8. Функции нескольких переменных как отображения. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 3

D(f /g) = A \ {x ∈ A: g(x) = 0}.Пример 8.7. Функция√есть частное двух функций f1 (x, y) = ln(xy+y)+y 2 и f2 (x, y) = x. Отметим, что область определения частного двух функций есть пересечение областей определения делимого и делителя,из которого удалены точки, в которых делитель обращается в нуль. В данном случае областьопределения функции f1 описывается неравенством xy + y > 0, область определения функцииf2 — неравенством x > 0, пересечение областей есть множество {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}, аобласть определения частного — множество {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}.Определение 8.8.

Графиком функции нескольких переменных f : Rn → R называютподмножество Γ(f ) в Rn+1 , которое задается следующим образом:Γ(f ) = (x, y) ∈ Rn+1 : x ∈ D(f ), y = f (x) .Здесь x = (x1 , x2 , . . . , xn ), а (x, y) — сокращенное обозначение арифметического вектора(x1 , x2 , . . .

, xn , y).ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ln(xy + y) + y 2√xÌÃÒÓÌÃÒÓf (x, y) =ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 8.6. Пусть заданы функции двух переменных f1 (x, y) = x + 2y и f2 (x, y) = y 2 + 3x2 .Умножая первую функцию на число 2 и складывая результат со второй функцией, получимлинейную комбинацию f = 2f1 + f2 двух функций:ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Пример 8.5.

Пусть в пространстве расположено некоторое тело. Плотность ρ этого телазависит, вообще говоря, от положения точки. Выберем в пространстве прямоугольную системукоординат Oxyz. Тогда плотность тела можно рассматривать как функцию трех переменныхx, y и z, а именно ρ = ρ(x, y, z), где (x, y, z) — точка рассматриваемого тела. Обозначивмножество точек, принадлежащих телу, через V , можем записать ρ: V ⊂ R3 → R. Аналогично температура T этого же тела есть функция точки (x, y, z), или функция T (x, y, z) трехпеременных, которую мы можем записать в виде T : V ⊂ R3 → R. #ÔÍ-12Множество D(f ) = A точек из Rn , в которых определена функция f : A ⊂ Rn → R, называют областью определения (существования) функции f , а множество R(f ) == {y ∈ R: y = f (x), x ∈ D(f )} — областью значений (изменения) функции f .

Подчеркнем, что термины «область определения» и «область значений» никак не связаны с термином«область». Область определения функции и область ее значений могут и не быть областями всмысле определения 8.7.ÌÃÒÓÌÃÒÓ9ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПример 8.9. Опишем все линии уровня функции двух переменных f (x, y) = x2 +y 2 . Уравнение линии уровня x2 + y 2 = c при c < 0 задает пустое множество,zпоскольку это равенство, рассматриваемое как уравнение относительно переменных x и y, не имеет решений.

Геометрически этоозначает, что при c < 0 плоскость z = c не пересекается с графиком функции f . В случае с = 0 имеем равенство x2 + y 2 = 0,которому удовлетворяют координаты единственной точки (0, 0).Следовательно, при с = 0 линия уровня, являющаяся пересечением плоскости z = 0 с параболоидом вращения z = x2 +y 2 , содержитrединственную точку (0, 0). Если c > 0, то линия уровня описываOyется уравнением x2 +y 2 = c = r2 и представляет собой окружностьxрадиуса r с центром в начале координат.

Эта окружность естьРис. 8.7проекция на координатную плоскость xOy пересечения плоскостиz = r2 с параболоидом вращения z = x2 + y 2 (рис. 8.7). #ÔÍ-12Связь между графиком функции нескольких переменных и ее поверхностями уровня наиболее наглядно просматривается в случае функции двух переменных z = f (x, y): линия уровняf (x, y) = c совпадает с проекцией на координатную плоскость xOy сечения графика этой функции, т.е. поверхности z = f (x, y), плоскостью z = c. Именно на этом основан метод сечений,применяемый при исследовании вида поверхности в пространстве по ее уравнению.ÌÃÒÓПример 8.8. Для функции трех переменных f (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 уравнения поверхностейуровня имеют вид x2 +y 2 +z 2 = c. Легко увидеть, что они могут быть или пустыми множествами√(с < 0), или точкой (точка (0, 0, 0) при с = 0), или сферой радиуса c с центром в началесистемы координат (c > 0).

#ÔÍ-12Это определение согласуется с определением графика произвольноzго отображения f : X → Y как множества упорядоченных пар (x, y)элементов x ∈ X и y ∈ Y , связанных соотношением y = f (x). В случае n = 1 определение 8.8 приводит к понятию графика действительнойфункции действительного переменного, имеющего наглядное геометрическое представление в виде некоторой кривой на плоскости. Столь женаглядно можно представить график функции при n = 2. Например,графиком функции f (x, y) = x2 + y 2 является поверхность, которая опиyсывается уравнением z = x2 + y 2 .

Указанная поверхность представляетxсобой параболоид вращения (рис. 8.6).OРис. 8.6Для графического представления функций нескольких переменных вслучае небольших размерностей области определения и области значений могут использоваться и другие приемы. Рассмотрим некоторые из них.Пусть задана функция нескольких переменных f : Rn → R. Множество {x ∈ Rn : f (x) = c},где c ∈ R фиксированное, называют поверхностью уровня, соответствующей значению c.Поверхность уровня функции нескольких переменных f — это множество всех точек изобласти определения функции, в которых она принимает данное значение c, т.е. прообраз f −1 (c)элемента c ∈ Rm при отображении f .Слово «поверхность» здесь лучше было бы заменить словом «множество».

Во-первых, прообраз элемента при произвольном отображении может и не быть поверхностью в обычном еепонимании. Во-вторых, в случае n = 2 это множество представляет собой множество решенийуравнения с двумя неизвестными и его, скорее, следовало бы назвать кривой, а не поверхностью.Отдавая дань традиции, мы будем называть множество f −1 (c) линией уровня при n = 2 иповерхностью уровня во всех остальных случаях.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ10ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓОпределение 8.9. Пусть заданы функция нескольких переменных f : Rn → R, множествоA ⊂ D(f ), включенное в область определения D(f ) функции f , и предельная точка a множестваA.

Точку b ∈ R называют пределом функции f в точке a по множеству A, если для◦любой ε-окрестности U(b, ε) точки b существует такая проколотая δ-окрестность U(a, δ) точки◦a, что f (x) ∈ U(b, ε) при x ∈ U(a, δ) ∩ A, т.е.◦◦∀ U(b, ε) ⊂ Rm ∃ U(a, δ) ⊂ Rn ∀x ∈ U(a, δ) ∩ A : f (x) ∈ U(b, ε).(8.2)В этом случае записывают b = lim f (x), или f (x) → b при x→a (запись x→a читают так: «xAAx→aAстремится к a по множеству A»).◦ÔÍ-12Поэтому соотношение f (x) ∈ U(b, ε) будет выполнено для любой точки x ∈ A ∩ U(a, δ 0 ).Множество A в определении 8.9 играет роль ограничителя: учитываются значения функциитолько в точках этого множества.

Если a является внутренней точкой множества A, или покрайней мере множества A ∪ {a}, то A перестает играть ограничивающую роль. В этом случаеможно выбрать проколотую δ0 -окрестность точки a, целиком попадающую в A. Выбирая в◦◦определении 8.9 число δ 6 δ0 , будем иметь A ∩ U(a, δ) = U(a, δ).Таким образом, если некоторая проколотая окрестность точки a содержится в множествеA (в частности, если точка a внутренняя для A), мы можем считать, что A = Rn . В этомÌÃÒÓЕсли зафиксировать некоторую δ0 -окрестность точки a, то точки множества A, не попавшиев эту окрестность, не будут влиять на существование предела в точке a и его значение, так какв этом случае мы можем считать, что число δ в определении 8.9 не превышает δ0 .

Действи◦тельно, если для заданного ε > 0 выбрано некоторое δ так, что при x ∈ A ∩ U(a, δ) выполняется◦◦соотношение f (x) ∈ U(b, ε), то, положив δ 0 = min{δ, δ0 }, заключаем, что U(a, δ 0 ) ⊂ U(a, δ) и,следовательно,◦◦(A ∩ U(a, δ 0 )) ⊂ (A ∩ U(a, δ)).ÔÍ-12Замечание 8.3. Условие, что точка a ∈ Rn , в которой рассматривается предел функции помножеству A ⊂ Rn , является предельной точкой A, существенно.

Действительно, если точка aне является предельной точкой A, то в достаточно малой проколотой окрестности этой точки нетточек множества A и условие определения 8.9, хотя формально и остается корректным, теряетсодержательный смысл. В дальнейшем, говоря о пределе функции f в точке a по множеству A,будем всегда предполагать, что точка a является предельной для A.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПример 8.10. а. Все внутренние точки любого множестваA ⊂ Rn являются предельными точками этого множества.б. Множество на плоскости, заданное соотношениями x2 − y 2 = 1,x > −1, имеет изолированную точку (−1, 0).

Все остальные точкиэтого множества, лежащие на правой ветви гиперболы, являются егопредельными точками (рис. 8.8).ÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 8.8xÌÃÒÓÌÃÒÓ1 0 1ÌÃÒÓÔÍ-12Точку a ∈ Rn называют предельной точкой множества A ⊂ Rn , если в любой еепроколотой окрестности есть точки из множества A. Предельная точка множества можетлибо принадлежать этому множеству, либо не принадлежать ему.

Отметим, что если точка aявляется предельной для множества A, то в любой окрестности U(a, ε) этой точки содержитсябесконечно много точек множества A.Точку a называют изолированной точкой множества A,yесли a ∈ A и существует такая ее проколотая окрестность, котораяне содержит точек из множества A. Отметим, что любая точка a ∈ Aявляется либо предельной точкой A, либо изолированной точкой A.ÔÍ-12ÌÃÒÓ8.3. Предел функции нескольких переменныхÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ11ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12x→aПри этом определение предела упрощается: точка b есть предел функции в точке a, если для◦любой ε-окрестности U(b, ε) точки b существует такая проколотая δ-окрестность U(a, δ) точки◦a, что из условия x ∈ U(a, δ) следует f (x) ∈ U(b, ε).Пример 8.11.