Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (Г.С. Писаренко - Сопротивление материалов), страница 88

Он представляет собой площчдь, Огрзннченнуи) крнВОЙ и ординатами х = О и х = ~. Если а + Гн — четное число, то крн- ВЗЯ ииеет Вид, показанный на рис. 544„й, если и + ж — нечетное число — внд на рис, 544, б. ПлоГкади Отдельнык ча~теЙ в Оооик случанх Взаиино уничтожаютсЯ. Интеграл Соз (П И) — ~Ь также ОбраЩаетси В нуль Дли Всех значений и Ф и, а при и =- Фи еГО величина равна 1. Таким образом, В праВОЙ части раВенства (20,1И) тОлько Один член, содержащийся в равенстве (2О.1ОЗ), не Обращается в нуль. Он А„4 по доказанному раВен —, Откуда А„= — ~.

~ (х) яп — ' дх. Ф (2О. 104) Аналогично С помощью зтнх равенств вполне можно определить ряд (2О.98), а Вместе с тем и движение струны. Йродольнь$е колебания стержней. Перейдем к рассмотрению колебаний призматических стержней, обладающих в отличие от струны значительной поперечной жесткостью. Прежде Всего нзпОмним, чтО различают три типа колебаиЫ: продольние, поперечные и крутильвме. При продольних колебепиЯХ Все частици стержня ДВижутся па раллельно его Оси (ркс. 545, О). Сжатие и рзстЯжеиие поочередиО следутот друГ эз другом как ВО Времени, так и в пространстве.

Вмведем дифференциальное уравнение колебаний стержни. ( ЗтОЙ целью рассмотрим условие дииамнческОГО равновесия участка колеблющегося стержня. Сечения йн Ь ' ~ О Ь ~П (рис. 545„6), ограничивающие Элементарную д пину дх, периОдически перемещают'- ся. Перемещение и произвольного сечения с кООрДинзтОЙ х может быть ВЩижено как ~~г Р~ и = ~ (х, г).

Это уравнение указивает на наличие В стЕржнЕ Относительных переме- О'А' щений Отдсльиих его поперечных сечений. д Если Сечение и перемещается на и, а Ь— дй Гна. $4$ иа и + — Лх, то Отно~и~ел~ное удлинен~е д~ всечении а злементадх(рис.545,а) в = — " 'Хогдаосевая сила вседй „ дх Ф =ЕР—. д~ дх В сечении Ь„рзспОложеннОм на бесконечно близкОм рзсстОЯнии Дх, Осевая сила Это уравнение замечательно тем, что ВЫражаемое нм движение не зависит от размеров стержня.

Если положить Е Ою Р то получим уравнение„совпадающее по форме с уравнением (20,85) дВижения струны, ПОэтому формулы, пОлученные при рассмотреиии колебаний стру" иы„мОГут быть аВтоматически исполь3ОВаны для расчета продоль- ных колебаний стержней.

, дю ~ Прп этом тОлькОпотребу- ется подставить соответст'" ,/ В~ЧОЩЕЕ ЗНВЧЕНИЕ ДЛЯ КОЭф~й фициеита й. 0 б Крутильные колеозния стержней. При колебаниях кручениЯ ка коей-фибудь, НЗПРИМЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКО- то, стержня Дв~ж~н~е лу~~е всето Охарактеризовать ВОЛИ~СТОЙ линией, ВычерчиВая ее на развернутОЙ пОверхиости сжржня (рис. 546, ау, Пусть сечение на расстоянии х закручиВается Относительно неподвижиото Сеч~~и~ иа усол ф, а ~~Ч~ние на расстоянии х + ~Ь— на ~ч'Ол ф+ у ~Й фис. 545, б).

ТОГДа величина ОтносительнОРО ~ч'ла д~ ЗакручиВаниЯ элемента длинОЙ дх будет — и крутнщие моменты В й' Обоих поперечных сеченинх — соответственно Ир ~ ~и Я ~ + ~ й~ Поэтому и и даниОм случае формул$й, ВыВеденные при рассмотрении коле6ании сТрунЫ, Остаютса В снлЕ. Ф ~аз. п~~н'кчнь~а конав~нм~ ПРИЗМАТИЧВСКИХ СИИМНЕЙ При Выводе дифференциальноГо уравнении поперечных колебаний стержни рассмотрим динамическое раВИОВесне участка дх, ВьделеннОГО нз произВОльно Закрепленнои 6алки, предполОжим по схеме, показанной на рис. 547, й.

Пользуясь принципом Д'Аламбера, спрОектируем на Ось Ф силь$, действующие на рассматриваемый элемент (рис. 547, б), и приравияем их к нулю: П 8 9 — д,дх — (~ — — дх = О, д~Ч д~ ~~+ — Ф Откуда И дХ Где Я вЂ” поперечная сила„ Ц вЂ” ИНТЕНСИВНОСТЬ СИЛ ИНЕР- Ры. 347 ции масск 6алки, на" правленних параллельно Оси протибОВ и; д'~ ~~=р ~а р~а~ = о (26.113) Кроме поступательного движения, рассматриваемый элемент сОВершает также Вращательное движение В плоскости ц)х. Для ВыВОда уравнЕНИЯ ДВИЖенИЯ ЭЛЕманта С учЕтом егО ВРВЩении ВЫразим УГОЛ между Осью элемента и Осью х, зависящий не только О'Г поворсрга пОперечнОГО сечения 6„но и От сдВНГВ '~' следу)ощим Образом' — = 6+7.

(26.114) ИЭВЕстиы зависимОсти между изгибаюЩим мОмЕнтом М В попЕречномсечении и углом поворота Е этого сечения: М=ЕУ вЂ” „ (26.115) а танже между поперечнОЙ сило)) (~ н углом Сд~иг~ у, Который В нашем случае отрицательный: - О=- — ~у~б, (26.116) Где Й вЂ” коэффициент формы сечения. На ОсноВании зависимости (20.114) Выражение длЯ «~, согласно формуле (20,116), можно записать В Виде «' да) «)- — ррૠ— — о). д~ .Момент инерции Вращения массы рассматриВаемОГО элемента — ) рот- —, дрр«х)дх- р) — рх.

«20.««8) Учитываа Выражение (20.118) и расс))«атриван, пользунсь прин- ципОМ Д'Аламбера„дииамическое равновесие Вращении стержнЯ, будем иметь (~ дх — — дх = — р3 — „дх. (26.119) Поделив уравнение (20.119) на «Ь и учитываЯ формулы (20,115) н (20.117), запишем его в виде — АР6 ~ — — 6) — Е/ — -«- р) ~~ — О. «2р.«рр) 11родифференцнровав последнее уравнение по х, получим — Арб~ — — — ) — Е.) ~, +р,) — О.

«Ю.!2«) Переписав уравнение (20.113) с учетом выражении (20.117) В виде рр~~ — рр~( ~р — ф~ = р «рр.«рр) и исключая из уравнений (20.121) и (20.122) угол 6, легко получить дифференциальное уравнение свободных поперечных колебаний стержня пОстОянногО сечения. ,цействительно, определив из уравнения (20.122) д<З р д~в д'вд дх Аб дР + дх' РО д"Ь а также Выразив —... — и подставив их в уравнение (20.121), Окончательно получим д~в ! Б ~ дав д~в р~1 д'в Еl — — рУ ~ 1 + —, — + рР— + — — =- О. дх~ ~а/ ьа д1г 11О У~ (20.123) Если пренебречь силами инерции вращения элемента.

а также Влиянием на прОгиб поперечнОЙ силы, как это Обычно и принято В инженерной практике прн рассмотрении поперечных колебаний тонких длинных стержней, то уравнение (20.123) су1цес1венно упростнт- сЯ и его мОжнО буДет записать В Виде илн ~~ Е/ (20.126) представляет собой скорость распространения волны деформации по стержн1о. Простейшим периодическим решением уравнения (20.125) свобОДных поперечных кОлебаний стержнЯ ЯвлЯетсЯ так называемое ,маенее колебан11е, в котором функция прогиба колеблющегося стержня изменяется с течением Времени по гармоническОМУ закону-" в=- у(х)З1П(Я+а).

(26.127) Функция ч~ (х) ~ устанавливающая закон рас11ределения макси мальных амплитудных Отклонений точек Оси стержня называется фбфмОЙ Глпдноао колебпнын или ибсгпденнбй фбрмОЙ. СОбственных форм колебаний прямого стержня, как известно, бесконечное множество, й каждой йз йих соответствует Определеййое зйачеййе частоты и, которая назыВается сббОтменнОЙ чпсиОРПОЙ. Эти частоты и сООтветстВующие им собстВенные формы ОпреДелягот с пОмОЩью уравнения собственных форм и краевых условий задачи. для получения уравнениЯ собственных форм 1гоДстаВим Выраженйе (20.127) в уравнение (20.

124). После сокращения на В1п (е1+ с1) ПОЛ УЧНМ ЕХ (26.129) Уравнение (20.123) имеет четыре независимых частных решения." соз Ах; з1п ях; СЬ Ах, "ЗЬ Ах, а ето Общее ~жлеиие мОжет быть записано так; ~ ~ (х) = А сов»» + В в~п»х + С сй»х + В Й»х, ~ »»О 1 ЗО» Четыре произвольные постоянные А, В, С и В следует подбирать так, чтобы функция ф «х) удовлетворяла условиям закрепления кон- цОВ стержня. В Обычных случаях число краевых условии равнО числу произвольных постоянных — по два на каждом конце.

Все оии Выражаются равенством нулю двух из следующих четырех Величин: Ч (х)' Ч' (х)' Ч" (х): Ч"' (х). пропорциональных соответственно протибу» утлу поворота (теометрические условия), изгибающему моменту и поперечной силе (ди- намические условия) при х = 0 их = 1. д . ВыпОлняя эти услОВНЯ, получим четыре однородных уравнения» из которых иай дем соотношения между А„„ф и частотные уравнения для Определения собств~нных частот колебаний рассматб риВаемой системы. Рнс. $43 Так» например, для стержня на двух опорах (рис. 548, а» условия на концах следующие: при х= О»р(х) — -- О, ч» (х) = О; при х = 1»р(х) = О, ч» (х) = О.

Запи1пем зтн условия, исхОДЯ из формулы (20.130): А + С= О; Вз1п й+ Вайа = 0; — А +С= О; — Вз«пй+ ЮФ Н = О, Вз1пЫ = О. 1ак как Для нетривиальнОГО решения В =,Д О» то жп И = О. (26.131) Выражение (20.131) и будет уравнением частоты для рассматриВаемого случа и поперечных колебаний балки, свободно опирающейся ~,(х) = н,з~й— (26.334) где ~ = 1, 2, 3, ... Первые три сОбствеиные формы графически представлены на рис. 548, б.

Общее решение дифференциального уравнения (2О. 325) Примени- ~ел~~~ к рассматриваемой бал~е йа двух Опорах имеет Вйд йи и(х,О ~~~(а,ааи,~+Ь,а~пила~~— Коэффициенты а;, Ь, находят из начальных условий, ВыражаюЩНХСЯ СООТНОШЕНИЯМИ ~а(х, О) = и(х); а(х, О) = а(х), имеющими место в момент 1 = О, где и (х) и О (х) — некоторые за- данные функции переменной х, определяюаиеначальное распреде- ление пО Оси стержня поперечиьи ОГклоиений и скоростей Отдельных ЕГО ЭЛЕМЕНТОВ, ВО мнОгих случаях при реижиии задач колебаний систем удОбнО исходить из рассмотрения принципа сОхранения энергии системьь Так, рассматрйвая простейй~ую колебательную систему с одной степенью свободы (см.

рис. 515), легко убедиться, что кинетическая Внергия такОЙ сйстемы ВО Время колебаний (массой пру®ийы пренебрегаем) составляет величину Т= — хй Я~ Ф ах х= * Ф * Потенциальная энерГия системы сОстОит из потенциальной энергии деформации пр~жины и потенциальной энергии груза, зависящей ОТ ЕГО ПОЛОЖЕНИЯ, Прн лобом перемещении х нижнего конца пружины рзстягива- кхцая сила В пружнне будет (6~у + х) Г, а соответств)чошая потеици альная энерГия, накапливземзя при этом В пружине, к~' Ат+ 4~ '"и= С 2 ГДе бст — деформация пружины под ДейстВием статпчески приложенного Груза (~. Энергия пружины в положенииравновесня, т.