Автореферат (Математическое моделирование внешних акустических полей методом граничных сингулярных интегральных уравнений)

На правах рукописиДаева Софья ГеоргиевнаМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВНЕШНИХАКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ05.13.18 – Математическое моделирование, численные методыи комплексы программАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукМосква - 2015Работа выполнена в Федеральномгосударственномбюджетномобразовательномучреждениивысшегообразования«Московскийгосударственный университет информационных технологий, радиотехники иэлектроники» на кафедре Прикладной математикиНаучный руководитель:Сетуха Алексей Викторович, доктор физикоматематических наук, профессор, ведущий научныйсотрудникНаучно-исследовательскоговычислительного центра МГУ им.

М.В.ЛомоносоваОфициальные оппоненты:Крюковский Андрей Сергеевич, доктор физикоматематических наук, профессор, декан факультетаИнформационныхсистемикомпьютерныхтехнологий Российского нового университета,Марчевский Илья Константинович, кандидатфизико-математических наук, доцент, доценткафедры «Прикладная математика» Московскогогосударственного технического университета им.Н.Э.Баумана.Ведущая организация:Институт радиотехникиВ.А.Котельникова РАНиэлектроникиим.Защита диссертации состоится 25 декабря 2015г. в 14-30 на заседаниидиссертационного совета Д 212.131.03 Московского государственногоуниверситета информационных технологий, радиотехники и электроники,г.Москва, проспект Вернадского, 78, аудитория Г-412.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Московскогогосударственного университета информационных технологий, радиотехники иэлектроники www.mirea.ru.Автореферат разослан «___» __________2015 г.Учёный секретарь диссертационного советадоктор технических наук, профессорТягунов Олег Аркадьевич3Общая характеристика работыОбъектисследованияиактуальностьтемы.Математическоемоделирование дифракции волн на телах сложной формы является актуальнойзадачей, для решения которой существуют различные подходы.

В случае, когдадлина волны много меньше характерных размеров отражающих объектов, хорошоработают методы физической оптики и асимптотические методы. Однако, вслучае, когда длина волны сопоставима с размерами объектов, необходимоставить и численно решать внешние краевые задачи для волновых полей впространственных областях вне тел.

Так при моделировании дифракцииакустической волны на жестком теле возникает краевая задача Неймана дляуравнения Гельмгольца, которая является предметом рассмотрения даннойработы.В краевых задачах дифракции акустических и электромагнитных волнширокое применение находят сеточные и конечно-элементные методы. Такиеметоды позволяют учесть сложную, в том числе неоднородную структуруокружающей среды, многие физические эффекты.

Однако существеннуюпроблему здесь представляет то обстоятельство, что для выполнения граничныхусловий на бесконечности приходится решать задачу в расчетной области,многократно превышающей размеры тел, что резко увеличивает вычислительныезатраты.В случае моделирования монохроматических волновых процессов воднородных (кусочно-однородных) средах высоко эффективным является подход,основанный на методе граничных интегральных уравнений. Здесь решениекраевой задачи ищется на основе интегрального представления с интегралами погранице области решения задачи (по поверхностям тел) и сводится кинтегральным уравнениям, записанным на этой границе.

При этом граничныеусловия на бесконечности выполняются автоматически, а получаемые решенияточно удовлетворяют уравнениям в области решения задачи.Традиционно задачи дифракции сводятся к граничным интегральным4уравнениям Фредгольма 2-го рода. Однако, используемые при этом интегральныепредставления поля не применимы к задачам дифракции волн на тонких экранах,в которых необходимо выполнение граничного условия на обеих сторонахповерхности. Во многих задачах естественным является применение граничныхинтегральных уравнений с сингулярными и гиперсингулярными интегралами,которые позволяют единообразно описывать дифракционные задачи как нателесных объектах, так и на тонких экранах.Вдиссертацииреализованачисленнаясхемарешенияграничногогиперсингулярного интегрального уравнения, возникающего в краевой задачеНеймана для уравнения Гельмгольца, основанная на выделении в явном видеглавной особенности в ядре.

При этом при дискретизации граничногоинтегрального уравнения возникает система линейных уравнений, коэффициентыкоторой представляются в виде суммы сильносингулярных и слабосингулярныхинтегралов. Указанные сильносингулярные интегралы вычисляются аналитическив случае, когда поверхность аппроксимируется ячейками, так, что края всех ячеекестьпространственныеслабосингулярныхмногоугольникиинтегралов(непредложеныобязательноквадратурныеплоские).формулыДлятипапрямоугольников со сглаживанием особенности.Целью диссертационной работы являются разработка, программнаяреализация и верификация численного метода решения скалярных задачдифракции методом граничных интегральных уравнений с гиперсингулярнымиинтегралами.Для достижения указанной цели в работе решены задачи:- построена численная схема решения задач дифракции скалярной волны нажесткихтелах,основаннаянасведениизадачикгиперсингулярномуинтегральному уравнению.- осуществлена программная реализация разработанного численного методарешения краевых задач дифракции.- проведено тестирование разработанного численного метода на модельныхпримерах, получено математическое обоснование метода для частного случая5дифракции акустической волны на плоском экране.Научная новизна работы состоит в том, что задача сведена кгиперсингулярному интегральному уравнению с выделенной в явном видеглавной особенностью.

При дискретизации граничного интегрального уравнениявозникает система линейных уравнений, коэффициенты которой представляютсяв виде суммы сильно сингулярных и слабо сингулярных интегралов. В отличие отизвестной ранее аналогичной численной схемы, сильно сингулярные интегралывычисляются аналитически. Численно вычисляются только интегралы со слабойособенностью. Также новым результатом является доказательство сходимостичисленной схемы в частном случае, когда отражающая поверхность есть плоскийэкран.Научная и практическая значимость работы состоит в том, чторазработанный подход может быть применен к решению задач дифракцииакустических волн как на телесных объектах, так и на тонких экранах, а так же ихкомбинациях.

Разработанная вычислительная модель может быть применена дляисследования характеристик различных звуковых полей, в частности в задачахоценки уровня шума, вызываемого источниками с известными характеристикамив городской застройке.Достоверность разработанных численных алгоритмов подтверждаетсядоказательствомсходимостичисленнойсхемыдлячастногослучая,проведенными исследованиями поведения численных решений модельных задачпри измельчении шага разбиения поверхности, сравнением численных решенийинтегрального уравнения на сфере с известными аналитическими решениями,сравнениями характеристик отраженного поля в дальней зоне с известнымирасчетно-аналитическими данными других авторов для модельных задач.На защиту выносятся следующие результаты и положения:- разработка нового варианта численного алгоритма решения краевой задачи Неймана для уравнения Гельмгольца, основанного на сведении задачи к граничным интегральным уравнениям с гиперсингулярными интегралами;6- разработка вычислительного метода для математического моделированиядифракции скалярных волн;- получение для частного случая задачи на плоском экране теоретическихоценок для погрешности численных решений граничного интегрального уравнения, основанных на доказательстве сходимости численной схемы;- осуществление программной реализации численного метода в виде комплекса программ для решения задач дифракции скалярных волн разработаннымметодом и его тестирование.Апробация работы: Результаты работы докладывались и обсуждались на 7конференциях и научных семинарах.Публикации.

Основные результаты опубликованы в следующих 7 научныхработах, из которых 3 работы опубликованы в журналах из перечня ВАК [1-3], 1статья в сборнике трудов конференции, индексируемая базами данных Scopus иWeb of Science [4].Личный вклад автора. В публикации [2] Сетухой А.В. осуществленапостановка задачи, записана и доказана теорема о разрешимости. Даевой С.Г.доказана сходимость численной схемы. Вклад Даевой С.Г. ~50%. В публикациях[3-4] Сетухой А.В.сформулированы идеи сведения задачи к граничныминтегральным уравнениям и построения численной схемы. Даевой С.Г.реализовановыделениеявнойособенностивинтегральномуравнении,построение вычислительного метода решения задачи на основе дискретизацииуказанных уравнений, осуществлена программная реализация численного методаи проведены тестовые расчеты.

Вклад Даевой С.Г. ~50%.Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, вкоторых отражены основные результаты, полученные в процессе исследований,заключения и списка литературы. Общий объем 92 страницы, 34 рисунка, 9таблиц, 49 библиографических ссылок.Основное содержание работыВо введении дается общая характеристика работы.7Впервойглавесначалаформулируетсязадачаодифракциимонохроматической акустической волны на системе жестких тел и экранов. Пусть есть область трехмерного пространства вне рассматриваемых тел и экранов.Будем считать, что граница области  есть суммарная поверхность  , котораяпредставляет собой систему простых ориентируемых поверхностей (компонент).Каждая такая компонента может быть замкнутой (поверхность телесного объекта,при этом  есть внешняя область по отношению к такой компонентеповерхности), либо ограниченной разомкнутой поверхностью с краем (в этомслучае область  имеет разрез по этой поверхности, такая компонентааппроксимирует тонкий экран).Всюду далее предполагаем, что в пространстве введена декартова системакоординат Ox1x2 x3 и каждая точка x пространства отождествляется с набором еекоординат: ( x1, x2 , x3 )  R3 .