8. Функции нескольких переменных как отображения. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 4

Рассмотрим функцию двух переменных( xy, x2 + y 2 6= 0;2 + y2xf (x, y) =0,x = y = 0,(8.3)и исследуем ее на существование предела в точке a = (0, 0) в зависимости от множества A.Пусть множество A есть прямая y = kx. Воспользуемся тем, что в точках этой прямойфункцию f можно рассматривать как функцию одного действительного переменного g(x) ≡≡ f (x, kx), которая при x 6= 0 принимает постоянное значение:kx2kg(x) = f (x, kx) = 2=.x + k 2 x21 + k2Прямую x = 0 (ось ординат) нельзя описать уравнением с угловым коэффициентом. Этотслучай необходимо рассмотреть отдельно. Так как f (0, y) ≡ 0, приходим к выводу, что помножеству x = 0 также существует предел, равный нулю.

#Теорема 8.3. Пусть a — предельная точка множеств A, B ⊂ Rn и A ⊂ B. Если существуетпредел функции f в точке a по множеству B, равный b, то существует и предел этой функциив точке a по множеству A, который также равен b.ÔÍ-12Связь между пределами по различным множествам и, в частности, между пределом и пределом по множеству аналогична тому, как для действительных функций действительного переменного связаны понятия предела функции в точке и одностороннего предела функции вточке. Например, правосторонний предел функции в точке a ∈ R можно рассматривать какпредел этой функции по множеству {x ∈ R: x > a}.ÌÃÒÓПоэтому при (x, y) → (0, 0) по множеству A существует предел, равный этому постоянномузначению:k.limf (x, y) =(x, y)→(0, 0)1 + k2AÔÍ-12ÌÃÒÓслучае мы будем говорить просто о пределе функции в точке a и обозначать его, опускаяупоминание множества A:b = lim f (x).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8.

ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯJ Пусть существует предел функции f при x→a, равный b. Это значит, что для произвольногоBСледствие 8.1 удобно использовать для доказательства того, что функция не имеет пределав заданной точке. Идея его использования сводится к следующему. Подбирают два множестваÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12J Доказательство следует из теоремы 8.3 при B = Rn .

IÔÍ-12Следствие 8.1. Если функция f : Rn → R определена в некоторой проколотой δ0 -окрестно◦сти U(a, δ0 ) точки a и существует ее предел в этой точке, равный b, то для любого множестваA ⊂ Rn , для которого точка a предельная, существует предел функции f при x→a, равный b.AÌÃÒÓÌÃÒÓ◦числа ε > 0 существует такая проколотая δ-окрестность U(a, δ) точки a, что f (x) ∈ U(b, ε)◦◦◦при x ∈ B ∩ U(a, δ).

Так как A ⊂ B, то и (A ∩ U(a, δ)) ⊂ (B ∩ U(a, δ)). Значит, соотношение◦f (x) ∈ U(b, ε) верно для любой точки x ∈ A ∩ U(a, δ). Тем самым мы показали, что, каковобы ни было число ε > 0, можно указать такое число δ > 0, для которого f (x) ∈ U(b, ε) при◦x ∈ A ∩ U(a, δ). Это, согласно определению 8.9, и означает, что функция f имеет предел b вточке a по множеству A. IÌÃÒÓÌÃÒÓПример 8.12. Функция f (x, y) из примера 8.11 не имеет предела в точке (0, 0), так как этафункция имеет разные пределы по множествам Ak = {(x, y) ∈ R2 : y = kx}. #Функцию нескольких переменных f : A ⊂ Rn → R называют бесконечно малой при x→aA(a — предельная точка множества A), если lim f (x) = 0.x→aAДля функций нескольких переменных остается в силе теорема о связи функции, еепредела и бесконечно малой.Теорема 8.4.

Для того чтобы существовал предел функции f : A ⊂ Rn → R при x→a,Aравный b, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела представление f (x) = b + α(x),где α: A → Rm — бесконечно малая при x→a.AJ Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что существует предел lim f (x) = b. Обозначим α(x) =x→aAx→aAсоответствиии с определением 8.9, для выбранного числа ε можно указать такое число δ > 0,◦что при x ∈ A ∩ U(a, δ) верно неравенство |α(x) − 0| < ε, или |f (x) − b| < ε. Следовательно,существует предел lim f (x) = b. IÌÃÒÓ= f (x) − b и выберем произвольное число ε > 0.

Согласно определению 8.9, для выбранного◦ε существует такое число δ > 0, что при x ∈ A ∩ U(a, δ) верно включение f (x) ∈ U(b, ε), чторавносильно неравенству |f (x) − b| < ε, или |α(x)| < ε. Но это означает, что существует пределlim α(x) = 0. Следовательно, функция нескольких переменных α(x) является бесконечно малойx→aAпри x→a.AД о с т а т о ч н о с т ь.

Пусть f (x) = b + α(x), x ∈ A, и функция α(x) является бесконечномалой при x→a, т.е. существует предел lim α(x) = 0. Выберем произвольное число ε > 0. ВAÔÍ-12ÔÍ-12A1 и A2 так, чтобы пределы функции в точке a по этим множествам были различны. Тогдана основании следствия можно утверждать, что функция не имеет предела в точке a. Действительно, если функция f имеет предел в точке a, равный b, то тот же предел она имеет в точкеa и по каждому из множеств A1 и A2 , а это противоречит условию.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ13ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8.

ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯПонятие бесконечного предела, активно используемое для функций одного переменного,можно перенести на функции нескольких переменных.Определение 8.10. Пусть задана функция нескольких переменных f : A ⊂ Rn → R и a —предельная точка множества A. Если для любого числа M > 0 существует такое число δ > 0,◦что при x ∈ A ∩ U(a, δ) выполняется неравенство f (x) > M (f (x) < −M или |f (x)| > M ), тоговорят, что функция f (x) стремится к +∞ (соответственно −∞ или ∞) при x→a, и пишутAx→aAlim f (x) = ∞ .x→aAВо всех трех случаях функцию f (x) называют бесконечно большой при x→a.AПример 8.13.

Функция f (x, y) =Функция g(x, y) =x21является бесконечно большой при (x, y) → (0, 0).x2 + y 2x(0, 0), если A — сектор, заключенныйстремится к +∞ при (x, y)→A+ y2между прямыми y = x и y = −x и расположенный в правой полуплоскости x > 0. В самом деле,в этом секторе |y| < |x| и поэтомуx2xx1> 2 =.2+y2x2xФункция g(x, y) стремится к −∞ при (x, y)→(0, 0), если A — сектор, заключенный междуAпрямыми y = x и y = −x и расположенный в левой полуплоскости x < 0, поскольку в этомÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12x→aAlim f (x) = −∞ илиÌÃÒÓÌÃÒÓlim f (x) = +∞ÔÍ-12ÔÍ-12x→aAÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Введем еще одно понятие. Функция нескольких переменных f : A ⊂ Rn → R ограничена на множестве A, если множество f (A) = {y ∈ R: y = f (x), x ∈ A} ограничено. Этафункция ограничена при x→a (локально ограничена в точке a), если существует таA◦◦кая проколотая окрестность U(a, δ) точки a, что функция ограничена на множестве A ∩ U(a, δ).Определение предела функции нескольких переменных и по форме, и по содержанию аналогично определению предела действительной функции действительного переменного.

Поэтомупределы, бесконечно малые и бесконечно большие функции имеют те же свойства, что и в случаефункций одного переменного (т.е. при n = 1). Соответствующие формулировки и доказательства переносятся на функции нескольких переменных «почти без изменений». Последние словазаключены в кавычки, так как в этих доказательствах, не изменяющихся по форме, изменяетсясмысл обозначения |a|: для числа a — это абсолютная величина, а для точки a ∈ Rn — этоевклидова норма элемента a в евклидовом арифметическом пространстве Rn (см.

8.1). По этойпричине следующую теорему, устанавливающую связь между бесконечно малыми и бесконечнобольшими функциями нескольких переменных, а также свойства пределов функций несколькихпеременных далее приводим без доказательства.Теорема 8.5. Если функция f : Rn → R бесконечно большая при x→a, то функция 1/f (x)Anбесконечно малая при x→a. Если функция α: R → R бесконечно малая при x→a и отлична отAAнуля в некоторой проколотой окрестности точки a, то функция 1/α(x) бесконечно большая приx→a.

#Alim f (x) = b,x→aAlim g(x) = d,x→aAто существуют и пределыx→aAlim λf (x) = λb,x→aAλ ∈ R.ÌÃÒÓlim f (x) + g(x) = b + d,4◦ . Если у функций f, g: A ⊂ Rn → R существуют пределыlim f (x) = b,x→aAÔÍ-12Сформулируем основные свойства предела функции нескольких переменных.1◦ . Если функция f : Rn → R имеет предел в точке a ∈ Rn по множеству A, то этот пределединственный.2◦ .

Если функция f : Rn → R имеет (конечный) предел в точке a по множеству A, то онаограничена при x→a.A◦3 . Если у функций f, g: A ⊂ Rn → R существуют пределыÌÃÒÓÌÃÒÓЕсли A = {(x, y): x = 0, y ∈ R} — ось ординат, то g(x, y) ≡ 0 на A и функция g(x, y) являетсябесконечно малой при (x, y)→(0, 0). #AÔÍ-12ÔÍ-12xx1.<=x2 + y 22x22xÌÃÒÓÌÃÒÓсекторе x < 0, |y| < |x| иÌÃÒÓ14ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯlim g(x) = d,x→aAlim f (x) g(x) = bd,x→aAbf (x)=x→a g(x)dAlim(d 6= 0).5◦ .

Если функция f : A ⊂ Rn → R имеет предел при x→a, равный b, и b > 0 (b < 0), тоA◦◦существует такая проколотая окрестность U(a, δ) точки a, что в точках множества A ∩ U(a, δ)функция f положительна (отрицательна).ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12то существуют и пределыÌÃÒÓlim f (x) = b,x→aAlim g(x) = d,(8.4)x→aA◦причем b < d, то существует такая проколотая окрестность U(a, δ) точки a, что при x ∈ A ∩◦∩ U(a, δ) выполнено неравенство f (x) < g(x).7◦ .

Если у функций f, g: A ⊂ Rn → R существуют пределы (8.4), причем существует такая◦◦проколотая окрестность U(a, δ) точки a, что при x ∈ A ∩ U(a, δ) выполнено неравенство f (x) 66 g(x), то b 6 d.8◦ . Если функции f, g, h: A ⊂ Rn → R в некоторой проколотой окрестности точки a удовлетворяют неравенствам f (x) 6 h(x) 6 g(x), x ∈ A, и существуют пределыlim f (x) = lim g(x) = b,ÌÃÒÓÌÃÒÓ6◦ . Если у функций f, g: A ⊂ Rn → R существуют пределыx→aAx→aAто существует и предел lim h(x) = b.x→aA9◦ .

Произведение функции, бесконечно малой при x→a, на функцию, ограниченную приAx→a, есть функция, бесконечно малая при x→a.AAСвойства предела позволяют вычислять пределы функций нескольких переменных, если онисуществуют. Методы вычисления пределов повторяют те методы, которые использовались вслучае функций одного действительного переменного.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ15ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8.

ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯsin(x3 + y 3 ).(x, y)→(0, 0)x2 + y 2limПредставим функцию f (x, y) под знаком предела как произведение двух функцийx3 + y 3sin(x3 + y 3 )=g(x,y),x2 + y 2x2 + y 2Покажем, что функция g(x, y) имеет предел в точке (0, 0), равный единице. Во-первых,она имеет предел 1 по множеству A1 = {(x, y): x + y = 0}, поскольку на этом множествепринимает постоянное значение 1.

Во-вторых, она имеет тот же предел и по множеству A2 == {(x, y): x + y 6= 0}. Действительно,согласно первому замечательному пределу, для любого sin τ− 1 < ε при 0 < τ < δ. Полагая τ = x3 + y 3 , можемε > 0 можно указать такое δ > 0, что τ◦◦выбрать такую окрестность U(O, δ1 ) точки O = (0, 0), что при (x, y) ∈ A2 ∩ U(O, δ1 ) будем◦иметь 0 < |τ | = |x3 + y 3 | < δ. Но тогда |g(x, y) − 1| < ε при (x, y) ∈ A2 ∩ U(O, δ1 ). Это означает,что функция g(x, y) имеет предел в точке O по множеству A2 , равный 1.