Лекционный курс от Русакова, страница 12

Будем подсчитывать число случаев yjфактического наступления события A в серии с номером j. Число yj будетприближенно следовать закону Пуассона. Практически номер выбираетсятаким образом, что p  0.1  0.2АлгоритмАлгоритм генерации последовательности случайных чисел ур имеющихпуассоновское распределение.LA   , N  N , PN  p, XI  xi— случайные числаравномерно распределенной в интервале (0, 1);YJ  y j :63последовательности,NO — вспомогательная переменная;ВИД [...] — процедура ввода исходных данных;ВЫЧ [...] — процедура вычисления;ГЕН [...] — процедура генерации случайных чисел;ВРМ [...] — процедура выдачи результатов моделирования.Моделирование случайных векторов.Прирешениизадачисследованияхарактеристикпроцессовфункционирования систем методом статистического моделирования на ЭВМвозникает необходимость в формировании реализаций случайных векторов,которые обладают заданными вероятностными характеристиками.

Случайныйвектор можно задать проекциями на оси координат, эти проекции являютсяслучайными величинами, и описываются совместным законом распределения.Случайные вектора можно задать проекциями на оси координат. Вдвухмерном случае, когда вероятность распределения на плоскости XOY, онможет быть задан совместным законом распределения его проекций  и  наоси Ох и Оу.Моделирование дискретных векторовПусть имеется дискретный случайный процесс. Двухмерная случайнаявеличина (,) является дискретной. Ее составляющая  принимаетвозможные значения x1 , x2 ,....xn .

 принимает значения y1 , y2 ,..., yn .Каждой паре ( xi , yi ) соответствует вероятность pi . Возможному значениюxi случайной величины  , будет соответствоватьВ соответствии распределением вероятностей можно определитьконкретное значение xt случайной величины  и из значений pij выбратьпоследовательность(2)которая описывает условное распределение величины  при условии   xi. Тогда конкретное значение yi случайной величины  будет определяться всоответствии с распределением вероятностей (2).

Пара чисел ( xi , yi ) будетпервой реализацией моделируемого случайного вектора. Далее аналогичнымобразом определяем возможные значения xi2 , выбираем последовательность(3)64и находим д в соответствии с распределением (3). Это дает реализациювектора ( xi 2 , yi 2 ) и т. д.Моделирование непрерывных случайных векторовПусть величины  и  являются составляющими случайного вектора. Вэтом случае двухмерная случайная величина (,) описывается совместнойфункцией плотности f(x, у).С помощью функции плотности f(x) находится случайное число xt.

Приусловии   xi определяется условное распределение случайной величины :По функции плотности определяется случайное число yt. Пара чисел ( xi , yi )будет являться искомой реализацией вектора (,).В условиях многомерных векторов объем вычислений существенноувеличивается, что создает препятствия к использованию этого способа впрактике моделирования систем.В пространстве с числом измерений больше двух доступным оказываетсяформирование случайных векторов в рамках корреляционной теории.Рассмотрим случайный вектор с математическими ожиданиями a1 , a2 ,..., an икорреляционной матрицейгде kij  k ji .Пример.

Рассмотрим трехмерный случай реализации трехмерногослучайного вектора с составляющими (,,) и имеющего нормальноераспределение с математическими ожиданиями M [ ]  a1 , M [ ]  a2 , M [ ]  a3 икорреляционной матрицей К, элементы которой являются дисперсиямислучайныхвеличинk11  D[ ], k22  D[ ], k33  D[ ] .Элементыk12  k21 , k13  k31 , k23  k32 представляют собой соответственно корреляционныемоменты  и ,  и ,  и .Пусть имеется последовательность некорреляционных случайных чисел {i},имеющих одномерное нормальное распределение с параметрами а и .

Выберемтри числа  1 , 2 , 3 , преобразуем так, что они имеют характеристики a1 , a2 , a3 и K.65Искомые составляющие случайного вектора (,,) обозначим как х, у, z ипредставим в виде линейного преобразования случайных величин i:где cij — некоторые не известные коэффициенты. Для вычисления этихкоэффициентов воспользуемся элементами корреляционной матрицы К.Велечины  1 , 2 , 3 независимы между собой, то M [( i  a)( j  a)]  0 при i  j Витоге имеем:Решая эту систему уравнения относительно cij получимВычислив коэффициенты cij три последовательных случайных числа ii:=1, 2, 3, преобразуются в составляющие случайного вектора ( xi , yi , zi ) .Требуется хранить в памяти ЭВМ п(п+1)/2 корреляционных моментов kij и пматематических ожиданий аi.

При больших п могут встречаться сложности,связанные с большим объемом вычислений.Имитационное моделированиеПроцедура имитационного моделирования.Определение метода имитационного моделирования. Метод ИМ заключаетсяв создании логико-аналитической (математической модели системы ивнешних воздействий), имитации функционирования системы, т.е. вопределении временных изменений состояния системы под влияниемвнешних воздействий и в поучении выборок значений выходных параметров,по которым определяются их основные вероятностные характеристики.Данное определение справедливо для стохастических систем.При исследовании детерминированных систем отпадает необходимостьизучения выборок значений выходных параметров.Модель системы со структурным принципом управления представляет собойсовокупность моделей элементов и их функциональные взаимосвязи. Модельэлемента (агрегата, обслуживающего прибора) - это, в первую очередь, набор66правил (алгоритмов) поведения устройства по отношению к выходнымвоздействиям (заявкам) и правил изменений состояний элемента.

Элементотображает функциональное устройство на том или ином уровне детализации.В простейшем случае устройство может находится в работоспособномсостоянии или в состоянии отказа. В работоспособном состоянии устройствоможет быть занято, например, выполнение операции по обслуживанию заявкиили быть свободным. К правилам поведения устройства относятся правилавыборки заявок из очереди; реакция устройства на поступление заявки, когдаустройство занято или к нему имеется очередь заявок; реакция устройства навозникновение отказа в процессе обслуживания заявки и некоторые другие.Имитационное моделирование (ИМ) — это метод исследования, которыйоснован на том, что анализируемая динамическая система заменяетсяимитатором и с ним производятся эксперименты для получения об изучаемойсистеме. Роль имитатора зачастую выполняет программа ЭВМ.Основная идея метода ИМ состоит в следующем.

Пусть необходимоопределить функцию распределения случайной величины y. Допустим, чтоискомая величина y может быть представлена в виде зависимости:y=f( где  случайные величины с известными функциямираспределения.Для решения задач такого вида применяется следующий алгоритм:1) по каждой из величин  производится случайное испытание, врезультате каждого определяется некоторое конкретное значениеслучайной величины iii;2) используя найденные величины, определяется одно частное значениеyi по выше приведённой зависимости;3) предыдущие операции повторяются N раз, в результате чегоопределяется N значений случайной величины y;4) на основании N значений величины находится её эмпирическаяфункция распределения.Имитация функционирования системы.Предположим, исследуется вычислительная система (ВС), состоящая изпроцессора 1 с основной памятью, устройство вода перфокарт 4, АЦПУ 2 идисплея 3 (рис.

4.1.).67Рис. 4.1. Упрощённая схема моделируемой системы.Через устройство 4 поступает поток заданий Х1. Процессор обрабатываетзадания и результаты выдаёт на АЦПУ 2. Одновременно с этим ВСиспользуется, например, как информационно-справочная система. Операторпользователь, работающий за дисплеем, посылает в систему запросы Х2,которые обрабатываются процессором и ответы выводятся на экран дисплея.Процессор работает в 2-х программном режиме: в одном разделеобрабатываются задания Х1, в другом, с более высоким относительнымприоритетом запросы Х2. Представим данную ВС в упрощённом варианте ввиде стохастической сети из 4-х СМО.

Потоки заданий и запросы будемназывать потоками заявок. Считаем потоки Х1 и Х2 независимыми. Известныф.р. периодов следования заявок 1 и 2 и длительность обслуживания Т1К , T2Кзаявок в к-ом устройстве. Требуется определить времена загрузки каждогоустройства и времена реакции по каждому из потоков.Вначале определяется момент поступления в систему 1-ой заявки потокаХ1 по результатам случайного испытания в соответствии с ф.р. периодаследования заявок.Рис.

4.2. Временная диаграмма функционирования ВС.На рис. 2 это момент времени t1=0+11 (здесь и далее верхний индексобозначает порядковый номер заявки данного потока). То же самое делается68для потока Х2. На рис.2 момент поступления 1-ой заявки потока Х2 t2=0+21.Затем находится минимальное время, т.е. наиболее раннее событие. В примереэто время t1. Для 1-ой заявки потока Х1определяется время обслуживанияустройством ввода перфокарт Т114 методом случайного испытания иотмечается момент окончания обслуживания t4=t1+ Т114.

На рис. показанпереход устройства 4 в состояние "занято". Одновременно определяетсямомент поступления следующей заявки потока Х1: t12=t1+12. Следующееминимальное время это момент поступления заявки потока Х2 - t2. Для этойзаявки находится время обслуживания на дисплее Т123 и отслеживается времяокончания обслуживания t3=t2+ Т123 . Определяется момент поступлениявторой заявки потока Х2: t7=t2+22 .

Снова выбирается минимальное время —это t3. В этот момент заявка потока Х2 начинает обрабатываться процессором.По результату случайного испытания определяется время её обслуживанияT121 и отмечается момент t5=t3+ T121 окончания обслуживания. Следующееминимальное время t4 - момент завершения обслуживания заявки потока Х1устройством 4. С этого момента заявка может начать обрабатыватьсяпроцессором, но он занят обслуживанием потока Х2. Тогда заявка потока Х1переходит в состояние ожидания, становиться в очередь. В следующий моментвремени t5 освобождается процессор. С этого момента процессор начинаетобрабатывать заявку потока Х1, а заявка потока Х2 переходит наобслуживание дисплеем, т.е. ответ на запрос пользователя передаётся изосновной памяти в буферный накопитель дисплея.