Теория пределов и числовые ряды (Конспект)

Ëåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ101ÃËÀÂÀ IIIÒåîðèÿ ïðåäåëîâ è ÷èñëîâûå ðÿäûËåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ×èñëîâûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ïðåäåëïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ïðîãðåññèè, ïðåäåë ôóíêöèè, îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû, îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè.6.1. ×èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòèÎïðåäåëåíèå 6.1. Ôóíêöèÿ y = f (n), îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N , íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà, èëè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.×ëåíû ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàñïîëàãàþòñÿ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ àðãóìåíòà:y1 = f (1), y2 = f (2), y3 = f (3), .

. . , yn = f (n), . . . .y1 = f (1) ïåðâûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, y2 = f (2) âòîðîé,yn = f (n) n-é ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, èëè îáùèé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êðàòêî îáîçíà÷àþò {yn }. Ïðèìåðû÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé:Ïðèìåð 6.1.1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . . èëè {1/n}.Ïðèìåð 6.2.−1, 1, −1, 1, . .

. , (−1)n , . . . èëè {(−1)n }.Ïðèìåð 6.3.1, 3, 5, . . . , 2n − 1, . . . èëè {2n − 1}.Ïðèìåð 6.4.0, 1/2, 2/3, . . . , (n − 1)/n, . . . èëè {(n − 1)/n}.Õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàçëè÷åí. Èç ïðåäñòàâëåííûõ ïðèìåðîâ âèäíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæåò áûòü âîçðàñòàþùåéyn < yn+1(ïðèìåðû 6.3 è 6.4), óáûâàþùåéyn > yn+1(ïðè-ìåð 6.1), îãðàíè÷åííîé ñíèçó (ïðèìåð 6.1), îãðàíè÷åííîé ñâåðõó (ïðèìåð 6.4), íåîãðàíè÷åííîé (ïðèìåð 6.3).

Ïîíÿòèÿ âîçðàñòàþùåé, óáûâàþùåé, îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè áûëè äàíû ðàíåå, â ëåêöèè 3.102Ëåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ6.2. Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {yn }, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ñêîëü óãîäíîìàëîãî ÷èñëà ε íàéäåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N , ÷òî äëÿ âñåõn > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |yn − b| < ε.Îïðåäåëåíèå 6.2.Ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòèlim yn = b :(6.1)n→∞∀(ε > 0) ∃ N ∀(n > N ) ⇒ |yn − b| < ε.εnÏîñêîëüêó íåðàâåíñòâî|yn − b| < εðàâíîñèëüíîb − ε < yn < b + ε,òî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäå-N,÷òî âñåòî÷êè, èçîáðàæàþùèå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ íîìåðàìèn > N,ëîì ÷èñëîb,òî êàêîâî áû íè áûëîε > 0,ïîïàäóò â ïîëîñó, îãðàíè÷åííóþ ïðÿìûìèíàéäåòñÿ òàêîåy = b−ε, y = b+ε (ðèñ.

75).Yb+ εbb- ε0Ðèñ. 75.1234 ... n-2n-1 N nn+1 n+2XÃåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòèËåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ1036.3. Ïðîãðåññèè×àñòíûì ñëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿþòñÿ ïðîãðåññèè. Îá-an = a1 + d(n − 1). Õàðàêòåðè1ñòè÷åñêîå ñâîéñòâî àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè: an+1 = (an + an+2 ).2Ñóììà k -÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè Sk = a1 + a2 + · · · + ak == 12 (a1 + ak )k = 12 (2a1 + d(k − 1))k .ùèé ÷ëåí àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè:Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ïåðâûé ÷ëåí êîòîðîé îòëè÷åí îò íóëÿ, à êàæäûé ÷ëåí, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ðàâåí ïðåäøåñòâóþùåìó ÷ëåíó, óìíîæåííîìó íà îäíî è òî æå íåq , íàçûâàåìîå çíàìåíàòåëåì ãåîìåòðè÷åñêîé ïðî⇒ b1 = b(b ̸= 0); bn+1 = bn · q(q ̸= 0).n−1Îáùèé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè: bn = b1 · q.Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè: |bn+1 | =√= bn · bn+2 .b1 (1−q k )Ôîðìóëà ñóììû k ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè: Sk =.1−qÄëÿ áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè |q| < 1 è ñóìbìà S = 1 .1−qðàâíîå íóëþ ÷èñëîãðåññèè6.4.

Ïðåäåë ôóíêöèèÂûøå ìû ðàññìîòðåëè ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòèyn , íî yn = f (n)åñòü ôóíêöèÿ íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà, çíà÷èò, ìû ôàêòè÷åñêè èìååì äåëî ñ ïðåäåëîì ôóíêöèè íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà. Òåïåðü ââåäåìïîíÿòèå ïðåäåëà ôóíêöèè îò íåïðåðûâíîãî àðãóìåíòà.  îòëè÷èå îòïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè çàâèñèò îò→ +∞, x → −∞, x → x0 èäàëüíåéøåì âìåñòî +∞ áóäåìóñëîâèé ñòðåìëåíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèè (xò.ä.). Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ. Â∞.6.4.1.

Ïðåäåë ôóíêöèè ïðè x → ∞. Ïðîñëåäèì õàðàêòåð èçìåíå1íèÿ ôóíêöèè y = f (x) = 2 −ïðè âîçðàñòàíèè çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà õ:xïèñàòü ïðîñòîx12101001000y11.51.91.991.999è ïîñòðîèì å¼ ãðàôèê (ðèñ. 76).M (x, y) òåêóùàÿ òî÷êà ãðàôèêà ôóíêöèè y = 2 − x1 . Òîãäàðàññòîÿíèå M N îò ýòîé òî÷êè äî ïðÿìîé y = 2 ìîæíî îïðåäåëèòü êàê( ) 1 1= 1 .d = |y − 2| = |f (x) − 2| = 2 −− 2 = x−x |x|Ïóñòü104Ëåêöèÿ 6.

Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿy20xÐèñ. 76.Ãðàôèê ôóíêöèèy =2−1xÑîâåðøåííî î÷åâèäíî,÷òî ñ ðîñòîì çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x ðàññòîÿíèå1d óìåíüøàåòñÿ. Åñëè x > 1ε , òî |f (x) − 2| = |x|< ε, ñëåäîâàòåëüíî,ôóíêöèÿ íåîãðàíè÷åíío ïðèáëèæàåòñÿ ê ÷èñëó 2 èëè ïðè áåñêîíå÷íîâîçðàñòàþùåìx (x → ∞)èìååò ïðåäåëîì ÷èñëî 2.×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèèy = f (x) ïðè x → ∞, åñëè êàêîâî áû íè áûëî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëîε, ìîæíî íàéòè òàêîå ÷èñëî N , ÷òî äëÿ âñåõ x > N âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî6.3.Îïðåäåëåíèå|f (x) − b| < ε.Ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx → ∞:lim f (x) = b : ∀(ε > 0) ∃ N ∀(x > N ) ⇒ |f (x) − b| < ε.x→∞ε(6.2)xÑðàâíèâ îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x → ∞, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì,÷òî îíè ïîäîáíû. Ïðè ýòîì ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x → ∞.

Ñëåäîâàòåëüíî, âñåñôîðìóëèðîâàííûå íèæå òåîðåìû î ïðåäåëàõ ôóíêöèè ïðè x → ∞ïåðåíîñÿòñÿ íà ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðè n → ∞.Çàìå÷àíèå 6.1.|f (x) − b| < ε ýêâèâàëåíòíî äâîéb − ε < f (x) < b + ε, ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëàx → ∞ ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ãðàôèêàÑ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî íåðàâåíñòâîíîìó íåðàâåíñòâóôóíêöèè ïðèôóíêöèè (ðèñ. 77).Ëåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ105Àíàëîãè÷íî ïðåäåëó ôóíêöèè ïðèïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx → −∞.x→∞ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèålim f (x) = b : ∀(ε > 0) ∃ M ∀(x < M ) ⇒ |f (x) − b| < ε.x→−∞ε(6.3)xyb +εbb- εÐèñ. 77.6.4.2.xN0Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx→∞Ïðåäåë ôóíêöèè ïðè x → x0 .×èñëî b ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x)ïðè x → x0 , åñëè êàêîâî áû íè áûëî ε,ìîæíî íàéòè òàêèå ÷èñëà N èM (N < x0 < M ),÷òî äëÿ âñåõ x, ëåæàùèõ â èíòåðâàëå (N ; M ) (çàèñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, òî÷êè x0 ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîÎïðåäåëåíèå 6.4.|f (x) − b| < ε.Ñèìâîëè÷åñêàÿ çàïèñü ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx → x0 :lim f (x) = b : ∀(ε > 0) ∃ (N < x0 < M )x→x0∀(N < x < M, êðîìå(6.4)εì.á.xx = x0 ) ⇒ |f (x) − b| < ε.Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî ïðåäåëà ëåãêî ïîíÿòü èç ãðàôèêà íàðèñ.

78.Îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè ìîæíî äàòü â íåñêîëüêî èíîì âèäå.×èñëî b ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè y = f (x)ïðè x → x0 , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò δ = δ(ε) > 0, òàêîå,÷òî |f (x) − b| < ε ïðè 0 < |x − x0 | < δ.Îïðåäåëåíèå 6.5.106Ëåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿyb +εbb- εÐèñ. 78.xN00xMÃåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèlim f (x) = b : ∀(ε > 0)∃(δ > 0)∀(|x − x0 | < δ,x→x0êð.ì.á.x → x0x = x0 ) ⇒⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε×èñëîδδ -îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 x0 . Îáà îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëàîïðåäåëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþèíòåðâàë (x−δ, x+δ ), ñîäåðæàùèé òî÷êóôóíêöèè ïðèx → x0(6.4 è 6.5) ðàâíîñèëüíû.6.5. Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëûÐàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿáëèæàåòñÿ êx0x ïðè-ñëåâà.×èñëî b1 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèèy = f (x) ïðè x → x◦ ñëåâà, åñëè êàêîâî áû íè áûëî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε, íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî N (ìåíüøå x◦ ), ÷òî äëÿ âñåõ x,ëåæàùèõ ìåæäó N è x◦ (N < x < x◦ ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f (x) − b1 | < ε.Îïðåäåëåíèå6.6.Ïðåäåë ôóíêöèè ïðèlim f (x) = b1 .x→x◦ −0ñëåâà.Ñèìâîëx → x◦ ñëåâà îáîçíà÷àþò òàê:x → x◦ − 0 îçíà÷àåò, ÷òî x ñòðåìèòñÿÃåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: êàêîâî áû íè áûëîε > 0,x → x◦ − 0êx◦çàêëþ-íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëîËåêöèÿ 6.

Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿ107N (N < x0 ),÷òî äëÿ âñåõ x, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó N è x◦ , ãðàôèê ôóíêy = b1 − ε è y = b1 + εöèè ëåæèò â ïîëîñå, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè(ðèñ. 79).lim f (x) = b : ∀(ε > 0)∃(N < x0 )∀(N < x < x0 ) ⇒x→x0 −0Àíàëîãè÷íî ïðåäåëóïðåäåëà ïðèx → x◦⇒ |f (x) − b1 | < εôóíêöèè ïðè x → x◦ñëåâà ââîäèòñÿ ïîíÿòèåñïðàâà.×èñëî b2 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèèy = f (x) ïðè x → x◦ ñïðàâà, åñëè êàêîâî áû íè áûëî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε, íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî M (áîëüøåå x◦ ), ÷òî äëÿ âñåõ x,ëåæàùèõ ìåæäó x◦ è M (x◦ < x < M ), âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f (x) − b2 | < ε.Îïðåäåëåíèå6.7.lim f (x) = b : ∀(ε > 0)∃(M > x0 )∀(x0 < x < M ) ⇒ |f (x) − b2 | < εx→x0 +0yb1+ εb1b1 εÐèñ. 79.x0 − 0x0 xN0Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x→Ïðåäåë ôóíêöèè ïðèx → x◦ñïðàâà îáîçíà÷àþò òàê:lim f (x) = b2 .

Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) ïðè x → x◦ ñïðàâà èìååòx→x◦ +0ïðåäåëîì ÷èñëî b2 , òî ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè ëåæèò â ïîëîñå, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìèäëÿ âñåõx,çàêëþ÷åííûõ ìåæäóx◦èMy = b2 − ε(ðèñ. 80).èy = b2 + ε108Ëåêöèÿ 6. Òåîðèÿ ïðåäåëîâ. Îïðåäåëåíèÿyb 2+ εb2b2 - εx0Ðèñ.

80.0xMÃåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè x→x0 + 0Ïðåäåëû ôóíêöèè ïðèñïðàâà(x → x◦ + 0)x → x◦ñëåâà(x → x◦ − 0)è ïðèx → x◦íàçûâàþò îäíîñòîðîííèìè ïðåäåëàìè.Åñëè îáà îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëà ñóùåñòâóþò è ðàâíû ìåæäó ñîáîéb1 = b2 , òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) èìååò äâóõñòîðîííèé ïðåäåë ïðèx → x◦ , èëè ïðîñòî èìååò ïðåäåë ïðè x → x◦ . (ñì. îïðåäåëåíèå 6.4)Çàìå÷àíèå 6.2.

Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ èìååò ïðåäåë, òî îí åäèíñòâåííûé.6.6. Òåîðåìû îá îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèÿõÑëåäóþùèå äâå òåîðåìû óñòàíàâëèâàþò ñâÿçü ìåæäó ïîíÿòèÿìèîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè è ôóíêöèè, èìåþùåé ïðåäåë. Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïðåäåëà ôóíêöèè ïðèx → ∞.Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðåäåë ïðè x → ∞,òî îíà îãðàíè÷åíà íà íåêîòîðîì áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå (N, ∞).Òåîðåìà 6.1.Äàíî:lim f (x) = b,x→∞Äîêàçàòü, ÷òîò.å. ôóíêöèÿ èìååò ïðåäåë.|f (x)| 6 C ,Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàêf (x) ôóíêöèÿ îãðàíè÷åííàÿ.lim f (x) = b, òî |f (x) − b| < ε ïðè x → ∞ò.å.x→∞(ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè). Ïî ñâîéñòâó àáñîëþòíûõ âåëè÷èí|f (x) − b| > |f (x)| − |b|, à ñëåäîâàòåëüíî,|f (x) − b| > |f (x)| − |b| < ε èëè |f (x)| < |b| + ε = C .Ëåêöèÿ 6.