Курс лекций Основы надежности, страница 4

поведенияпрогнозируемого параметра j-го экземпляра. Задача, таким образом,заключается в нахождении значений коэффициентов a0(j), a1(j) и a2(j) длякаждого экземпляра выборки.Функцию fКД обычно подбирают так, чтобы a0(j) = y (j) ( t1 ). Поэтомудля каждого j-го экземпляра остается найти коэффициенты a1(j) и a2(j), длячего можно воспользоваться методом наименьших квадратов.Суть этого метода заключается в нахождении таких a1(j) и a2(j), чтобысумма квадратов отклонений измеренных значений y(j)(ti) прогнозируемогопараметра от вычисленных по КД модели – y*(j)(ti) была минимальной, тоестьгде y*(j)(ti) = fКД (t, a0(j), a1(j), a2(j))В результате имеемСумма в последнем выражении представляет собой функцию двухпеременных a1(j) и a2(j), обозначим ее g(a1(j), a2(j)).

ТогдаМинимум этой функции достигается при таких a1(j) и a2(j), при которыхее частные производные обращаются в нуль. Поэтому получаем системууравненийРешение этой системы уравнений и дает нам искомые значениякоэффициентов a1(j) и a2(j) для j-го экземпляра. Если система имеет несколькоразличных решений, то нужно выбрать из них такое, при котором сумма ввыражении минимальна.Ошибка прогнозированияОценка пригодности КД модели получается путем сравнения получаемойошибки прогнозирования с допустимой.

Точность прогнозированияоценивается величиной дисперсии ошибки, которая вычисляется по формулегде ∆() – отклонение вычисленного по КД модели на момент tпр значенияy*( tпр) то фактического y(tпр), известного по результатам эксперимента(см. табл. 8.1); ∆ – средняя ошибка КД модели.Оценка значения прогнозируемого параметра j-го экземпляравычисляется по формулеЕсли величина дисперсии ошибки согласуется с установленнымитребованиями, то полученную КД модель можно рекомендовать дляпрогнозирования значения параметра новых экземпляров; в противномслучае следует попытаться подобрать другой вид функции fКД, дающейменьшую ошибку.Пример с линейной модельюПокажем, как проводится индивидуальное прогнозированиеэкстраполяцией на основе эксперимента с использованием линейной КДмодели.Пусть в процессе эксплуатации 20 передатчиков производились замерывыходной мощности в начальный момент t1 = 0, через tk = t2 = 103 ч и через tпр= t3 = 104 ч, результаты эксперимента приведены в столбцах 2, 3, 4табл.

8.2.Таблица 8.2В двух нижних строках табл. 8.2 приведены оценки математическогоожидания и среднеквадратического отклонения, вычисленные для моментовt1, t2, tпр.Нетрудно убедиться, что эта зависимость очень близка к линейной,поэтому выбираем функцию fкд в виде(j)(j)коэффициент a0 равен y (t1), значит, известен по результатамэксперимента (столбец 2 табл. 8.2). Коэффициент a1*(j) для каждогоэкземпляра обучающей выборки находится по формулеВычисленные по этой формуле значения a1*(j) приведены в столбце 6.В столбце 9 приведены отклонения ∆() вычисленных по КД линейноймодели значений от фактических, указанных в столбце 4.Окончательно, оценка значения прогнозируемого параметравычисляется по формуле y*(j) (tпр) = a0(j) − a1*(j)tпр.(j)Значения этих оценок y* (tпр) приведены в столбце 7.Вычислим дисперсию ошибки и сравним ее с допустимым значением.В нашем примере дисперсия ошибки прогнозирования равнаили среднеквадратическое отклонение ошибки равно 2,03.

Эффективностьпрогнозирования удобно оценивать величиной отношенияВ нашем примере оно равно 3,1, это означает, что применениеиндивидуального прогнозирования позволило в 3,1 раз улучшить точностьоценки параметра по сравнению с прогнозированием по всей группе.Если полученная точность прогнозирования удовлетворительна, тонайденную КД модель можно рекомендовать для прогнозирования значенияпараметра новых экземпляров передатчиков.Лекция 9Выборочный контроль радиоизделийПринципы статистической проверки гипотезНа практике мы всегда располагаем ограниченным числом значенийслучайной величины, представляющим собой некоторую выборку изгенеральной совокупности. Под генеральной совокупностью понимают вседопустимые значения случайной величины.

Выборка называетсярепрезентативной (представительной), если она даёт достаточноепредставление об особенностях генеральной совокупности. Если о последнейничего не известно, единственной гарантией репрезентативности можетслужить случайный отбор.Предложения относительно распределений генеральной совокупноститой или иной случайной величины называются статистическимигипотезами. Проверка гипотезы заключается в сопоставлении некоторыхстатистических показателей, критериев проверки (критериев значимости),вычисляемых по выборке, со значениями этих показателей, определённымииз предложения, что проверяемая гипотеза верна.

При проверке гипотезнекоторая гипотеза H0 сравнивается с альтернативной гипотезой H , котораяформулируется или подразумевается. Альтернативных гипотез может бытьнесколько.Чтобы принять или отвергнуть гипотезу, ещё до получения выборкизадаются уровнем значимости P, под которым понимается вероятность того,что случайная величина примет значение, выходящее за пределыдоверительного интервала.

Наиболее употребительны уровни значимости:0,001; 0,01; 0,02; 0,05; 0,1. Уровню значимости соответствует доверительнаявероятность β = 1 – P. По этой вероятности, используя гипотезу ораспределении оценки x* (критерия значимости), находят квантильныедоверительные границы, как правило, симметричные и 1 − . Квантиль22 есть такое значение случайной величины X , при котором P( X < xp ) = P .Числа2и 1 − называют критическими значениями гипотезы;2значения x*, меньше чем2и больше 1 − , образуют критическую область2гипотезы, или область непринятия гипотезы (рис. 9.1).

Если найденноепо выборке значение x0 попадает между и и 1 − то гипотеза допускает22такое значение в качествеслучайного, поэтому нетоснований его отвергать.Если же найденное значение x0 попадает в критическую область, поданной гипотезе оно является практически невозможным. Но так как оно всетаки появилось, то гипотеза отвергается.При проверке гипотез могут быть ошибки двух видов. Ошибка первогорода состоит в том, что отвергается гипотеза, которая на самом деле верна.Вероятность такой ошибки α не больше принятого уровня значимости.Например, при P = 0,05 можно совершить ошибку первого рода в среднем впяти случаях из ста. Ошибка второго рода состоит в том, что гипотезапринимается, а на самом деле она неверна.

Вероятность этой ошибки β темменьше, чем выше уровень значимости, так как при этом увеличиваетсячисло отвергаемых гипотез. Одну и ту же статистическую гипотезу можноисследовать при помощи различных критериев значимоcти.Если вероятность ошибки второго рода равна β, то 1 – β называютмощностью критерия.На рис. 9.2 приведены две кривые плотности вероятности случайнойвеличины X , соответствующие двум конкурирующим гипотезам H(a) и().

Если из опыта получаетсязначение x > xp, отвергаетсягипотеза H и принимаетсяальтернативная гипотеза H , инаоборот, если x < xp. Площадьпод кривой плотностивероятности, соответствующейсправедливости гипотезы H,вправо от xp равна уровнюзначимости P, т.е. вероятностиошибки первого рода.

Площадьпод кривой вероятности , соответствующей справедливости, влево от xpравна вероятности ошибка второго рода β, а вправо от xp – мощностикритерия. Таким образом, чем больше P, тем больше 1 – β. Для проверкигипотезы стремятся из всех возможных критериев выбрать тот, у которогопри заданном уровне значимости меньше вероятности ошибки второго рода.Рассмотренные принципы статистической проверки гипотез положеныв основу выборочных методов контроля и испытаний ЭС.Выборочные методы контроля ЭСВыборочный контроль применяется, если сплошной контроль илиневозможен, если связан с необходимостью уничтожения или порчи изделия(например, контроль надёжности), или экономически невыгоден из-завысокой его стоимости.

Он заключается в том, что отбирается некотороечисло изделий из данной партии и определяется качество каждого из них. Поколичеству или доле дефектных изделий в выборке судят о качестве всейпродукции. Если результат испытания дает основание считать долю брака вовсей партии, не превышающей некоторого допустимого предела, партияпринимается. Если же результат отрицательный, то партия бракуется илиподвергается сплошной проверке, причем все обнаруженные бракованныеизделия заменяются годными.Естественно, что из-за случайности выборки возможны ошибки приоценке всей партии изделий по выборочным характеристикам.

Эти ошибкиможно разделить на ошибки первого рода, когда годная партия изделий порезультатам выборки оценивается как негодная, и ошибки второго рода,заключающиеся в том, что негодная партия продукции по результатамвыборочных испытаний оценивается как годная. Вероятности этих ошибокназываются рисками поставщика α и заказчика β. При организациистатистического контроля стремятся, чтобы эти вероятности былидостаточно малыми.На практике применяются три метода выборочного контроля:однократной выборки, двукратной выборки и последовательного анализа.Обозначим через N общее число изделий в партии, M – числоимеющихся в ней дефектных изделий. Тогда характеристикой качества.партии будет доля дефектных изделий: q=Обозначим через P вероятность приёмки партии по результатамвыборочного контроля.