8. Функции нескольких переменных как отображения. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 2

#ÔÍ-12ÔÍ-12aÌÃÒÓКак следует из примера 8.1, ε-окрестность точки является ее окрестностью. Таким образом,понятие окрестности, введенное определением 8.3, обобщает понятие ε-окрестности. С этойточки зрения ε-окрестность есть окрестность стандартного (или канонического) вида. Определение 8.3 фактически означает, что открытое множество является окрестностью каждой своейточки.ÌÃÒÓрадиуса ε с центром в точке (a1 , a2 , a3 ) является сфера(x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 = ε2 .В пространстве границей замкнутого шара(x1 , x2 , x3 ): (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 + (x3 − a3 )2 6 ε2ÔÍ-12(x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 + (x3 − a3 )2 = ε2 .В Rn границей замкнутого n-мерного шара{x ∈ Rn : ρ(x, a) 6 ε}является множество{x ∈ Rn : ρ(x, a) = ε} ,т.е.

(n−1)-мерная сфера.Определение 8.5. Множество A ⊂ Rn называют ограниченным множеством, еслисуществует такое положительное число r, что r-окрестность точки 0 = (0, . . . , 0) содержитмножество A.Определение 8.6. Множество, которое содержит все свои граничные точки (свою границу),называют замкнутым множеством. Замкнутое ограниченное множество в Rn называюткомпактным множеством, или компактом.ÔÍ-12Поскольку r-окрестность точки 0 ∈ Rn описывается неравенством ρ(x, 0) = |x| < r, условиеограниченности множества A равносильно выполнению неравенства |x| < r, которое при некотором r > 0 верно для всех x ∈ A.

Отметим, что это неравенство можно заменить нестрогимнеравенством |x| 6 r, так как из этого нестрогого неравенства следует, что |x| < 2r = r0 .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Пример 8.3. На числовой оси R полуинтервал A = [x1 , x2 ) ∈ R имеет границу ∂A из двухточек x1 и x2 . Заметим, что точка x1 принадлежит A, а точка x2 — нет. На плоскости границейзамкнутого круга(x1 , x2 ): (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 6 ε2ÔÍ-12Определение 8.4.

Точку a ∈ Rn называют граничной точкой множества A ⊂ Rn , еслилюбая ε-окрестность точки a содержит как точки, принадлежащие множеству A, так и точки,не принадлежащие этому множеству. Множество всех граничных точек множества A называютего границей и обозначают ∂A (или Fr A).ÌÃÒÓÌÃÒÓОпределение 8.3. Окрестностью точки a ∈ Rn называют любое открытое множествоU в Rn , включающее в себя эту точку.

При этом множество U \ {a} (т.е. окрестность точки, изкоторой удалена сама точка) называют проколотой окрестностью точки a.ÌÃÒÓÔÍ-12принадлежит множеству V , то по определению операции объединения множеств точка a принадлежит множеству Vi хотя бы для одного значения индекса i = k. Так как Vk — открытоемножество, то существует ε-окрестность U(a, ε) точки a, содержащаяся в Vk . Следовательно,эта окрестность содержится и в V . Но это значит, что a — внутренняя точка V , а так как онаможет быть выбрана в V произвольно, множество V открытое.

Iрадиуса ε с центром в точке a = (a1 , a2 ) является окружностьÔÍ-12ÌÃÒÓ6ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Замечание 8.2. Пустое множество считают по определению замкнутым. Таким образом,пустое множество одновременно и открыто, и замкнуто. #Точку b ∈ Rn называют внешней точкой множества A ⊂⊂ Rn , если существует такая ε-окрестность этой точки, которая неAпересекается с множеством A (рис. 8.4). Множество всех внешнихточек множества A называют внешностью множества A.bЕсли точка b ∈ Rn не принадлежит множеству A ⊂ Rn , то существуют две возможности: а) любая ε-окрестность точки b содержитРис.

8.4точки множества A и, следовательно, точка b является граничнойточкой множества A; б) некоторая ε-окрестность точки b не пересекается с A и, следовательно, точка b является внешней точкой множества A.Любое отображение ϕ: T → Rn промежутка T числовой оси R в Rn можно записать в видетϕ(t) = (ϕ1 (t) ϕ2 (t) . . . ϕn (t)) ,Пример 8.4. Отображение ϕ: (−∞, +∞) → R3 видаy = ϕ2 (t) = sin t,z = ϕ3 (t) = tÔÍ-12x = ϕ1 (t) = cos t,ÌÃÒÓгде ϕi (t), i = 1, n, — функции одного действительного переменного t, определенные на промежутке T . Если все эти функции непрерывны на T , то отображение ϕ будем называть путемв Rn , а образ ϕ(T ) этого отображения — непрерывной кривой в Rn .

Если T = [a, b] —отрезок, то точку ϕ(a) будем называть началом пути ϕ, а точку ϕ(b) — концом пути ϕ.В трехмерном случае (n = 3) отображение ϕ(t) можно интерпретировать как закон движенияматериальной точки, если аргумент t рассматривать в качестве времени. Это объясняет термин«путь», данный отображению ϕ.ÔÍ-12ÌÃÒÓЗамкнутый круг и окружность на плоскости, замкнутый шар и сфера в пространстве являются замкнутыми и даже компактными множествами. Множество A, изображенное на рис. 8.2,не является ни открытым, ни замкнутым, так как его граница, обозначенная сплошной и штриховой линиями, содержится в A лишь частично.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ7ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8.

ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯзадает непрерывную кривую в R3 , представляющую собой винтовую линию (рис. 8.5).zyxРис. 8.5Определение 8.7. Множество A ⊆ Rn , любые две точки которого можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве, называют линейно связным. Открытоелинейно связное множество называют областью.◦– проколотая ε-окрестность U(a, ε) точки a ∈ Rn ;ÌÃÒÓСледующие множества являются областями:– любая ε-окрестность U(a, ε) точки a ∈ Rn ;ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓOÌÃÒÓ– (открытое) кольцо в R2 с центром в точке (a1 , a2 ) и радиусами r и R, которое можноописать неравенствамиr2 < (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 < R2 ,– множествоlim (ak ± bk ) = lim ak ± lim bk ,k→∞k→∞k→∞lim (αak ) = α lim ak ,k→∞k→∞8.2. Функции нескольких переменныхÌÃÒÓÔÍ-12Отображение, которое упорядоченному набору из n чисел ставит в соответствие число, т.е.отображение вида f : A → R, где A ⊂ Rn , n > 1, называют функцией нескольких переменных.Данное определение согласуется с определением функции действительного переменного,которое соответствует общему определению функции нескольких переменных в случае n = 1.Таким образом, понятие функции нескольких переменных можно рассматривать как обобщениепонятия функции действительного переменного.Упрощая изложение, в дальнейшем функции нескольких переменных часто будем называтьпросто функциями.

Будем также использовать и упрощенные обозначения таких функций.Вместо f : A → R, A ⊂ Rn , будем писать так: f : A ⊂ Rn → R. В тех же случаях, когда существенным является не множество A, а лишь размерность линейного арифметического пространства, будем записывать функцию нескольких переменных следующим образом: f : Rn → R. Этазапись может иметь и другой смысл, обозначая функцию, для которой A = Rn , но этот случайбудет оговариваться особо.ÔÍ-12причем существование пределов в равенствах слева вытекает из существования пределовсправа.Для последовательностей в Rn верен критерий Коши. Согласно этому критерию, последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной последовательностью.

В данном случае последовательность {ak } в Rn называют фундаментальной,если для любого числа ε > 0 можно указать такой номер N ∈ N, что для любых k > N и m > Nвыполняется неравенство |ak − am | < ε. Нетрудно увидеть, что данное определение дословноповторяет определение фундаментальной числовой последовательности.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓгде (a1 , a2 ) ∈ R2 , 0 < r < R.Рассмотрим последовательность {ak } элементов множества Rn (или просто последовательность в Rn ).

Пусть существует такая точка a ∈ Rn , что для любой ее ε-окрестности U(a, ε) можно указать такой номер N ∈ N, что для любого k > N верно соотношениеak ∈ U(a, ε). Тогда {ak } называют сходящейся последовательностью в Rn , а точку a —пределом последовательности {ak } в Rn . Если указанной точки a не существует, топоследовательность {ak } называют расходящейся последовательностью в Rn .Для предела последовательности в Rn сохраняются основные свойства числовых последовательностей, которые можно рассматривать как частный случай последовательностей в Rn приn = 1. Например, можно показать (по-существу, повторив доказательство для одномерного случая) единственность предела последовательности в Rn . Так как Rn есть линейное пространство,элементы последовательностей в Rn , а значит, и сами последовательности, можно складывать,вычитать и умножать на действительные числа.

Как и в одномерном случае, для сходящихсяпоследовательностей {ak } и {bk } можно утверждать, чтоÌÃÒÓÔÍ-12(x1 , x2 ) ∈ R2 : r < |x1 − a1 | + |x2 − a2 | < R ,ÔÍ-12ÌÃÒÓ(x1 , x2 ) ∈ R2 ;ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ8ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓНа множестве F (A, R) всех функций вида f : A ⊂ Rn → R можно ввести операции сложенияфункций и умножения функций на действительные числа. Суммой функций несколькихпеременных f, g ∈ F (A, R) называют такую функцию f + g ∈ F (A, R), что для любого x ∈ Aверно равенство (f + g)(x) = f (x) + g(x).Аналогично произведением функции нескольких переменных f ∈ F (A, R) на действительное число λ называют такую функцию (λf ) ∈ F (A, R), что для любого x ∈ Aверно равенство (λf )(x) = λf (x).f (x, y) = 2f1 (x, y) + f2 (x, y) = 2x + 4y + y 2 + 3x2 .

#Также определяются операции умножения и деления функций. Произведением функцийнескольких переменных f, g ∈ F (A, R), A ⊂ Rn , называют функцию f g, значение которойв точке x ∈ A вычисляется по формуле (f g)(x) = f (x)g(x). Аналогично частным функцийнескольких переменных f, g ∈ F (A, R) называют функцию f /g, для которой выполненоравенство (f /g)(x) = f (x)/g(x), x ∈ A. Областью определения произведения f g является множество A, а областью определения частного f /g — множество A за вычетом всех точек x, вкоторых g(x) = 0, т.е.