Курс лекций Основы надежности, страница 3

К моменту отказаосновных цепей ресурс резервных цепей снижается.При динамическом резервировании основные цепи замещаютрезервными только после отказа основных цепей.При динамическом резервировании элемент может находиться вненагруженном состоянии (холодный резерв), нагруженном состоянии(горячий резерв) и среднем состоянии (теплый резерв).Резервирование делится на общее и раздельное. При общемрезервировании резервируется система в целом, при раздельном – отдельныеэлементы.Расчет надежности при параллельном соединении элементовДля системы (рис 6.2) () = 1 − (), где () =1 ()2 () … +1 ()– вероятность отказаЕсли 1 () = 2 () = ⋯ = (), то вероятностьбезотказной работыгде m – число резервных элементов.Пример.

Если m=2; p(t)=0,8 (вероятность безотказной работы каждогоэлемента), то вероятность безотказной работы системы P(t)=0,992.Пусть имеется система, показанная на рис. 6.3получимЕсли законы экспоненциальные, тоиПолучимЕсли 1 = 2 = , тогде tср э – средняя наработка до отказа одного элемента.При постоянном резервировании ресурс резервного элемента являетсязначительно исчерпанным, поэтому увеличивая количество элементов в двараза, только в 1,5 раза повысим надежность.Расчет надежности при общем резервированииНеобходимо определить вероятность безотказной работы системы(рис. 6.4), если одна цепь основная, а остальные m – резервные.Данная система откажет, когда откажут все цепи, составляющиесистему.

Тогда вероятность отказа системы будет иметь вид– вероятность отказа i-й цепи.Вероятность безотказной работы цепиОтсюдаОкончательно получимРасчет надежности при раздельном резервированииПри раздельном резервировании (рис. 6.5) резервируется не вся цепь, аотдельные элементы.Вероятность безотказной работыВероятность безотказной работысистемыи окончательно получимБудем считать, что все элементы равнонадежны, то есть1 = 2 = ⋯ (), тогда:‒ 1 () = 1 − [1 − 1 ]+1 при общем резервировании;‒ () = {1 − [1 − ()]+1 } – при раздельном резервировании.Предположим, что m=1; N=2; P(t)=0,8, тогда:1 () = 1 − [1 − 0,82 ]2 = 0,87 – при общем резервировании;() = {1 − (1 − 0,8)2 }2 = 0,97 – при раздельном резервировании.Видно, что раздельное резервирование эффективнее общего.

Но этотвывод справедлив, только для постоянного резервирования.Если резервирование динамическое, то есть осуществляетсязамещением отказавших элементов, то при раздельном резервированиитребуется значительно большое количество переключателей, которыеявляются наименее надежными элементами. Поэтому раздельноерезервирование в этом случае часто оказывается менее эффективным, чемобщее.Лекция 7Расчет надежности при динамическом резервированииРассмотрим случай работы двух параллельных элементов А и Б, когдадо момента отказа основного элемента А элемент Б находится в облегченныхусловиях (см. рисунок). Полагаем, что время безотказной работы элементовраспределено по экспоненциальному закону. Найдем вероятностьбезотказной работы системы за время t.

Возможные состояния даннойсистемы:Н0 ‒ элементы A и Б в интервале времени (0, t) работают безотказно;H1 ‒ элемент А отказывает в момент времени, а элемент Б, работающийбезотказно в интервале времени (0, t), включается под нагрузку;H2 ‒ элемент А в интервале времени (0, t) работает безотказно, элементБ в момент времени 1 < отказывает;H3 ‒ элемент А отказывает в момент t1,элемент Б отказывает раньше, то есть оба элементаотказывают до истечения заданного промежуткавремени (0, t);H4 ‒ элемент А отказывает в момент времени t1,после чего включается элемент Б, но и он отказываетдо истечения промежутка времени (0, t).Нетрудно увидеть, что только гипотезы H0, H1 и H2 являютсяблагоприятными, определяющими вероятность безотказной работы системыза заданный промежуток времени:Вероятность р(H0)определяется легко:дляслучаяпростейшегопотокаотказовгде λA ‒ интенсивность отказов элемента А; λБ ‒ интенсивность отказовэлемента Б в облегченном режиме.При этом λБ <λA, или в случае равнонадежных элементов λБ = kpλA, гдеkp ‒ коэффициент расхода ресурса (в ненагруженном режиме резерва kp = 0,при нагруженном резерве kp = 1, при облегченном резерве kp < 1).Вероятности других гипотез можно найти, применяя формулу полнойвероятности.

Так, определим вероятность р(Н1). Здесь существенную рольиграет момент отказа основного элемента. Если рассматривается промежутоквремени (τ, τ + dτ), то вероятность отказа элемента А равнагде ƒA(τ) – частота отказов элемента А.Вероятность события, заключающегося в том, что система проработаетбезотказно в течение времени t, если в момент τ произошел отказ элемента А,равнагде pБ (t – τ | τ) – условная вероятность того, что элемент Б проработаетбезотказно время (t – τ), если он не отказал за время τ.Но отказ элемента А может произойти в любой момент в промежутке(0, t). Поэтому вероятность p(H1) можно найти, просуммировав (7.2) по всемэлементарным промежуткам, то есть применяя интегральную формулуполной вероятности:Если поток отказов простейший, без последствия, тогде λ'Б – интенсивность отказов элемента Б в рабочем режиме.ВероятностьПоскольку отказ резервного элемента никак не влияет на режим работыосновного элемента, то при простейшем потоке отказовС учетом соотношений (7.3) и (7.4) определим вероятность р(H1):Вероятность р(H2) с учетом (7.5) и (7.6) составляетВероятность безотказной работы рассматриваемой системы за время tпри простейшем потоке отказов, таким образом, равна:Формула (7.9) позволяет рассчитать любой случай включениярезервной цепи (элемента) при условии, что переключатели абсолютнонадежны.

Так, например, в случае нагруженного резерва, когда λБ = λ΄Б,формула (7.9) совпадает с формулой (7.8). В случае ненагруженного резерва,когда λБ = 0 (отсутствует расход ресурса до момента включения элемента),формула (7.9) даетДля случая, когда элементы равнонадежны (λA = λ'Б), эта формула прираскрытии неопределенности во втором члене суммы по правилу ЛопиталядаетДля нахождения среднего времени безотказной работы системыпроинтегрируем уравнение (7.9) в пределах (0, ∞):Формула (7.10) является общей, позволяющей определить среднеевремя безотказной работы дублированной системы для любого способавключения резерва.

Так, для нагруженного резерва, когда λА = λБ = λ'Б = λ,формула (7.10) даетЗдесь изменено обозначение среднего времени безотказной работысистемы, поскольку нагруженный резерв характерен для постоянногорезервирования.Если применяется ненагруженный резерв, когда λА = λ'Б = λ, а λБ = 0,то по формуле (7.10) получаемФормула (7.9) получена для двух элементов, из которых одиносновной, другой резервный.

Но используя изложенную здесь методику,можно получить формулу для случая m-кратного резервирования. С этойцелью необходимо выписать, как это делалось и здесь, все возможныесостояния (гипотезы), в которых может пребывать система из (m+1)параллельных цепей (элементов), и вероятность безотказной работы системыза заданный промежуток времени найти как сумму вероятностейблагоприятных гипотез:где (m + 1) — число благоприятных гипотез, соответствующих случаюбезотказной работы системы.Среднее время безотказной работы системы определяется:Определение вероятностей р(Hi) при большом числе резервных цепей(элементов) приводит к большому объему вычислительной работы. Поэтому,имея в виду назначение этого материала, не будем заниматься болеесложными случаями резервирования.Лекция 8Индивидуальное прогнозирование надежности на основе экстраполяцииСмысл индивидуального прогнозирования заключается в том, что порезультатам наблюдений за каждым экземпляром ЭС делаютсяобоснованные выводы о его потенциальной надежности в течение срокаэксплуатации в условиях действия случайных внешних факторов, начальныхотклонений параметров и их изменений во времени.Исследования реальных процессов изменения во времени параметровЭС показывают, что, как правило, у таких процессов основная случайностьопределяется не наличием быстротечных отклонений, а медленноменяющимися монотонными тенденциями.

Это дает возможностьиспользовать в описании случайных процессов квазидетерминированные(КД) модели – неслучайные функции времени, зависящие от несколькихслучайных аргументов КД (, �,�,�)0 1 2Оценка значения прогнозируемого параметраИндивидуальное прогнозирование экстраполяцией с оценкой значенияпрогнозируемого параметра заключается в подборе такой функции fкд, чтобывычисленная по ней оценка прогнозируемого параметра возможно меньшеотклонялась от его фактического значения.Выбор подходящей fкд производится по данным эксперимента,состоящего в испытании n экземпляров выборки в течение времени tпр ирегистрации значений прогнозируемого параметра каждого из них в моментыt1, t2,…, tk, tпр.Результаты таких испытаний удобно представить в виде табл.

8.1.В этой таблице приняты следующие обозначения:y (t) – случайный процесс (изменение прогнозируемого параметра ЭС); y(j)(ti)– значение прогнозируемого параметра j-го экземпляра, измеренное в моментвремени ti ; M y ( ti ) , D y ( ti ) – оценки математического ожидания и**дисперсии случайного процесса в момент ti, вычисленное по n егореализациям.Необходимо выбирать вид функции fкд, вычислить для каждого j-гоэкземпляра коэффициенты a0(j), a1(j), a2(j) и оценить значения прогнозируемогопараметра – y*(j)(tnp).Для этого, например, по данным табл.8.1 можно построить графикM*y ( ti ).

На рисунке эта зависимостьпоказана жирной линией. По характеруее изменения подбирается тот или инойвид функции fКД.Чаще всего реализация процессовизменения во времени параметров ЭСхорошо вписываются в простые модели(линейную, параболическую,логарифмическую, экспоненциальную), игораздо реже возникает необходимостьперехода к более сложным моделям.Типовые математические моделиЛинейная модель.

В этом случае fКД есть линейная функция с двумяслучайными коэффициентами.При t=t1=0, �КД () = �0 . Это означает, что �0 .есть значениеслучайного процесса �() в начальный момент времени t1 �0 = �(1 )Линейные модели достаточно хорошо описывают процесс простогонакопления необратимых изменений, например, механический износ.Заметим, что в этой и всех последующих моделях коэффициент �0характеризует начальный разброс параметра. Если этот разброс невелик, тослучайностьюкоэффициента �0можно пренебречь.

При этом модель упрощается, посколькуКоэффициент �1 в линейной модели определяет скорость измененияпроцесса.Параболическая модель. В общем случаи fКД здесь содержит трислучайных коэффициента и имеет видВ некоторых практических случаях возможно упрощениепараболической модели, если пренебречь �2 (ускорения процесса) или �0 .Параболические модели используются, когда, кроме простого накоплениянеобратимых изменений, имеются ускоряющие или замедляющие факторы.Логарифмическая модель. В общем случаи fКД задается в видеТакие модели используются для описания процессов старения материалов, у которых скорость старения убывает обратно пропорциональнонакопившимся в этих материалах изменениям. Обычно �2 определяетсяфизикой процесса старения и часто может рассматриваться как величинанеслучайная.Экспоненциальная модель.

Обычно такая модель задается в видеЭкспоненциальная модель используется для описания процессовстарения, являющихся результатом перехода материала из неравновесногосостояния, возникающего при изготовлении, в равновесное. Такие моделинаиболее адекватны реальным физическим процессам старения материалов.Величина �2 имеет смысл «постоянной времени» деградации, котораяопределяется физикой процесса старения и во многих случаях можетпросматриваться как величина неслучайная.Ознакомившись с различными КД моделями случайных процессовизменения во времени параметров ЭС, рассмотрим, какие возможностипредоставляют эти модели для решения задач индивидуальногопрогнозирования.Решение задач индивидуального прогнозированияПусть выбран какой-либо вид функциональной зависимости fкд.Индивидуальность прогнозирования заключается в том, что для одного итого же выбранного вида fкд значения a0( j ), a1( j ) и a2( j) определяются взависимости от конкретного хода j-й реализации, т.е.