Спиридонов С.Б. - Схемотехника дискретных устройств, страница 3

Таблица функции «Исключающее ИЛИ».x1x2Y001101010110Выражение булевой функции «Исключающее ИЛИ».(1.9)Y = x1 ⊕ x2Итоги изучения главы 1.Помнить:- наименования логических элементов, их условно-графические отображения(УГО) и таблицы истинности функций, воспроизводимые логическимиэлементами.Понимать:- схемные особенности для воспроизводства булевых функций на примерахэлементарных переключательных схем.Применять:- управление включением в переключательных схемах и схемах,моделируемых с помощью специализированных программ на компьютерах,согласно формулируемым правилам и дисциплинам включений иуправления.181.2.

Типовые примеры проектных решений1.2.1. Подобрать логический элемент для реализации функции включениялампы, соответствующей электрической схемы на рис. 1.7.Рис. 1.7. Электрическая схема включения лампы, управляемая двумявыключателями.Составим таблицу горения лампы (табл. 1.7.) от комбинации состояниявыключателей.За разомкнутое состояние переключателя примем значение xi = 0 , зазамкнутое xi = 1 . Лампа будет загораться только при двух одновременноразомкнутых переключателях.

Обозначим переменной Y = 0 состояние,когда лампочка не горит, а Y = 1 состояние горящей лапочки.Таблица 1.7. Таблица включения лампочки.x1x2Y001101011000Данная таблица совпадает с булевой функцией «стрелка Пирса» и можетбыть реализована логическим элементом «И-НЕ».Схема включения индикаторного светодиода (эквивалента лампочки) можетбыть смоделирована эквивалентной рисунку 1.7. моделируемой схемы впакете Electronics Workbench в следующем виде рис. 1.8.19Рис. 1.8.

Эквивалентная схема включения светодиода, совпадающая слогикой включения лампочки схемы на рис. 1.7.1.3. Контрольные вопросы.Вопросы категории 1. «Помнить».1.3.1. Запишите выражение функции конъюнкции и приведите её таблицуистинности для двух переменных.1.3.2. Запишите выражение функции дизъюнкции и приведите её таблицуистинности для двух переменных.1.3.3. Запишите выражение функции отрицания и приведите её таблицуистинности для одной переменной.Вопросы категории 2.

«Понимать».1.3.4. На рис. 1.9. представлена диаграмма подачи входных сигналов x1 , x2на неизвестный логический элемент и диаграмма поведения выходногосигнала. Какую логическую функцию воспроизводит данный логическийэлемент?20x1x2YtРис. 1.9. Диаграмма подачи входных сигналов на неизвестный логическийэлемент.Вопросы категории 3. «Применять».1.3.5. Постройте таблицу истинности для логического элемента ИЛИ с тремявходами.Выходной сигнал обозначим символом Y , входные сигналысоответственно x1 , x2 , x3 .Ответы на контрольные вопросы.1.3.1. Таблица истинности примет вид:Таблица 1.8.

Таблица истинности для элемента ИЛИ стремя входами.x1x2x3Y000011110011001101010101011111111.3.2. Для решения вопроса целесообразно результаты в графическомварианте представить в виде таблицы истинности табл. 1.9.21Таблица 1.9. Таблица истинности поведения неизвестногологического элемента.x1x2Y001101011000Таблица истинности 1.9. соответствует логическому элементу «ИЛИ-НЕ».1.4. Задачи для самостоятельного решения.1.4.1. Записать таблицу истинности для электрической схемы рис. 1.9.Рис. 1.9. Электрическая схема с двумя ключами.Собрать комбинационную схему, функционирующую по полученной таблицеистинности.Решение:Замкнутое состояние ключаX1 приведёт к протеканию тока черезлампочку, если ключ X2 разомкнут.

При замыкании ключа X2 лампочкаокажется замкнутой накоротко и гореть не будет. При отключении ключа X122лампочка гореть не будет и при замкнутом и при разомкнутом состоянииключа X2. Таблица истинности получается следующей (табл.1.10.).Таблица 1.10. Таблица истинности для схемы на рис.1.9.x1x2Y001101010010Горение лампочки обозначимY = 1,не горящая лампочка соответствуетY = 0.функцииПо таблице истинности записывается выражение для функции Y (горениелампочки).Y = x1 * x2Этойфункциисоответствуетследующаяреализующая булеву функцию «запрет поY&1Рис. 1.10.

Комбинационная схема, реализующая функцию «запрет по1.4.2.Сформируйтесхема,x2 » (рис. 1.10.)x1x2комбинационнаяэлектрическую схему,функционирование которой соответствуетx2 »подобную рис. 1.9.,булевой функции «стрелкаПирса» («ИЛИ-НЕ»).Решение.Функции «стрелка Пирса» («ИЛИ-НЕ»)таблица истинности (табл. 1.11)23соответствует следующаяТаблица. 1.11. Таблица истинности функции для задания1.4.2.Рис. 1.11 .x1x2Y001101011000Электрическая схема, соответствующая таблице истинности(табл.1.11).Горение лампочки возможно только в случае двух разомкнутых ключей.

Вовсех остальных комбинациях хотя бы один ключ замыкает накоротколампочку.1.4.3.Сформируйтеэлектрическую схему,функционирование которой соответствуетподобную рис.1.11,булевой функции «штрихШеффера» («И-НЕ») .Решение:Функции «штрих Шеффера» («И-НЕ») соответствует следующая таблицаистинности (табл. 1.12)24Таблица. 1.12. Таблица истинности функции «штрихШеффера» («И-НЕ»).x1x2Y001101011110Рис. 1.12. Электрическая схема, соответствующая таблице истинности(табл.

1.12).Горение лампочки возможно только в случае двух разомкнутых ключей,либо одного из двух. Два одновременно замкнутых ключа замыкают однойцепью лампочку накоротко, лампочка не горит.25Глава 2. Применение булевой алгебры в проектировании схем.2.1 Основные понятия и определения булевой алгебры логики.Логика- наука о формах и законах мышления (в общем понимании).Математическая логика- наука о применении математическихметодов для решения различного рода логических задач.Основное понятие алгебры логики - высказывание.Простое Высказывание - некоторое предложение, о котором можноутверждать, что оно истинно или ложно.Сложным высказываниемнесколькихпростыхявляется предложение, состоящее изпредложений(т.е.простыхвысказываний),связанных между собой какими либо логическими связями.Под логическими связями понимаются грамматические союзы типа «НЕ»,«И», «ИЛИ», «ЕСЛИ.., ТО..».Любое высказывание можно обозначить символом х и считать, что х=1,если высказывание истинно, а х=0, если высказывание ложно.Логическая (булева) переменная – такая величина х, которая можетпринимать только два значения: х={0,1}.Высказывание абсолютно истинно, если соответствующая емулогическая величина принимает значение х=1 при любых условиях.Высказывание абсолютно ложно, если соответствующая ему логическаявеличина принимает значение х=0 при любых условиях.Определение булевой функцииПод булевой функцией (БФ) понимают сложное высказывание.Эта функция принимает лишь два значения: 0 или 1.

Булева функциявсегда конечна.Простые высказывания, входящие в булеву функцию, называютпеременными (или булевыми переменными).Булева (двоичная) функция – это двоичная переменная Y , значениекоторой зависит от её двоичных переменных (аргументов функции).26Чтобы задать булеву функцию надо каждому из возможных сочетанийаргументов x1 , x2, ...., xn поставить в соответствие 0 или 1 (т.е. значениефункции).Количество возможных булевых функций N при количестве переменныхp, определяется по формуле:N = 22pБФ одной переменной называется симвилярной функцией (табл.

2.1)Симвилярная БФТаблица 2.1. Симвилярные булевы функции.функцияY1=0Y2=хx=0x =100101011Y3= xY4=1обозначение0xxНазваниеКонстанта нульПовторениеОтрицание (инверсия)1Константа единицаБинарная булева функция.Булева функция от двух переменных называется бинарной. (табл.2.2)Таблица 2.2.

Бинарные булевы функцииx1x200110101x1x200110100Y0Y10000Y8Y21000Y90000Y301001100Y101000Y4Y110100110027Y50010Y120011Y61010Y131011Y70110Y1401111110Y151111Наименования бинарных булевых функцийY0- константа 0Y0 = 0Y1 – функция Пирса Y1 = x1 + x2Y2 – запрет по x1Y = x1 * x22Y3 – переменная !x1 Y3 = x1Y4 = x1 * x2Y4 – запрет по x2Y5 – переменнаяY5 = x2Y6 – искл. ИЛИ (сложение по модулю 2)Y7 – функция Шеффера Y7 = ( x1 * x2 )Y8 – конъюнкцияY8 = x1 * x2Y9 – равнозначностьY9 = x1 = x2Y10- перемен. x2Y10 = x2Y11- импликация x1 → x2Y11 = x1 + x2Y12 – переменная x1Y12 = x1Y13 – импликация x2 → x1Y13 = x1 + x2Y14 – дизъюнкцияY14 = x1 + x2Y15 – константа единицы Y15 = 1Определение логической функции.Логическая функция алгебры логики – функция f(x1, x2, …., xn),принимающая значение, равное 0 или 1 на наборе логическихпеременных х1, х2, ….,хn.Возможность применения алгебры логики к задачам проектированиявычислительных устройств обусловлена аналогией понятий и категорийалгебры логики и двоичной системы счисления.28Техническим аналогом булевой функции является комбинационная схема,выполняющаясоответствующееэтойфункциипреобразованиеинформации.Постоянные уровни напряжения, соответствующие принятому всхеме представлению 0 и 1, могут рассматриваться как техническиеаналоги функции «ложь» и «истина».Множество элементов, которые рассматриваютсяв алгебре логикиравно 2.

Эти элементы получили название двоичных переменных. Для них валгебре логики определены:– отношение эквивалентности, обозначаемое символом равенства “ = ”,– три операции:1) операция логического сложения (дизъюнкции), обозначаемаясимволом “∨” или “+”,2) операция логического умножения (конъюнкции), обозначаемаясимволом “∧” или “&” или “⋅”,3)операциялогическогоотрицания(инверсии),обозначаемаячерточкой над двоичной переменной “ X ”.В качестве постулатов или аксиом принимается, что при выполненииперечисленных операций отношения эквивалентности имеют следующийвид: а) логическое сложение, б) логическое умножение, в) инверсияа)0+0=0б) 0∗0=0в) 0 = 10+1=10∗1=01= 01+0=11∗0=01+1=11∗1=1Возможна и другая система постулатов. На основании постулатоввыводятся соотношения или законы алгебры логики для двоичныхпеременных.29Законы и аксиомы алгебры логикиЗакон одинарных элементов:x + 1 = 1 ; x* 1 = xx + 0 = x ; x* 0 = 0Законы отрицания:- закон двойного отрицанияx=x- закон дополнительностиx + x =1x* x = 0Закон двойственности Де Морганаx1 + x2 = x1 * x2x1 * x2 = x1 + x2Из этих выражений следует следствие:x1 + x2 = x1 * x2x1 * x2 = x1 + x2Комбинационные законыЗакон тавтологии:x + x + x + .....

+ x = x ;x* x* x* .....* x = xПереместительный (коммутативный) закон:x1 + x2 = x2 + x1 ; x1 * x2 = x2 * x1Сочетательный (ассоциативный) закон:( x1 + x2 ) + x3 = x1 + ( x2 + x3 ) ;( x1 * x2 )* x3 = x1 * ( x2 * x3 )Распределительный закон:x1( x2 + x3 ) = x1 * x2 + x1 * x3 ;x1 + ( x2 * x3 ) = ( x1 + x2 )( x1 + x3 )30Закон поглощения (абсорбции):x1 + x1 * x2 = x1x1( x1 + x2 ) = x1Закон склеивания:x1 * x2 + x1 * x2 = x1( x1 + x2 ) * ( x1 + x2 ) = x1Теорема Шеннона. Шеннон доказал справедливость закона Де Морганадля нескольких переменных.Операцияинвертированияпеременных,связанныхпроизвольнойзнакамикомбинациидизъюнкцииидвоичныхконъюнкцииэквивалентна замене в этой комбинации исходных значений двоичныхпеременных их инверсными значениями при одновременной заменезнаков дизъюнкции и конъюнкции.Пример применения теоремы Шеннона.Y = a *b + c == (a + b ) * c == a +b +c == a + b *cОпределение Основного Функционально полного набора.Набор функций дизъюнкции, конъюнкции и инверсии, которыйсоответствует трём операциям булевой алгебры-логики, получилназвание Основного функционально-полного набора.Двумя другими функционально полными наборами являются функцииПирса и Шеффера.Функционально полная система логических элементовСистему логических элементов называют функционально полной, еслиесть возможность создать любые заданные переключательныевыходные функции.31Понятие « базис».Системапереключательныхфункций,образующуюфункциональнополную систему, логических функций называется базисом.Переключательная функцияПереключательнойфункциейназываетсяматематическоевыражение, связывающее между собой элементарные двоичныелогические переменные, принимающие значения «0» и «1».Дизъюнктивно-нормальная форма (ДНФ)Если логическая функция выражена посредством логической суммыэлементарных конъюнкций, то считается, что она задана своейДНФ.Y = A * B + C * D = ( A ∧ B ) ∨ (C ∧ D )(2.1)называется логическое произведение двоичных переменных и ихотрицаний,причём,каждаяпеременнаявпроизведениидолжнавстречаться только один раз.