Лекционный курс от Русакова, страница 11

Для их формализации используются случайные события, дискретные инепрерывные величины, векторы, процессы.Формирование реализациислучайных объектов любой природы сводится к генерации и преобразованиюпоследовательностей случайных чисел.В практике имитационного моделирования систем на ЭВМ ключевымфакторам является оптимизация алгоритмов работы со случайными числами.Таким образом, наличие эффективных методов, алгоритмов и программформирования, необходимых для моделирования конкретных системпоследовательностей случайных чисел, во многом определяет возможностипрактического использования машинной имитации для исследования ипроектирования систем.Моделирование случайных событий.Простейшими случайными объектами при статистическом моделированиисистем являются случайные события..1.

Пусть имеются случайные числа xi т. е. возможные значения случайнойвеличины , равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимореализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р.Определим А как событие, как сосотоящее в том, что выбранное значение xiслучайной величины  удовлетворяет неравенству(1)Тогда вероятность наступленияpсобытия А будет P ( A)  0 dx  pПротивоположное событие A состоит в том, что xi >p.

Тогда Р( A ) = 1—р.Процедура моделирования состоит в выборе значений xi и сравнении их ср. Если условие (1) выполняется, то исходом испытания является событие А.2. Пусть A1, А2, ..., А, — событий, наступающих с вероятностями p1, p2,..., р. Определим Аm как событие, состоящее в том, что выбранное значениеxi, случайной величины удовлетворяет неравенству|(2)Процедура моделирования испытаний в последовательном сравнениислучайных чисел xi со значениями l. Исходом испытания называется(2)событиеАm, если выполняется условие (2).

Эту процедуру называют определениемисхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p1, p2, ..., рПусть, независимые события А и В, поступающие с вероятностями pA и pB.Возможными исходами совместных испытаний будут события AB, AB, AB, ABс вероятностями p A pB , (1  pB ) p A , (1  p A ) pB , (1  pB )(1  p A )В моделировании испытаний можно использовать два варианта расчетов:1) последовательную проверку условия (2);AB, AB, AB, AB2) определение одного из исходовпо жребиюс соответствующими вероятностями.Для первого варианта необходима пара чисел xi, для выполнения условия(1). Во втором варианте необходимо одно число xi, но сравнений можетпотребоваться больше.ПустьсобытияАиВявляютсязависимыми.

События наступают с вероятностями pA и pB.Р(В/А)условнаявероятностьнаступлениясобытияВпричто событие А произошло. Считается, что условная вероятность Р(В/А)задана.Из последовательности случайных чисел { xi } извлекается число хт,удовлетворяющее хт<рл. Если этой неравенство справедливо, то наступилособытие А. Дальше из совокупности чисел {х,} берется очередное число хm+1и проверяется условие xm+1≤P(B/A). Возможный исход испытания являютсяАВ или А B .Если условие хт <рА не выполняется, то наступило событие А. Дляиспытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятностьВыберем из совокупности {х,} число хт+1, проверим справедливостьнеравенства xm+1≤P(B/A). В зависимости от того, выполняется оно или нет,получим исходы испытания А В или А В.Схема моделирующего алгоритма для зависимых событийАлгоритм включает следующие процедуры:ВИД [...]-процедура ввода исходных данных;ГЕН [...] — генератор равномерно распределенных случайных чисел;ХМ=хт;XMI=х m+1 ;PA=p A РВ=р B ;РВА = Р(В/А);PBNA = P(B/A);КА, KNA, КАВ, KANB, KNAB, KNANB — число событий A, A, AB, AB, AB, AB ;ВРМ [...] — процедура выдачи результатов моделирования.Моделирование Марковских цепейПусть простая однородная марковская цепь определяется матрицейпереходовгде PIJ — вероятность перехода из состояния zi, в состояние zj.Матрица переходов Р полностью описывает марковский процесс.

Так каксумма элементов каждой строки равна 1, то данная матрица являетсястохастической, т. е.kpj 1ij 1; i  1, kПусть pi(n), i  1, k - вероятность, что система будет находиться в состоянииzi после п переходов. По определениюk p ( n)  1 .i 1Пусть возможными исходами испытаний являются события At, A2, .., Ak. PIJ —это условная вероятность наступления события AJ в данном испытании приусловии, что исходом предыдущего испытания было событие AI.Моделирование такой цепи Маркова состоит в последовательном выборесобытий AJ по жребию с вероятностями рij. Последовательность действийследующая:1.выбирается начальное состояние z0, задаваемое начальнымивероятностями p1 (0), p2 (0),...., pk (0) . Из последовательности чисел {хi}выбирается число хт и сравнивается с (2).

рi - это значенияp1 (0), p2 (0),...., pk (0) . Выбирается номер т0, удовлетворяющийнеравенству (2). Начальным событием данной реализации цепи будетсобытие Аmo.2.выбирается следующее случайное число xm+1, которое сравнивается с l.В качестве pi используются pmoj . Определяется номер m1. Следующимсобытием данной реализации цепи будет событие Am1 и т.

д.Каждый номер mi, определяет не только очередное событие Ami но ираспределение вероятностей pmi1, pmi2, …. pmik для определения очередного номераmi+1. Для эргодических марковских цепей влияние начальных вероятностейбыстро уменьшается с ростом номера испытаний.Эргодический марковский процесс - это всякий марковский процесс, длякоторого предельное распределение вероятностей pi(n), i  1, k , не зависит отначальных условий pi(0).

Поэтому можно принимать, чтоМоделирование дискретных случайных величин.Дискретная случайная величина  принимает значения y1  y2  ....  y j свероятностями p1,p2,…,pj составляющими дифференциальное распределениевероятностей(3)Интегральная функция распределения(4)Для получения дискретных случайных величин используется методобратной функции. Если  случайная величина, распределенная на интервале(0,1), то случайнаявеличина  получается с помощьюпреобразования(5)где Fn1 — функция, обратная Fn.Алгоритм вычисления (3) и (4) сводится к выполнению следующихдействий:(6)При счете по (6) среднее число циклов сравнения    jp .j 1jМоделирование непрерывных случайных величинНепрерывная случайная величина  задана функцией распределениягде f ( y) — плотность вероятностей.Для получения непрерывных случайных величин используется методобратной функции.

Взаимно однозначная монотонная функция   F 1 ( )преобразует случайную величину , равномерно распределена на интервале(0,1) в случайную величину  с требуемой функцией плотности f ( y) . Чтобыполучить числа из последовательности {yi}, имеющие функцию плотностиf ( y ) , необходимо разрешить относительно yi уравнениеyif ( y)dy  xi (3)Пример 1. Получить случайные числа с показательным закономраспределения: f ( y )   e   y , y  0 f ( y )  0, y, 0В силу соотношения (3) получимгде xi — случайное число, имеющее равномерное распределение винтервале (0, 1).

Тогда1   - случайная величина, распределенная на интервале (0, 1), поэтому1можно записать yi   ln xiПриближенные способы преобразованияВ практике моделирования систем приближенные способыпреобразования случайных чисел классифицируются следующим образом:а) универсальные способы, с помощью которых можно получатьслучайные числа с законом распределения любого вида;б) неуниверсальные способы, пригодные для получения случайных чиселс конкретным законом распределения.Универсальный способУниверсальный способ получения случайных чисел, базируется накусочной аппроксимации функции плотности.Пусть требуется получить последовательность случайных чисел {уi} сфункцией плотности fn(y), возможные значения которой лежат в интервале (а, b).Представим fn(y) в виде кусочно-постоянной функции, т.

е. разобьем интервал(а, b) на m интервалов.Будем считать, что функция плотности на каждом интервале постоянна.Тогда случайную величину  можно представить в виде  ak   k *где ak— абсцисса левой границы k-ro интервала;61 k*— случайная величина, возможныерасполагаются равномерно внутри k-го интервала.значениякоторойНа участке (ak , ak 1 ) случайная величина  k распределена равномерно.Целесообразно разбить (а, b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания*случайной величины  k в любой интервал (ak , ak 1 ) была постоянной и независела от номера интервала .Для вычисления ak воспользуемся следующим соотношением:*(1)Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чиселсводится к выполнению следующих действий:1) генерируется случайное равномерно распределенное число xi изинтервала (0, 1);2) с помощью этого числа случайным образом выбирается интервал(ak , ak 1 ) ;3) генерируется число xi+1 и масштабируется с целью приведения его кинтервалу (ak , ak 1 ) , т.

е. домножается на коэффициент (ak 1  ak ) xi14) вычисляется случайное число yi  ak  (ak 1  ak ) xi1 с требуемымзаконом распределения.В п.2 целесообразно для этой цели построить таблицу (сформироватьмассив), в которую предварительно поместить номера интервалов k и значениякоэффициента масштабирования, которые получаются из соотношения (1) дляприведения числа к интервалу (а, Ь). Получив из генератора случайное число xi, с помощью таблицы сразу определяем абсциссу левой границы ak икоэффициент масштабирования (ak 1  ak ) .Достоинства способа: При реализации на ЭВМ требуется небольшое количество операций для получения каждого случайного числа, так как операциямасштабирования выполняется только один раз перед моделированием.Не универсальные способы преобразованияРассмотрим способы преобразования последовательности равномернораспределенных случайных чисел {xi} в последовательность с заданнымзаконом распределения {уj} на основе предельных теорем теории вероятностей.Такие способы ориентированы на получение последовательностей чисел сконкретным законом распределения, т.

е. не являются универсальными.Пусть требуется получить последовательность случайных чисел имеющихраспределение Пуассона.62p ( m)  m e m!Воспользуемся предельной теорией Пуассона.Если p- вероятность наступления события A в одном из испытаний, товероятность наступления m событий в N независимых испытаниях приN   , p  0, Np   ассимтотически равняется p(m). выберем достаточнобостаточно большое количество испытаний N, такое что p N 1.Будем проводить серии из N независимых испытаний, в каждом из которыхсобытие A наступает с вероятностью p.