Дискретные случайные величины (Конспект), страница 3

Ïðè÷¼ì äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íå èìååò çíà÷åíèÿ, ñòðîãîåèëè íåñòðîãîå ðàâåíñòâî, ò.ê. â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 5 ýòîíå èçìåíÿåò âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ïðîìåæóòîê.26Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû91.3. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâèè ñ òîëüêî ÷òî ñäåëàííûì çàìå÷àíèåì âåðîÿòíîñòüïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â çàäàííûé ïðîìåæóòîê çàâèñèò îòñêîðîñòè ðîñòà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó íåïðåðûâíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó çàäàþò, èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 91.4. Ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ φ(x) (èëè äèôôåðåíöèàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ) íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàþò ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ îò å¼ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:φ(x) = F ′ (x).(91.2)Çàìå÷àíèå 91.2.

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìååò ñòóïåí÷àòóþ ôîðìó, äëÿ å¼ îïèñàíèÿïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðèìåíèìà.Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû(1)(2)(3)(4)27Ñâîéñòâà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ:φ(x) > 0;φ(−∞) = φ(+∞) = 0;φ(x) êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ;∫xF (x) =φ(t)dt;−∞∫x2(5) P {x1 6 ξ < x2 } =∫+∞(6)φ(x)dx = 1.φ(x)dx;x1−∞Ïåðâûå ÷åòûðå ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåìîïðåäåëåíèÿ 91.3 è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ(äîêàæèòå èõ ñàìîñòîÿòåëüíî).Ñâîéñòâî 5 ÿâëÿåòñÿ ïî ñóòè èçâåñòíîé ôîðìóëîé Íüþòîíà Ëåéáíèöà, ò.ê. F (x) ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ φ(x):∫x2P {x1 6 ξ < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ) = φ(x)dx.x1Îòñþäà íåìåäëåííî âûòåêàåò ñâîéñòâî 6:∫+∞φ(x)dx = P {−∞ < ξ < +∞} = 1.−∞Ñâîéñòâî 5 îçíà÷àåò, ÷òî ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè íàäïðîìåæóòêîì [x1 ; x2 ) ïîä ãðàôèêîì φ(x) ðàâíà âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ýòîò ïðîìåæóòîê (ñì.

ðèñ. 4).Åñëè x2 áëèçêî ê x1 , ïðîìåæóòîê ìàë è ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîéòðàïåöèè ìîæíî çàìåíèòü ïëîùàäüþ ïðÿìîóãîëüíèêà. Ìû ïîëó÷èì,÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë (x; x + ∆x) ïðèáëèæ¼ííî ðàâíà φ(x) · ∆x.28Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûϕ(x)0110101010101010x1Ðèñ. 4.x2xÂåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ïðîìåæóòîêÂåðîÿòíîñòíûé ñìûñë ïëîòíîñòè φ(x) çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.Ïëîòíîñòü φ(x) íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ìàëûé èíòåðâàë (x; x + ∆x), îòíåñ¼ííîé ê äëèíåýòîãî èíòåðâàëà.Ëåêöèÿ 91.

Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû29Äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 3, ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ áóäóò èìåòü âèä, ïîêàçàííûé ðèñ. 5.ϕ(x)ϕ(x)xaàϕ(x)ϕ(x)áxbaâxãÐèñ. 5.Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿÏðèìåð 91.2. Ïëîòíîñòü íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ çàäàíà ôîðìóëàìè:{C ïðè x ∈ [0; 4];φ(x) =0 ïðè x ∈/ [0; 4].Íàéòè êîíñòàíòó C è âû÷èñëèòü P {0 < ξ < 3}.Ð å ø å í è å: Íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 6 ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿèìååì:∫41Cdt = 1 =⇒ C · 4 = 1 =⇒ C = .40Òàêèì îáðàçîì φ(x) ={1/4 ïðè x ∈ [0; 4];0ïðè x ∈/ [0; 4].xb30Ëåêöèÿ 91.

Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÄàëåå íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 5 ïëîòíîñòè èìååì:∫3 11 3 3P {0 < ξ < 3} =dt = t = .4 0 40 431Îòâåò: C = ; P {0 < ξ < 3} = .44Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû3191.4. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿíåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíÐàñïðîñòðàíèì ïîíÿòèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèèíà íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Äîïóñòèì, ÷òî íåïðåðûâíàÿñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî [a; b].Ðàçîáü¼ì åãî íà n ìàëåíüêèõ îòðåçêîâ äëèíîé ∆x1 , ∆x2 , . . . , ∆xn èâûáåðåì â êàæäîì èç íèõ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ci (i = 1, 2, .

. . , n).Ñ÷èòàÿ, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî çíà÷åíèåCi ñ âåðîÿòíîñòÿìè pi = φ(Ci )∆xi (âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â i-é îòðåçîê), íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ýòîé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû:∑Ci φ(Ci )∆xi .iÏåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ äëèíû íàèáîëüøåãî èç∫b÷àñòíûõ îòðåçêîâ, ïîëó÷èì îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàëxφ(x)dx.aÎïðåäåëåíèå 91.5.

Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì íåïðåðûâíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ φ(x) íàçûâàåòñÿ:∫+∞xφ(x)dx.(91.3)M (ξ) =−∞Çàìå÷àíèå 91.3. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (x) îò íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:∫+∞f (x) · φ(x)dx,M (f (ξ)) =−∞ãäå φ(x) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ξ .32Ëåêöèÿ 91.

Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÎïðåäåëåíèå äèñïåðñèè êàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êâàäðàòàîòêëîíåíèÿ ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿåòñÿ äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí:()2D(ξ) = M ξ − M (ξ) .Âû÷èñëåíèå äèñïåðñèè íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ó÷¼òîìçàìå÷àíèÿ 91.3 ñëåäóåò âåñòè ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå:∫+∞()2D(ξ) =x − M (ξ) φ(x)dx.(91.4)−∞Âñå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè, ïðèâåä¼ííûå â ïðåäûäóùåé ëåêöèè, ñîõðàíÿþòñÿ â ýòîì ñëó÷àå. ñâîéñòâå 4 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êîòîðîå áûëî ââåäåíî â ï. 89.2 äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàñïðîñòðàíèòü ýòî ïîíÿòèå íà ïðîèçâîëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïðåäåëèì äâóìåðíóþñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó (ξ; ζ) êàê âåêòîð, êîîðäèíàòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ îäíîìåðíûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè è äëÿ êîòîðîãî îïðåäåëåíàôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x; y):F (x; y) = P {ξ < x; ζ < y}.Îáùèå ñâîéñòâà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (x; y) ïîäðîáíî èçëîæåíû â ëåêöèè 94. Çäåñü îòìåòèì òîëüêî, ÷òî çíàÿ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x; y) äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; ζ), ìîæíî ïîëó÷èòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé ñîñòàâëÿþùåé Fξ (x) è Fζ (y)(ñì. ï. 94.2).

Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.Ëåêöèÿ 91. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû33Îïðåäåëåíèå 91.6. Äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è ζ íàçûâàþòñÿíåçàâèñèìûìè, åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x; y) äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ξ; ζ) ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿñîñòàâëÿþùèõ:F (x; y) = Fξ (x) · Fζ (y).Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íåçàâèñèìîñòè n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÷åðåç èõ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ:F (x1 ; x2 ; . . . ; xn ) = Fξ1 (x1 ) · Fξ2 (x2 ) · .

. . · Fξn (xn ), ãäåF (x1 ; x2 ; . . . ; xn ) = P (ξ1 < x1 ; ξ2 < x2 ; . . . ; ξn < xn ).Äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, çàäàâàåìûõ òàáëèöåé ðàñïðåäåëåíèÿ, ýòî îïðåäåëåíèå ñâîäèòñÿ ê èçëîæåííîìó â ï. 89.2.Ê âîïðîñó î íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí áîëåå ïîäðîáíî ìûâåðí¼ìñÿ â ëåêöèÿõ 94, 95.Äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâ äèñïåðñèè äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íå áûëè ïðèâÿçàíû ê ôîðìóëå (90.3) è îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Òàê, íàïðèìåð, âû÷èñëåíèå äèñïåðñèè óäîáíåå ïðîâîäèòü ïî ôîðìóëå (90.6), êîòîðàÿ äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðèíèìàåòâèä:∫+∞()2D(ξ) =x2 φ(x)dx − M (ξ) .(91.5)−∞Íàðÿäó ñ äèñïåðñèåé, äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ðàçáðîñà íåïðåðûâíîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îêîëî å¼ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ñðåäíååêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:√σ(ξ) = D(ξ).(91.6)34Ëåêöèÿ 91.

Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûÏðèìåð 91.3. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ èñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûèç ïðèìåðà 91.1.Ð å ø å í è å: Ïî ôîðìóëå (91.3), ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü φ(x) îòëè÷íà4∫41x2 îò íóëÿ òîëüêî ïðè x ∈ [0; 4], M (ξ) =xdx = = 2.4800Ïî ôîðìóëå (91.5), ïîñêîëüêó ïëîòíîñòü φ(x) îòëè÷íà îò íóëÿòîëüêî ïðè x ∈ [0; 4], ñ ó÷¼òîì M (X) = 2, íàéäåííîãî â ïðèìåðå91.1, ïîëó÷àåì:4∫43161x4D(ξ) = x2 · dx − (2)2 = − 4 =−4= .412 3300Ïî ôîðìóëå (91.6) íàõîäèì σ(x): σ(ξ) =√42= √ ≈ 1,155.334≈ 1,333, σ(ξ) ≈ 1,155.3Çàìå÷àíèå 91.4.

 çàêëþ÷åíèå äàííîé ëåêöèè îòìåòèì, ÷òîíàðÿäó ñ ðàññìàòðèâàåìûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå.Ìîäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ å¼ çíà÷åíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ìàêñèìóìàì ïëîòíîñòè èëè ìíîãîóãîëüíèêà ðàñïðåäåëåíèÿ (äëÿíåïðåðûâíîé èëè äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâåííî).Ìåäèàíîé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøåå çíà÷åíèå x, ïðè êîòîðîì ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) = 12 .Îòâåò: M (ξ) = 2, D(ξ) =.