8. Функции нескольких переменных как отображения. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 6

при 1 − xy 6= 0. Множество точек в R2 , котороеописывается уравнением 1 − xy = 0, является линией разрыва этой функции. В точках этойлинии, являющейся равнобочной гиперболой, функция не определена.б. Функция f (x, y) = sgn(xy) определена всюду в R2 , причем принимает всего лишь тризначения: значение 1 в точках первого и третьего квадрантов плоскости, значение 0 на осяхкоординат и значение −1 в точках второго и четвертого квадрантов. Точками разрыва этойфункции являются точки на осях координат, а оси координат в данном случае являются линиями разрыва функции.в.

Функция трех переменных1u=1 − x2 − y 2 − z 2ÔÍ-12ÌÃÒÓТочки, в которых функция нескольких переменных f : A ⊂ Rn → R определена, но не является непрерывной, называют точками разрыва этой функции. Напомним, что точки, вкоторых функция исследуется на непрерывность, относятся к области определения этой функции. Точка разрыва функции f : A ⊂ Rn → R должна быть точкой множества A, являющейсядля A предельной, так как в изолированных точках множества A функция f непрерывна всегда(см. 8.4). К точкам разрыва функции f часто относят и точки, которые являются предельнымиточками A, но самому множеству не принадлежат.Точки разрыва могут образовывать подмножества в Rn , которые в зависимости от их виданазывают линиями или поверхностями разрыва функции.Мы не будем определять различные типы точек разрыва, как это делают в случае действительных функций действительного переменного, а ограничимся разбором типичных ситуацийна примерах.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ18ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8.

ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12g(x1 ) = f (x1 , a2 , a3 , . . . , an ),которая представляет собой функцию одного действительного переменного x1 , непрерывна вточке x1 = a1 , то функцию f называют непрерывной по переменному x1 в точке a.Непрерывность функции f = f (x1 , x2 , .

. . , xn ) по переменному x1 в точке a по определениюозначает, что существует пределlim f (x1 , a2 , . . . , an ) = f (a1 , a2 , . . . , an ),x1 →a1который можно рассматривать как предел в точке a по множествуA1 = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x2 = a2 , . . . , xn = an } .Аналогично вводят понятие непрерывности функции f (x) в точке a по остальным переменным: по x2 , по x3 и т.д., а также по произвольному набору ее аргументов. Например, еслифункция двух переменныхg(x1 , x2 ) = f (x1 , x2 , a3 , . . . , an )lim f (x) = f (a1 , a2 , . .

. , an ),x−→aA12гдеA12 = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x3 = a3 , . . . , xn = an } .ÌÃÒÓÔÍ-12Теорема 8.7. Пусть функция нескольких переменных f : K ⊂ Rn → R непрерывна накомпакте K. Тогда:1) функция f ограничена на K, т.е. существует такое число M > 0, что |f (x)| < M , x ∈ K;2) функция f достигает на компакте K своих наибольшего и наименьшего значений, т.е.существуют такие точки x∗ , x∗ ∈ K, что f (x∗ ) 6 f (x) 6 f (x∗ ), x ∈ K;3) если компакт K — линейно связное множество, то для любого числа µ из отрезка[f (x∗ ), f (x∗ )] существует точка xµ ∈ K, для которой f (xµ ) = µ.

#ÌÃÒÓВ то же время, даже если функция непрерывна в точке a по любому неполному наборупеременных, это вовсе не значит, что функция непрерывна в этой точке. Так, функция f (x, y)из примера 8.11 не является непрерывной в начале координат, но она непрерывна в этой точкепо каждому из переменных, т.е. по x и по y, поскольку f (0, y) ≡ f (x, 0) ≡ 0.Если функция нескольких переменных непрерывна по части своих переменных во всех точкахнекоторой области, то ее называют непрерывной в области по (этой) части переменных(совокупности переменных ).Приведем без доказательства свойства функций нескольких переменных, непрерывных накомпактах.ÔÍ-12x→aAÔÍ-12Отметим, что из непрерывности функции нескольких переменных в точке a следует ее непрерывность в этой точке по любому набору переменных, поскольку если выполнено равенствоlim f (x) = f (a), то, согласно следствию 8.1, для любого множества A ⊂ Rn , для которого точкаx→aa предельная,lim f (x) = f (a).ÌÃÒÓнепрерывна в точке x1 = a1 , x2 = a2 , то функцию f (x) n переменных называют непрерывнойв точке a по части переменных (по совокупности переменных ) x1 , x2 .

Непрерывность по части переменных можно рассматривать как существование предела функции вточке a по соответствующему множеству. Например, непрерывность функции f (x1 , x2 , . . . , xn )по совокупности переменных x1 , x2 означает существование пределаÔÍ-12ÌÃÒÓПредположим, что функция нескольких переменных f : Rn → R определена в некоторойокрестности точки a = (a1 , . . . , an ). Если функцияÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ19ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ................ .

. . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ...............3381116ÔÍ-12.....ÔÍ-12ÌÃÒÓ.....ÌÃÒÓÔÍ-12....ÔÍ-12ÌÃÒÓФункции нескольких переменных как отображенияОткрытые и замкнутые множества . . . . . . . . . . . . . .Функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . .Предел функции нескольких переменных .

. . . . . . . . .Непрерывность функции нескольких переменных . . . . .ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 8.8.1.8.2.8.3.8.4.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.