Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ”ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТРАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ“МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗIV семестрУЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕДля студентов очного обученияфакультетов Электроники, ИТ, РТСМОСКВА 2012Составители: И.М.Аксененкова, В.П.Барашев, Т.Р.Игонина,Е.Ю.Кузнецова, О.А.Малыгина, Н.С.ЧекалкинРедакторГ.Г.Магарил-ИльяевКонтрольные задания содержат типовой расчет и методическиеуказания по теории функций комплексного переменного.

Выполнение заданий позволит учащимся лучше подготовиться к зачетами экзаменам МИРЭА. Типовой расчет выполняется студентами вписьменном виде и сдается преподавателю до начала зачетной сессии. Приведенные в пособии вопросы к экзамену (зачету) могутбыть уточнены и дополнены лектором.Печатаются по решению редакционно-издательского советауниверситета.Рецензенты: К.Ю.Осипенко,Д.Л.Кудрявцевc МИРЭА, 2012Контрольные задания напечатаны в авторской редакцииПодписано в печать 01.02.2012. Формат 60 x 84 1/16.Усл.

печ. л. 6,74. Усл.кр.-отт. 26,96. Уч.изд.л. 7,25.Тираж 100 экз. С 45Государственное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияМосковский государственный институт радиотехники,”электроники и автоматики (технический университет)“119454, Москва, пр.Вернадского, 783МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗIV семестрВВЕДЕНИЕОсновные темы по курсу математического анализа IV семестра(дневное отделение)КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А1. Комплексные числа, действия над ними. Примеры. Понятие функции комплексного переменного.

Основные элементарные функции.2. Предел, непрерывность и дифференцируемость функции комплексного пременного. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана. Понятие гармонической функции, ее связьс аналитичностью.3. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения, примеры. Определение интеграла функции комплексного переменного вдоль кусочно-гладкой кривой, свойства. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной области.

Интегральная формула Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.4. Степенной ряд, область его сходимости. Ряд Тейлора аналитической функции, основные разложения. Ряд Лорана аналитической функции. Примеры разложения в ряд Лорана.5. Изолированная особая точка (и.о.т.) комплексной функции.Классификация и.о.т. по главной части ряда Лорана и по пределу.

Нуль регулярной функции, его кратность. Связь полюсас нулем обратной функции.6. Вычет аналитической функции в особой точке. Основная теорема о вычетах. Определение вычета по ряду Лорана. Вычис-4ление вычета в устранимой особой точке, в простом и кратном полюсе, в существенно особой точке. Понятие о вычете вбесконечности.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А7. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов. Вычисление несобственных интегралов по прямой и полупрямой.Лемма Жордана. Логарифмический вычет, теорема о логарифмическом вычете. Принцип аргумента. Теорема Руше иее применение.8. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы онепрерывности, о дифференцируемости и об интегрированиипо параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

Равномерная сходимость. Теоремы о непрерывности,о дифференцируемости и об интегрировании по параметру.9. Гамма-функция вещественного аргумента, ее непрерывностьи дифференцируемость на положительные полуоси. Формулы приведения и дополнения для гамма-функции, их следствия. Распространение гамма-функции на отрицательнуюполуось. Бета-функция, ее выражение через гамма-функцию.Применение бета-функции для вычисления тригонометрических интегралов.10. Интегральные преобразования. Ядро преобразования. Прямое и обратное преобразование Фурье в комплексной форме.Свойства преобразования Фурье.

Прямое и обратное преобразование Фурье в действительной форме. ПреобразованиеФурье для четных и нечетных функций. Вычисление с помощью вычетов.11. Преобразование Лапласа. Определение оригинала и изображения. Свойства преобразования Лапласа. Вычисление оригинала с помощью вычетов. Оригинал дробно-рациональногоизображения. Связь преобразования Лапласа и Фурье.5КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2АДанный материал излагается студентам на лекциях и практических занятиях. От студента требуется успешное овладение материалом по указанным темам, т.е. необходимо знать определенияпонятий, формулировки и доказательства основных теорем курса.Студент также должен продемонстрировать умение решать задачи данного курса.В течение семестра по курсу математического анализа проводятся две контрольные работы и выполняется типовой расчет.Контрольная работа №1 проводится примерно на 6-й неделе обучения, контрольная работа №2 проводится примерно на 11-й неделе,а сдача типового расчета – в конце семестра.Контрольная работа №1Тема.

Функции комплексного переменного“.”Цель. Проверить умения работать с комплексными числами, устанавливать аналитичность функции, восстанавливать аналитическую функцию по ее действительной и мнимой части, решатьуравнения, строить конформные отображения.Содержание. В контрольную работу входят задачи, идентичныезадачам №1–7.Контрольная работа №2Тема. Изолированные особые точки. Вычеты“.”Цель. Проверить усвоение основных приемов разложения функции в ряды Тейлора и Лорана, исследования характера особыхточек, вычисления вычетов и интегралов по теореме о вычетах.Содержание.

В контрольную работу №2 входят задачи №8 – 11.Типовой расчетТема. Приложения вычетов. Гамма- и Бета- функции“.”Цель. Проверить умение применять вычеты для вычисления несобственных интегралов, для нахождения оригинала по его изображению, использовать теорему Руше при нахождении числа корней6уравнения в указанной области, вычислять интегралы с помощьюГамма- и Бетта- функции.Содержание. В типовой расчет входят задачи №12 – 15.

Преподаватель может включить в типовой расчет задачи №8 – 11.По итогам обучения проводится экзамен (зачет).Примерный вариант экзаменационного билетаКаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А1I часть1. Вычислить:p4√−1 − i 3.2. Решить уравнение: sin z = 2.3. Проверить, является ли функция f (z) = z · Re z аналитической.II часть1. Указать особые точки функцииcos z,f (z) = π 2z−(z − 4)2определить их тип и вычислить вычеты в этих точках.R 3 52. Вычислить:z e z dz.|z|=1III часть1. Вычислить:+∞R−∞2. Вычислить:R10dx.(x2 + 9)(x2 + 1)x dx√.1 − x473.

С помощью теоремы Руше найти число корней уравнения2z 5 − 8z 4 + z 3 + 2z 2 + z − 1 = 0в области 1 < |z| < 2.Теоретические вопросы к экзамену (зачету)1. Комплексные числа и действия над ними. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Корни n-ойстепени из комплексного числа.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А22.

Определение регулярной аналитической функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.3. Линейная функция комплексного переменного. Ее аналитичность. Отображение, которое она осуществляет.4. Степенная функция комплексного переменного.

Ее аналитичность. Область однолистности. Отображение, которое онаосуществляет.5. Показательная функция комплексного переменного. Ее аналитичность. Период. Область однородности. Отображение,которое она осуществляет.6. Тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного. Их аналитичность. Периоды.7. Логарифм комплексного переменного.

Аналитичность. Многозначность отображения, которое он осуществляет.8. Общая степенная функция комплексного переменного. Аналитичность. Многозначность отображения, которое она осуществляет.9. Гармонические функции. Их связь с аналитическими функциями комплексного переменного.810. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.

Понятие конформного отображения.11. Определение интеграла от функции комплексного переменного, его связь с криволинейными интегралами. Основныесвойства.12. Интеграл от аналитической функции, его независимость отпути интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А13.

Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.14. Интегральная формула Коши для аналитической функции.15. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.Интегральная формула Коши для производных аналитической функции.16. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Областьсходимости. Формулы для коэффициентов.17. Разложение функции, аналитической в кольце, в ряд Лорана.Формулы для коэффициентов.18.

Изолированные особые точки аналитической функции и ихклассификация. Примеры.19. Устранимая особая точка. Ряд Лорана и поведение функциив окрестности этой точки.20. Полюс n-го порядка. Ряд Лорана и поведение функции вокрестности этой точки.21. Существенно особая точка. Ряд Лорана и поведение функциив окрестности этой точки.22. Нули аналитической функции.

Порядок нуля. Связь междунулем и полюсом.923. Вычет аналитической функции в точке. Его связь с рядомЛорана. Основная теорема о вычетах.24. Формулы для вычисления вычетов в простом и кратном полюсе.25. Стереографическая проекция. Бесконечно удаленная точка.Ряд Лорана в окрестности бесконечности. Классификацияособенностей в бесконечности.КаМ фГТ едрУ аМ ВМИРЭ -2А26. Вычет в бесконечно удаленной точке.

Его связь с рядом Лорана. Вторая теорема о вычетах.27. Приложение теории вычетов к вычислению интегралов по вещественной прямой от рациональных функций.28. Лемма Жордана. Вычисление несобственных интегралов ви+∞R iαxдаe f (x) dx.−∞29. Логарифмический вычет. Связь числа нулей и полюсов функции внутри замкнутого контура с интегралом по этому контуру.30.