøå. Îòâåò:yn =.n+1√•√ √ √2, 2 2,√ √2 2 2.Ïåðåïèøåì ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòèâ âèäå ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ñ îñíîâàíèåì 2:137152 2 , 2 4 , 2 8 , 2 16 .Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî çíàìåíàòåëü ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè èçìåíÿåòñÿ êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòåëåì q=2,nnò.å. 2 , a ÷èñëèòåëü íà åäèíèöó ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ, ò.å 2 −1.Îòâåò:yn = 22n −12n.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn çàäàíà ôîðìóëîé îáùåãî ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè yn = 2n+1.

Íàéòè y10 , yn−1 , yn+1 .n+3Ïðèìåð 7.2.Ð å ø å í è å:Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷ëåíà ïîñëåäî-âàòåëüíîñòè íåîáõîäèìî â ôîðìóëó îáùåãî ÷ëåíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòèïîäñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþùèé íîìåð.21y10 = 2∗10+1= 13, yn−1 = 2(n−1)+1= 2n−1, yn+110+3(n−1)+3n+2Ïðèìåð 7.3.=2(n+1)+1(n+1)+3=2n+3.n+4Íàéòè ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . .Ð å ø å í è å:Îáùèé ÷ëåí çàäàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíîçàïèñàòü â âèäå:yn = 0, 2 + [0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + . . .] = 0, 2 + S.Âûðàæåíèå â êâàäðàòíîé ñêîáêå îáðàçóåò áåñêîíå÷íî óáûâàþùóþ ãåî-q = 0, 1 è ïåðâûì ÷ëåíîìïîñëåäîâàòåëüíîñòè b1 = 0, 03. Ñóììà ïåðâûõ n å¼ ÷ëåíîâ (n-ÿ ÷àñòè÷b1 (1−q n ). Ñóììà áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åíàÿ ñóììà) Sn =1−qb1ñêîé ïðîãðåññèè åñòü ïðåäåë Sn è âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå S =.1−qìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ ñî çíàìåíàòåëåìÏðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â òàêîì ñëó÷àå áóäåò ðàâåí(lim {yn } = lim [0, 2 + Sn ] = 0, 2 +n→∞n→∞)(70, 03= .= 0, 2 +1 − 0, 130b11−q)=126Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 7.

Òåîðèÿ ïðåäåëîâÍàéòè ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè()123n−1lim+++ ··· +.n→∞n2 n2 n2n2Ïðèìåð 7.4.Ð å ø å í è å:ãðåññèþ:×èñëèòåëè äðîáåé îáðàçóþò àðèôìåòè÷åñêóþ ïðî-0 + 1 + 2 + 3 + . . . + n − 1.Ñóììà ïåðâûõn÷ëåíîâ àðèôìå-òè÷åñêîé ïðîãðåññèèa1 + an0 + (n − 1)n(n − 1)·n=·n=.222Sn =Ïîýòîìólimn→∞(1n2+2n23n2+Ïðèìåð 7.5.+ ... +n−1n2)1+2+3+...+n−1n2n→∞= lim= limn→∞n(n−1)2n2= 12 .Íàéòè ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè()1 1 11lim+ + + ... + n .n→∞2 4 821 1 1, , . . .

21n îáðàçóþò áåñêîíå÷íî óáû2 4 8âàþùóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, n-ÿ ÷àñòè÷íàÿ ñóììà êîòîðîéÐ å ø å í è å:Ñëàãàåìûåðàâíàn). Ñëåäîâàòåëüíî:Sn = b1 (1−q1−q(limn→∞1 1 11+ + + ... + n2 4 82= limn→∞Ïðèìåð 7.6.Ð å ø å í è å:âûðàæåíèå ïðè)b1 (1 − q n )=n→∞1−q= lim− ( 12 )n )= 1.1 − 121(12Íàéòè ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè2n+1 + 3n+1lim.n→∞2n + 3nÐàçäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà íàèáîëüøåån+1n → ∞ −→ 3:n+1n+12+32n+1 + 3n+13n+1lim=lim=n2 +3nn→∞n→∞2n + 3n3n+1( 2 )n+12n+1+1+10+1n+1= lim 23n= lim 1 3 ( 2 )n 1 = lim 1=3n3n→∞n→∞ n+1 + n+1n→∞· 0 + 13· 3 +33333Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 7. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ127(ò. ê. ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ñ îñíîâàíèåì2ïðè3n → ∞ ñòðåìèòñÿ êíóëþ.)Ïðèìåð 7.7.Íàéòè îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû:11.lim 5 x−3 ;2.x→3−0Ð å ø å í è å:1lim 5 x−3 .x→3+01→ −∞ êàê ÷àñòíîå îò äåx−3ëåíèÿ îãðàíè÷åííîé âåëè÷èíû íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ îòðèöàòåëüíóþ,1. Åñëèx → 3 − 0,òîx − 3 → −0èñëåäîâàòåëüíî11== 0.∞5∞1x − 3 → +0 è x−3→ ∞, ñëåäîâàòåëüíî,1lim 5 x−3 = 5−∞ =x→3−02.

Åñëèx → 3 + 0,òî1lim 5 x−3 = 5∞ = ∞.x→3+0Äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ íàâûêîâ íàõîæäåíèÿ ïðåäåëîâðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Ïðè ýòîì ïðè ðàñêðûòèè íåîïðåäåë¼ííîñòåé áóäåì èñïîëüçîâàòü çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû:)x(sin x=1x→0 xlimÏðèìåð 7.8.èlimx→∞Íàéòè limÐ å ø å í è å:x→01+1x1= lim (1 + y) y = e.y→0sin 5x.xÂèä çàäàííîãî ïðèìåðà î÷åíü ïîõîæ íà ïåðâûéçàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë, îäíàêî íå ðàâåí åìó. Äëÿ ïðèâåäåíèÿ äàííîãîïðåäåëà ê çàìå÷àòåëüíîìó ìîæíî èñïîëüçîâàòü äâà ñëåäóþùèõ ïðèåìà:1. Óìíîæèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü âûðàæåíèÿ íà 5:sin 5xsin 5x · 5sin 5x= lim= 5 lim= 5 · 1 = 5.x→0x→0xx·55xyÎáîçíà÷èòü 5x = y .

Òîãäà x = . Ïðè x → 0è y → 0 :5sin 5xsin ysin ylim= lim y = 5 lim= 5.x→0y→0 yy→0x5limx→02.128Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 7. Òåîðèÿ ïðåäåëîâÏðèìåð 7.9.Íàéòè limxx→2Ð å ø å í è å:3πx2sin.Îïÿòü ðåøàåì ïðèìåð, êîòîðûé íà ïåðâûé âçãëÿäî÷åíü ïîõîæ íà ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë. Îäíàêî ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà. Çäåñüx → 2, à íå êáåñêîíå÷íîñòè, êàê â ñëó÷àå ñ ïåðâûì çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîì. Ïðèïîäñòàíîâêåx=2ïîä çíàê ïðåäåëà ïîëó÷àåì:sin 3πxsin 3π·2sin 3π022=== = 0.x→2x222limÏðèìåð 7.10.Íàéòè limx→∞Ð å ø å í è å:sin x.xÂñïîìíèâ çàìå÷àíèÿ, ñäåëàííûå â ïðåäûäóùåìïðèìåðå, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî è ýòîò ïðèìåð íå ñâÿçàí ñ çàsin xìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîì lim= 1.