Автореферат (Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений), страница 3

2 значения средней (  ср ) имаксимальной(  макс )погрешностейчисленногорешенияинтегральногоуравнения, полученных для правых частей вида (16) (при этом во всех случаяхпараметр m выбирался как m=n). ср 1 n | g точное, j  gчисл, j | s jS j 11 n | g точное, j | s jS j 1max | g точное, j  gчисл, j |,  макс j 1,...,n1 n|s|gS j 1 точное, j j,nS   sj .j 1Табл. 1. Собственные числа С nn\k123450.1-1.5045 + 0.0002*i-0.8340-0.5836-0.4501-0.36671-1.8594 + 0.2000*i-0.9212 + 0.0112*i-0.6106+ 0.0002*i-0.4619-0.3730100.1017+ 0.0999*i-0.1523 + 0.1019*i0.0302 + 0.1051*i0.7803 + 0.1098*i-0.0934 + 0.1165*i14Табл. 2.

Средняя и максимальная относительная погрешностиk = 0.1n\k12345 ср0.00560.00360.00210.00190.0027k=1 макс0.0350.00840.00620.00500.011k = 10 макс ср0.00140.00740.00450.00220.00190.0350.0130.00900.00630.0059 макс ср0.0500.0630.0160.540.0360.0990.140.0471.590.12Видно, что при k  0.1 и k  1 достигнута точность порядка 1%. Призначении k  10 погрешности значительно выше. При значении волнового числаk  10 диаметр разбиения всего примерно в 5 раз меньше параметра   2 / k ,имеющего физический смысл длины волны, что по-видимому недостаточно.Для тестирования построенного численного метода решения краевой задачиНеймана для уравнения Гельмгольца (3)-(6), были получены решения такойзадачи,возникающиепримоделированиидифракцииплоскоймонохроматической акустической волны на жестком круговом диске, падающейвдоль оси вращения диска. При этом первичное поле имеет вид u0  e ,i k , xk -волновой вектор, определяющий направление движения волны, k  k .На рис.

1 приведены диаграммы направленности в виде зависимостей:D( )  10lg ( ), ( 0 )-эффективнаяплощадьрассеяния,определяемаявыражением (14), где  - угол между вектором k , задающим направление распространения падающей плоской волны, и вектором   ,  0 - единичныйвектор, противоположно направленный вектору k , полученные для значенийволнового числа k  10 .При этом на графике слева приведены кривые,полученные при использовании для вычисления коэффициентовaijпоупрощенной формуле a~ij  K1 ( xi , y j )s j , i  j , a~ii  0 , i, j  1,...,n , а справа - поформуле (13) с доразбивкой каждой ячейки разбиения  j , j  1,..., n на Nm  100ячеек ( n0  m0  10 ) и сглаживаем особенности в ядре.15Рис.

1. Диаграммы направленности для k=10 (слева N m  1 , справа N m  100 )В табл. 3 приведена осредненная по углам разность между значениями эффективной площади рассеяния для указанного варианта разбиения и эталонноговарианта в дБ:N point D(i )  D0 (i ) ,N point i  11где N point - число точек i , по которым строились графики, D(i ) - значениедля указанного варианта, D0 (i ) - значения, полученные на самой мелкой сетке20х80 при Nm  100 , рассматриваемые в качестве эталонных.Табл.

3. Различие между рассчитанными зависимостями эффективной поверхности рассеяния для различных вариантов разбиения5х20 - 20х8010х40 - 20х80Nm  1Nm  100Nm  1Nm  100k 30,039 дБ0,096 дБ0,037 дБ0,057 дБk  102,225 дБ0,526 дБ1,177 дБ0,201 дБk  205,873 дБ1,657 дБ1,644 дБ0,699 дБЭти результаты показывают, что отличие результатов от эталонных растет сувеличением волнового числа k .

При этом использование доразбиения ячеек привычислении слабосингулярной части ядра позволяет получать более точные ре-16зультаты без увеличения размерности системы линейных уравнений (10), что особенно заметно при увеличении волнового числа k .Ниже приводятся результаты, полученные по схеме с доразбиением ячеек.Далее было проведено моделирование рассеяния акустической волны нажесткой сфере. Использовалось разбиение сферы на n  1500 ячеек. На рис.

2(слева) приведены зависимости величины эффективной поверхности рассеяниясферы радиуса a (величины  , определяемой формулой (14)) от угла  междувекторами k , задающим направление распространения падающей плоской волны,и вектором   для нескольких значений волнового числа k , определяемыхравенствами ka  0.1;1;3;5 . Также приведена зависимость от волнового числа kвеличины /(a) 2 для вектора  0 , противоположно направленного с векторомk , характеризующая интенсивность обратного рассеяния (на рис.

2 справа).Зависимость интенсивностиобратного рассеяния отчисла k (серые точки –расчет автора, черная линия– теоретическаязависимость).Диаграмма направленности (красные линии – расчетавтора, черные линии – теоретическая зависимость).Рис. 2.

Дифракция на сфереПриведенные результаты показывают хорошее согласование полученныхдиаграмм рассеяния с теоретическими данными.Дляиллюстрациивозможностейметодабылипроведенырасчеты17дифракцииакустическойволнынадискеипараболоиде,выложенныхкольцевыми элементами и сегментами с неполным заполнением. Первичное полепредставляло собой плоскую волну, падающую вдоль оси вращения. Бралисьзначения волнового числа k  3;10;20 при радиусе поверхности 1. Диаграммынаправленности для парабол с различным заполнением (полная парабола,парабола выложенная кольцами и парабола выложенная пластинами) дляразличных значений волнового числа k представлены на рис.

3.Рис. 3. Диаграммы направленности для параболоидов: полного и с частичнымзаполнениемПриведенныерезультатырасчетовдиаграммнаправленностидляконфигураций параболоида с неполным заполнением показывают, что методпозволяет анализировать характеристики отраженных полей на поверхностяхсложной формы. В данном случае, в частности, можно заметить, что врассмотренном диапазоне волновых чисел наличие вырезов более заметно длямалых значений волнового числа.

При увеличении волнового числа влияниевырезов на эффективную площадь рассеяния уменьшается.В качестве примера возможных приложений разработанной математическоймодели была рассмотрена задача об отражении звука от группы зданий. Былпроизведен расчет поля звукового давления, характеризующего уровень шума,вызванного точечным источником на поверхности земли с частотой 30 Гц. На18рис. 4 приведено распределение модуля звукового давления по поверхности земли(черной точкой отмечен источник шума). Можно заметить: зону с повышеннымуровнем шума вблизи источника шума, проникновение шума в проемы междузданиями, зоны затенения во дворах зданий и дифракционную картину зазданиями, которая характеризуется чередованием полос с повышенным ипониженным уровнем шума.

Таким образом, данная программа может бытьиспользована для выявления мест с повышенным уровнем шума, вызванногоисточниками с заданным местоположением, а также для построения осредненнойдиаграммы уровня шума, который могут вызвать источники с варьируемымместоположением.Рис. 4. Распределение модуля звукового давленияВзаключенииизложеныитогиисследования,рекомендациииперспективы дальнейшей разработки темы.

Отмечено, что разработан новыйвариант численного метода решения краевой задачи Неймана для уравненияГельмгольца, возникающей в задачах акустики, методом гиперсингулярныхинтегральных уравнений. Осуществлена программная реализация разработанногочисленного метода, проведено его тестирование на предмет оценки достоверностиполучаемых результатов и иллюстрации возможностей.

Для частного случая19задачинаплоскомэкранедоказанасходимостьчисленныхрешенийинтегрального уравнения на сетке в равномерной метрике.На примере модельных задач показано хорошее согласование численныхрешений с известными теоретическими и численными данными при условиисогласования диаметра разбиения поверхности тел и волнового числа.Разработанный численный метод применим для решения задач дифракциина комбинациях тел сложной формы, размеры которых соизмеримы с длинойволны или в несколько раз больше длины волны, т.е.

в резонансном диапазоне.Следует заметить, что повышение возможностей метода на предмет расширениядиапазона длин волн (моделирование дифракции волн с длиной волны до 100 разменьшей характерных размеров объекта) представляется возможным за счетприменения параллельных вычислений и специальных методов решения большихсистем линейных уравнений, основанных на операциях с матрицами в сжатомформате.Публикации по теме диссертацииА) Публикации в журналах, входящих в перечень ВАК:1.

Лебедева С.Г., Сетуха А.В. О численном решении полного двумерногогиперсингулярногоуравненияметодомдискретныхособенностей//Дифференциальные уравнения. 2012. 49. №2. 223-233.2. Лебедева С.Г. О решении задач дифракции волн методом интегральныхуравнений // Антенны, №2, М.: Радиотехника, 2013г. с.3-6.3.

Даева С.Г., Сетуха А.В. О численном решении краевой задачи Неймана дляуравнения Гельмгольца методом гиперсингулярных интегральных уравнений.Вычислительные методы и программирование. 2015 Т.16. С.421-435.Б) Статьи в трудах конференций и тезисы докладов:4. Daeva S.G., Setukha A.V. Numerical Simulation of Scattering of Acoustic Wavesby Inelastic Bodies using Hypersingular Boundary Equation // AIP Conf. Proc.2015.

1479. 394-397.5. Лебедева С.Г. Численная схема решения краевой задачи Неймана для20уравнения Гельмгольца на плоском экране // Сборник трудов 61 НТК МИРЭА.Часть 5, М.: МИРЭА, 2012г. с. 80-85.6. Лебедева С.Г. О решении задач дифракции волн на тонких экранах методоминтегральных уравнений // Труды научно-технической конференции «Новыетехнологиивперспективныхсистемахобнаружения,навигацииирадиоуправления», М.: ОАО «Концерн «Вега», 2012г. с. 63-68.7. Лебедева С.Г.

Численное решение краевой задачи Неймана для уравненияГельмгольцаметодомдискретныхособенностей//ТрудыXVIМеждународного симпозиума «Методы дискретных особенностей в задачахматематической физики», Харьков-Херсон 2013г. с. 230-233..