Диссертация (Научно-методические основы обеспечения качества электронных модулей при ограниченных объемах поставок), страница 13

один ложный выброс на270 статистических выборок, т.е. С р показывает связь между характеристикамитехнологического процесса и допуском по документации.Рассмотрим использование карт Шухарта при многомерном контроле.90Пусть Х - карты Шухарта используются для одновременного контроля показателей качества X 1 , X 2 ,..., X p (одновременно ведется  карт для каждого изпоказателей X j : j  1... p ).Случай, когда эти показатели некоррелированы, подробно рассмотрелТ.

Андерсон еще в 60-х годах прошлого века [50]. Статистический контрольсводится к построению карт по каждому показателю ρj индивидуально, ихсодержание сводится в общий набор. При наличии выброса (нарушениетехнологического процесса) в любой карте показатель ρj выводится по схеме“или” на экране оператора.Однако, если контролируемые показатели качества оказываются заметновзаимозависимыми, то определение совместного уровня значимости (вероятностиложной тревоги) невозможно при контроле по отдельным показателям,коррелированными между собой. Проиллюстрируем это на примере двухпоказателей.

Пусть A1 - событие, состоящее в попадании показателя X 1 вдоверительную область, A2 - аналогичное событие для показателя Х2; принезависимыхсобытияхвероятностьпопаданияобоихпоказателейвдоверительную область равна:P ( A1 A2 )  P ( A1 ) P ( A2 ) ,а в случае зависимых показателей по известной формуле теории вероятностей равна:P ( A1 A2 )  P ( A1 ) P ( A2 / А1 ) .Определение условной вероятности P ( A2 / А1 ) попадания показателя Х2 взаданную область в предположении, что Х1 уже находится в ней, практическинереально даже для двух показателей.Один из вариантов решения проблемы – переход от зависимых показателей кстатистически независимым с использованием метода главных компонент F j [51].Представим результаты контроля технологического процесса в виде матрицыX  ( X 1 , X 2 ,...

Х j ..., X p ) , где вектор-столбец результат m наблюдений за показателемХj.Требуется преобразовать матрицуXв матрицу главных компонент91F  ( F1 F2 ... Fp ) , причем таких, что главная компонента F j представляет собойлинейную комбинацию исходных показателей X 1 , X 2 ,..., X p . При этом главныекомпоненты уже некоррелированы и упорядочены по величине дисперсий: перваяглавная компонентаF1имеет максимальную дисперсию, последняя Fp -минимальную.Такоепреобразованиенекоррелированнымпозволит,показателямво-первых,качества,обеспечитьво-вторых,припереходкопределенныхусловиях переход к главным компонентам может позволить снизить размерностьзадачи: одна или несколько последних главных компонент Fp, Fp-1, … могут иметьдостаточно малые дисперсии и их влиянием можно будет пренебречь, то естьстроить ограниченное сверху количество контрольных карт на главныхкомпонентах.Главные компоненты строят на центрированных переменных X j  0 j , где 0 j- целевое среднее для показателя X j .Представим главные компоненты в виде:F  ( X  0 )V ,где V - матрица коэффициентов преобразования.Дисперсия главных компонент:D( F )  D(( X  0 )V )  V T D( X  0 )V  V T D( X )V  V T V ,где  - ковариационная матрица показателей.

Дисперсия первой главнойкомпоненты должна быть максимальна. Для исключения неопределенностикоэффициенты V нормируют: предполагают V TV  1 .Это оптимизационная задача, решаемая методом множителей Лагранжа.Заметим, что метод главных компонент применяется при законах рассеянияпоказателей, существенно отличающихся от нормального при небольшом объемевыборки n  2 . Поэтому практически в нашем случае не используются.Аналитический обзор методов статистической обработки данных дляконтроля технологического контроля можно продолжить.

Здесь, помимо карт92Шухарта, включая карты на главных компонентах, существуют: контрольные карты для обнаружения малых смещений среднего уровнянастройки процесса (карта многомерных кумулятивных сумм, картамногомерных экспоненциально взвешенных скользящих средних); многомерные контрольные карты на преобразованных данных по Джонсу; контрольные карты эффективной дисперсии; контроль процесса по регрессивным остаткам;и т.д.Обратимся к главному инструментарию в нашем случае – контролю качествапроизводственного процесса по Г.Хотеллингу при изготовлении (монтаже)электронных модулей.

Влияние “тонких” отклонений технологии от статистикине рассматриваем.МногомерныеконтрольныекартыХотеллингаприкорреляциипоказателей.Аналитические выражения Хотеллинга довольно громоздкие и подчастребуют специальных знаний по статистическим методам исследования.Попробуем сделать соответствующие пояснения.Длясопровожденияпроизводственногопроцессаприкорреляцииконтролируемых между собой показателей до него использовались контрольныекарты (КК) Шухарта на главных компонентах. Убедившись в сложности исущественных ограничениях использования этих КК, Хотеллинг предложил болеепростой и точный метод построения КК, но требующий его реализации накомпьютере, что для Шухарта в 40-х годах прошлого века было принципиальноневозможно.Качествопроизводствамодулейхарактеризуетсяподчаснесколькимипоказателями, которые могут быть сильно коррелированны.При этом для него было очевидно, что предлагаемый новый вариантпостроения КК должен однозначно определять количество выборок измеренияпоказателей, интервал между ними и объем измерений в каждой выборке.93Причем, для получения оперативной и неискаженной информации в каждойвыборке она должна протекать быстро, отсюда он ввел термин “мгновенныевыборки”.При выводе своего метода он обратился к теории анализа взаимно зависимыхслучайных величин.

В частности, за основу своего метода использовал функциюсовместнойплотностиимногомерногонормальногораспределения,рассмотренной тем же Андерсоном:f (X)  (2 )  P 1 / 2 exp  ( X   ) T  1 ( X   ) / 2 ,где X=(X1, X2, …, Xp) - p показателей качеств, имеющих совместноенормальное распределение,  - вектор средних значений X i ,  - ковариационнаяматрица, Т – символ, означающий операцию трансформирования.Для частного случая [52], когда рассматриваются характеристики системыдвух случайных величин X и Y с двумерным нормальным распределением,ковариация Кxy характеризует степень зависимости этих случайных величин ирассеивание вокруг точки (mx, my), где mx , my – координаты центра рассеяниявеличин X и Y.Иначе, ковариация двух случайных величин равна математическомуожиданию их произведения минус произведение их математических ожиданий:K xy  M [ X  Y ]  M [ X ]  M [Y ] .Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

Размерностьковариации Kxy равна произведению размерностей случайных величин X и Y.Чтобы получить безразмерную величину, к тому же характеризующую толькозависимость, а не разброс, вводят приведенный выше коэффициент корреляции: xy  K xy /( x ,  y ) ,где x, y – среднеквадратичные отклонения.Как правило истинное значение коварционной матрицы  неизвестно, поэтомупри определенной обобщенной характеристики Хотеллинга Т2 переходим к ееоцениванию S по опытным (выборочным) данным:2Т t  n( X t   0 ) T S 1 ( X t   0 ) .(2.10)94Символ S 1 – обратная выборочная матрица, т.е. S  S 1  E , где Е – единичнаяматрица:1...0...0Е  0...1...0 , т.е.

1 установлены только в диагонале.0...0...1Прочие обозначения:t = 1,2,3,…m – номер текущей выборки;n – объем (количество) измерений в каждой выборке;p – число показателей, фиксируемые в каждой (мгновенной) выборке(p = 1,2,3, … j … p);X t  ( X t1 , X t 2 ,... X tp ) – вектор средних значений в мгновенных выборках;Х tj - среднее значение в текущей t мгновенной выборке по Pj – ому показателюизмеряемого параметра; 0  ( 1 ,  2 ,...,  j ,...,  p )Т – вектор целевых средних,где  j Во1 m n xitj .mn t 1 j 1всехприведенныхвыраженияхверхнийиндексТозначаеттрансформированный, т.е. при вычислениях построчная запись переводится встолбец.Например,векторцелевыхсредних,записанныйкак 0  ( 1 ,  2 ) Т , вычисляется как матрица    1  . 2 Итак, вместо двойных картХи Sиспользуется одна статистика,обозначенная Хотеллингом как Т2 (“2” введена автором и означает описаниеэллипса в плоскости xy (двух показателей) квадратным уравнением).При нормальном ходе процесса производства на каждом текущем моменте tдолжно выполняться условие:Т t2  Tкр2 ,где Т кр2- граница критической области, устанавливаемая экспертами из95обучающей статистической.В общем случае в технологическом процессе контролируются P показателейкачества Х  ( Х 1 , Х 2 ,...

Х p ) , имеющих совместное нормальное распределение.Если обратиться к выражению (2.10), то следует обратиться к последнемунераскрытому символу S, являющейся выборочной оценкой так называемойковарционной матрицы .Вид этой матрицы для двумерного нормального распределения (больше напрактике не потянем), поэтому остальные (p-2) вводим как ограничения):  12 ...12 1 2 ,    ... 2  21 1 2 2 (2.11)где 1, 2 – дисперсии коррелируемых величин Х1 и Х2,12 = 21 =  - коэффициент корреляции (ковариации) между Х1 и Х2.Определитель матрицы (2.11) равен:Е   12   22  (1   2 ) .Заметим, что обобщенная статистика Хотеллинга имеет только верхнююграницу Т кр2 .