Теория пределов и числовые ряды (Конспект), страница 2

Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. ÎïðåäåëåíèÿÝòî è îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ109y = f (x)îãðàíè÷åíà íà èññëåäóåìîìèíòåðâàëå.Òåîðåìà 6.2. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðåäåë, îòëè÷íûé1îò íóëÿ (ïðè x → ∞), òî ôóíêöèÿ y = f (x)îãðàíè÷åíà íà íåêîòîðîìáåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå (N, ∞).lim f (x) = b è b ̸= 0, ò.å. ôóíêöèÿ èìååò ïðåäåë. 1 1Äîêàçàòü, ÷òî 6 C , ò.å. ôóíêöèÿ f (x)îãðàíè÷åíà.f (x) Äîêàçàòåëüñòâî.

Òàê êàê lim f (x) = b è b ̸= 0, òî íà îñíîâàíèè îïðåäåÄàíî:x→∞x→∞ëåíèÿ ïðåäåëà è ñ ó÷¼òîì ñâîéñòâ àáñîëþòíûõ âåëè÷èí áóäåì èìåòü:|f (x) − b| = |b − f (x)| > |b| − |f (x)| < ε èëè 1 11|f (x)| > |b| − ε ̸= 0 èëè f (x)< |b|−ε= C. = |f (x)|Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà äîêàçàíà.Òåîðåìà 6.3. Âñÿêàÿ âîçðàñòàþùàÿ (óáûâàþùàÿ) îãðàíè÷åííàÿôóíêöèÿ (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü)èìååò ïðåäåë.Òåîðåìà ïðèâîäèòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà. êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ïðèìåíåíèå ýòîé òåîðåìû ðàññìîòðèì ïî()nyn = 1 + n1 .

Ïîêàæåì,÷òîïîñëåäîâàòåëüíîñòü âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà.ñëåäîâàòåëüíîñòü, îáùèé ÷ëåí êîòîðîéÂîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé áèíîìà Íüþòîíà (ñì. ëåêöèþ 19):(a + b)n = an + n · an−1 · b +n · (n − 1) n−2 2·a·b +1·2n · (n − 1) · (n − 2) n−3 3·a· b + · · · + bn .1·2·3a = 1, b = n1 , ïîëó÷èì()n11 n · (n − 1) 1yn = 1 +=1+n· +· 2+nn1·2n+Ïîëàãàÿ+n · (n − 1) · (n − 2) 1n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · (n − n + 1) 1· 3 +· · ·+· n =1·2·3n1 · 2 · 3 · ··· · nn()() ()11112=1+1+· 1−+· 1−· 1−+ ···1·2n1·2·3nn() ()()112n−1··· +· 1−· 1−· ··· · 1 −.1 · 2 · 3 · ··· · nnnn110Ëåêöèÿ 6.

Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ1 2 3Ñ óâåëè÷åíèåì íîìåðà n äðîáè, , è ò.ä. óìåíüøàþòñÿ, à ðàçn n n123íîñòè 1− , 1− , 1− è ò.ä. óâåëè÷èâàþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, yn+1 > ynnnn)(1 n ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âîçðàñòàè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn = 1 +nþùàÿ.1 2 3, , è ò.ä.,Åñëè â ðàçëîæåíèè yn îòáðîñèòü â ñêîáêàõ äðîáèn n nòî êàæäîå ñëàãàåìîå, íà÷èíàÿ ñ òðåòüåãî, óâåëè÷èòñÿ, è ìû ïîëó÷èìñóììó, áîëüøóþ ïåðâîíà÷àëüíîé:()n11111yn = 1 +++ ··· +.<1+1+ +n2 2·3 2·3·42 · 3 · 4···nÍî11111111<= 2,<= 3,··· ,< n−1 .2·32·22 2·3·42·2·222 · 3 · 4···n2Ïîýòîìó()n()1111yn = 1 +< 1 + 1 + + 2 + · · · + n−1 .n2 2211+ 212 + · · · + 2n−1íàéäåì ïî ôîðìóëå ñóììû ÷ëåíîâ2áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè (n → ∞) :Ñóììó1+Îòêóäà11111+ 2 + · · · + n−1 === 2.2 221−q1 − 12)n(yn = 1 + n1 < 1 + 2 = 3, à, ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ1+ïîñëå-äîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà.Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 6.3 äåëàåì âûâîä,÷òî äàííàÿ âîçðàñòàþùàÿè îãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë.

Åãî íàçûâàþò ÷èñëîìe.Èòàê,)n(1lim 1 += e.n→∞n(6.5)Èíîãäà äàííûé ïðåäåë íàçûâàþò âòîðûì çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîì.e èððàöèîíàëüíîå. Åãî ïðèáëèçèòåëüíîå çíà÷åíèå ñ òî÷íî10−8 : e = 2, 71828182. Àíàëîãè÷íî, ïðåäåë ôóíêöèè lim (1 +x→∞()x+ x1 )x = e. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî è lim 1 + x1 = e.×èñëîñòüþ äîx→−∞Îáîçíà÷èâ1x= t,ýòîò æå ïðåäåë ìîæíî çàïèñàòü â âèäåÏðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 6. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà1111lim(1 + t) t = e.(6.6)t→0Ïðåäåë (6.5) èãðàåò áîëüøóþ ðîëü â ìàòåìàòèêå. Ïîêàçàòåëüíàÿe, ò.å.

y = ex , íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé,ôóíêöèÿ ñ îñíîâàíèåìèëè ýêñïîíåíòîé. Ëîãàðèôìû ñ îñíîâàíèåìloge xíûìè ëîãàðèôìàìè, ïðè÷¼ì âìåñòîeíàçûâàþòñÿ íàòóðàëü-ïðèíÿòî ïèñàòüln x.Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 6.Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ïî ìàòåðèàëó ëåêöèé 15Ïðèìåðíûé âàðèàíò êîíòðîëüíîé ðàáîòû6.1. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè√y=x2 +5x+64−x6.2. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé6.2.16.2.26.2.36.2.4yyyy= x2 − 2x − 3= x2 − 2|x| − 3= x2 − |2x + 3|= sin2 (3x)6.3. Ïðèâåäèòå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèåx + y 2 + 2y − 4 = 0,îïðåäåëèòå âèä êðèâîé è å¼ ïàðàìåòðû.6.4.

Äàíû óðàâíåíèÿ ñòîðîí∆ABC : y = x(AB), y = −x + 4(AC),y = 5x − 4(BC). Íàéäèòå óðàâíåíèåøèíó A ïàðàëëåëüíî ñòîðîíå BC .ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåð-Ðåøåíèåðàáîòû√ ïðèìåðîâ âàðèàíòà{ êîíòðîëüíîé}6.1.y=x2 +5x+64−xD(y) = x| x2 +5x+64−x≥0Ðåøèì íåðàâåíñòâî ìåòîäîì èíòåðâàëîâ.x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ x1,2 = −3, −2+-3Îòâåò:+-24D(y) = (−∞; −3] ∪ [−2; 4)6.2.1. Âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò èç ïðàâîé ÷àñòè:22− 2 ⇔ y = x − 2x + 1 − 4 ⇔ y = (x − 1) − 4y = x2 − 2x −Ïîðÿäîê ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ñëåäóþùèé (ñì.

ðèñ. 81)21) y = x22) y = (x − 1) ñäâèíóòü ãðàôèê âïðàâî íà 1.23) y = (x − 1) − 4 ñäâèíóòü ãðàôèê âíèç íà 4.112Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 6. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà213-1 0Ðèñ. 81.13Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèèy = x2 − 2x − 36.2.2. Ãðàôèê ïîëó÷àåòñÿ, êàê èçëîæåíî â ïðèìåðå 4.7 ïðàêòè2÷åñêîãî çàíÿòèÿ 4, íà îñíîâàíèè ãðàôèêà ôóíêöèè y = x − 2x − 3 (ñì.ðèñ. 82)y=x 2-2|x|-3-3013-3Ðèñ. 82.6.2.3Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèèy = x2 − |2x + 3|.Ïî îïðåäåëåíèþ|2x + 3| ={y = x2 − 2|x| − 32x + 3 ïðè 2x + 3 ≥ 0−(2x + 3) ïðè 2x + 3 < 0Òàêèì îáðàçîì íóæíî ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé:{y = x2 − 2x − 3y = x2 + 2x + 3ïðèïðèx ≥ −3/2x < −3/2Ãðàôèê ôóíêöèè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ.

83.26.2.4 y = sin (3x) îäíèõ îñÿõ íàðèñóåì ãðàôèêè ôóíêöèéy = sin(3x) è y = sin2 (3x).y = sin(3x) (ïóíêòèð íà ðèñ. 84) ïîëó÷àåòñÿ èç ãðày = sin x ñæàòèåì â 3 ðàçà âäîëü Ox. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè âîçâåäå-Ãðàôèê ôóíêöèèôèêàíèè â êâàäðàò ÷èñëà, ìåíüøåãî åäèíèöû, ðåçóëüòàò ìåíüøå èñõîäíîãî,2ïîëó÷àåì ãðàôèê y = sin (3x) (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ íà ðèñ. 84)Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 6. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà113y=x 2-|2x+3|12 43-1 0-3-4Ðèñ. 83.Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèèy = x2 − |2x + 3|1−2π3Ðèñ. 84.6.3.−π30−1π32π3Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèèy = sin2 (3x)x + y 2 + 2y − 4 = 0Âûäåëèì ïîëíûé êâàäðàò:22x + y + 2y − 4 = 0 ⇔ x + y + 2y + 1 − 5 = 0 ⇔x + (y + 1)2 − 5 = 0 ⇔ x − 5 = −(y + 1)2Ñäåëàâ çàìåíó êîîðäèíàò X = x − 5, Y = y + 1 â íîâûõ êîîð2äèíàòàõ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïàðàáîëû X = −Yñ âåðøèíîé (0; 0),11ôîêàëüíîé îñüþ y = 0, 2p = −1 ⇒ p = − , ôîêóñîì (− ; 0) è äèðåê241òðèñîé X =(ò.å.

âåòâè ïðîòèâ îñè OX ). Òàêèì îáðàçîì, â ñòàðûõ4êîîðäèíàòàõ ïàðàáîëà èìååò âåðøèíó (5; −1), ôîêàëüíóþ îñü y = −1,31ôîêóñ F (4 ; −1), äèðåêòðèñó x = 5 (ñì. ðèñ. 85).446.4. y = x(AB), y = −x + 4(AC), y = 5x − 4(BC)Íàéäåì êîîðäèíàòû âåðøèíû A, ðåøèâ ñèñòåìó óðàâíåíèé:{y=x⇔y = −x + 4{x0 = 2y0 = 2114Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå 6. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòàY50F−1Ðèñ. 85. óðàâíåíèè ïðÿìîéXdÏàðàáîëàx + y 2 + 2y − 4 = 0y −y0 = k(x−x0 ) óãëîâîé êîýôôèöèåíò k = 5,(BC) è (x0 ; y0 ) êîîðäèíàòû âåð-ò.ê. èñêîìàÿ ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíàøèíûA.Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì:y − 2 = 5(x − 2) ⇔ y = 5x − 8Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà6.5. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè(y = lnx2 − 3x + 2x+1)6.6. Ïîñòðîéòå ãðàôèêè ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé6.6.16.6.26.6.36.6.4yyyy= −x2 + 5x − 4= −x2 + |5x − 4|= xx+22 +2xsin x= sin|x|6.7.

Ïðèâåäèòå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèå− 100y − 291 = 0,9x2 + 25y 2 − 18x −îïðåäåëèòå âèä êðèâîé è åå ïàðàìåòðû.∆ABC : x+3y−7 = 0 (AB), 4x−y−2 == 0 (BC), 6x + 8y − 35 = 0 (AC). Íàéäèòå óðàâíåíèå âûñîòû AN .6.8. Äàíû óðàâíåíèÿ ñòîðîíËåêöèÿ 7. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îñíîâíûå òåîðåìû115Ëåêöèÿ 7. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îñíîâíûå òåîðåìûÁåñêîíå÷íîìàëûåôóíêöèè,áåñêîíå÷íîáîëüøèåôóíê-öèè, ñâÿçü áåñêîíå÷íî áîëüøèõ è áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé,îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ, 1-ûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë.7.1. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèèÔóíêöèÿ y = α(x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè x → a, åñëè åå ïðåäåë ïðè x → a ðàâåí íóëþ.

x ìîæåò áûòüðàâåí ∞.Îïðåäåëåíèå 7.1.lim α(x) = 0(7.1)x→aÁåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ãðå÷åñêèìè áóêâàìèα(x), β(x), γ(x).Ðàññìîòðåíèå ïðèìåðîâ â ýòîé ëåêöèè ïðîâîäèòñÿ íà îñíîâàíèèîïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè, äàííîãî â ïðåäûäóùåé ëåêöèè ïðèb = 0.Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y =ìàëîé ïðè x → ∞.Ïðèìåð 7.1.1x2ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîÐ å ø å í è å: ×òîáû ôóíêöèÿ áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè x → ∞, 12 < ε ïðè x > N .

Ýòî âîçìîæíîxíåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ11ïðè 2 < ε èëè ïðè x > √ = N .xεÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ x1a (ãäå a ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî) åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x → ∞.Çàìå÷àíèå 7.1.Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y = x5 ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìàëîé ïðè x → 0.Ïðèìåð 7.2.Ð å ø å í è å:×òîáû ôóíêöèÿ áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè5x → 0, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðè ìàëûõ x âûïîëíÿëîñüóñëîâèå |x | < ε.√√√5Ýòî âîçìîæíî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ |x| <ε èëè − 5 ε < x < 5 ε.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y = xm (ãäå m > 0)áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ ïðè x → 0.Çàìå÷àíèå 7.2.Ôóíêöèÿ( y = )2 − x1 íå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîéïðè x → ∞, òàê êàê lim 2 − x1 = 2 ̸= 0, íî îíà ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîÏðèìåð 7.3.ìàëîé ïðè x → 21 .x→∞116Ëåêöèÿ 7.

Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îñíîâíûå òåîðåìûÐàññìîòðèì òåïåðü íåñêîëüêî òåîðåì î áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöè-ÿõ. Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì ïðèx → ∞.Òåîðåìà 7.1. Åñëè ôóíêöèè α(x) è β(x) ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íîìàëûìè ôóíêöèÿìè ïðè x → ∞,òî è èõ ñóììà α(x) + β(x) òàêæåÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ôóíêöèåé (ïðè x → ∞).Äàíî:|α(x)| < 2ε ,|β(x)| < 2ε ,ïðèïðèx > N1, ò.å. α(x)x > N2èβ(x)áåñêîíå÷íî ìàëûåx → ∞. Äîêàçàòü, ÷òî γ(x) = α(x)+β(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ôóíêöèÿ ïðè x → ∞, ò.å. |γ(x)| < ε ïðè x > N , ãäå N íàèáîëüøååèç N1 è N2 .ôóíêöèè ïðèÄîêàçàòåëüñòâî:|γ(x)| = |α(x) + β(x)| 6 |α(x)| + |β(x)| <ε ε+ = ε,2 2÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ýòà òåîðåìà ìîæåò áûòü ëåãêî îáîáùåíà íà ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëîáåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé.