Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (Г.С. Писаренко - Сопротивление материалов), страница 90

150), нужно вычислить значения прогибов базин в местах расположения грузов, т. е. значения в(х) прк л 5 а- 'х~= их= 1 6' 2 6 йз . (я 11 Й зз~=йяп — »Йяп~ /~ б/ пх Ю,=Йвчай =ЙЯП~ — /=~Ц 2/ пх .!к 511 а ззз ~ Й31п Й31П ~ / ~ж ° О / 2' Тогда знаменатель формуль1 (2ОЛ50) /ЙМ ,'~„а,гз~= т~ — ~ + ПНУ+ и~ — / = -з- аиР. (20.165) ~2/ Подставляя выражения (ЮЛИ) и (20.155) в формулу (ЯОЛ50), опредещщ Е1 — Фх =3 щй>г~ Способ Ритца. При использовании способа Рейлея делаегся определенное допущение относительно формы упругой линии колебаний стержня.

Выбор зтОЙ фсрмы раВносилен Введению некоторых Доба ночных ограничений, которые приводят сложиув систему к системе, имекапей тол~ко Одну степень свободы. При этом указанные ДобаВочные Ограничения могут ~о~~к~ увеличить жест~~~~~ системы, что дает несколько преувеличенное значение частоты пО сравнениго с фактическим ее значением, Более точные значения основной частоты, а также частот высших видов колебаний можно получить„пользуясь методом Ритца, который является дальнейшим развитием метода Рейлея.

При использовании метода Ритцз В уравнение упруГОЙ линии, представлякацей Вид колеб~ний, ~водя~ ~~ск~л~ко параметров„веЛичины которых выбнрз~от таким образом, чтобы частота ОСИ~иного типа колебаний была минимальной. Тзк„например, рассматривая поперечные колебания Стер~ни, задаемся функцией прогиба стержня в виде ряда ф ~ ф каждый член которого удовлетворяет Граничным условиям. Под ставляя выражение (2ОЛ57~ в формулу Рейлея (2ОЛ51), легко убедимся, чтО результат ЗЗВисит От конкретного ВыбОра кОэффицнен" ТОВ й~, й~, И~ (3 ТОЧНЕŠ— ОТ ОТНОШЕНИЙ вЂ”, — И Т. П.).

йз СОГласно способу Ритцз, укзззниые коэффициенты должны быть выбраны так, чтобы формула (20.15Ц давала наименьшее значение для частоты Оэ. Условием минимума~ Очевидно~ буДет след~чОЩее ра ВЕНСТВО: ОЧЕВНДНОе ТНКИХ У(>НВНЕНИИ буДЕТ СТОЛЬКО» СКОЛЬКО ЧЛЕНОВ В РЯДУ (20,1671. Эти уравнениЯ оДнороДные и линейные относительно ко- ЗффИНИЕНТОВ Нт т Йзт Йзт °, » Опт, ПРИРНВНИВНЯ ОНРЕДЕЛИТЕЛЬ уКНЗНН нол опотепы уоеплелкй ктлкк полетел ело л тотное ураВнение. Способ поеколлет опрецелпть ле только низпхую частоту, но и значения Высших час-О Тотт ХОТЯ И С МЕНЬШЕЙ ТОЧНОСТЬЮ. ПРИ ВТОМ МОЖНО ОНРЕДЕЛИТЬ СТОЛЬКО ЧНСТОТт СКОЛЬКО слаГаемых нринято В выражении (20.157)л Рйе.

ИФ лтРНМР И'. ОПРЕДЕЛИТЬ СПОСОбОМ РИТЦЗ НИЗ- щую чистоту поперечных колебзний консольнО ззкрепленнОГО стержня перемен« його сечения (рис. %1), имеющето толщнну, равную елнщще, з высоту, меняющуюся по линейному закону й (х) = — Йе. ИР (Х) "О фе Х= = — Хее щ = — Хь 12 121Э Для приближейиОГО решении примем, что хМ нт(х) = а ш (х) +а ш (х) + ".

= а, 1 — — / + + аз — 1 — — + ° * 1) (2О. 159) Квжяый члей втОГО рззлОжеййя удовлетворяет Грзййчнмм услОВиям зздзчй: йри х= 1 Гз|(х) = О: — „' = О. ййл(х) Прийимзя в Вырзжейии (2О,169) двв члене рззложения й подставляя ик в урзвнение (Ю.158). получаем — (м~ льл + мю тлл % + о'1~ аа,112 ~ Ь Ь14 2а, 4~~ — еттр — — +=+ — =О. Е ~ эО 1Оь 2ао,о ДдффеРеннйРУЯ ЗТО ВыРзжейие по а~ н по ах, нзйдем следУющУю снстемУ УРзв йеййй: — — а,+ — — — аз=О; Ф ФФ Прнран$щваа к надаю 0КРФдеа$пеаь, О)с)ааленкын нз кОаффнцйакн)н атно а)навненнй, аоаучнм уравненне часнлы, Решая нотоРоа, найдем„что 2,66ЬО а )' Е (26.

$6Ц ЗР ' Эта фОРмула дает ю)нйбку 0,)л ПО сРанненнн) с ')Очнь)и Риненке)а РащчатРкнаеМОК аадачк, данна)к н„нРагОфОм, СОГласнО )н)Ффнму Способ Бубнова — Галеркина. Способ, разработанный Н. Г. Бубновым и 5. Г, Галеркнным, получил широкое распространение для приближенного решения различных задач статики и динамики упругих тел.

Для большей наглядности рассмотрим применение зтОгО способа на примере решения задачи О поперечных колебаниях стержня перемеййого сечейня, Опйсываемых дйфферейцйальйым урав- иением — ~Е1(х) —,~) — и — = О. оа Г аа®1 душ (йо. 162) Решеййе зтОго уравнения, как изВестнО, можно ПОлучйть, представляя функцию прогиба ц) в виде произведения двух функций, одна из которых Х является функцией только координаты сечения, а Вторая 7 — Тол~~о времени: и) = Х (х) Т Я.

Подставляя зтО Выражение В уравнение (20. 162), получаем Два уравнения для Определения функций Л и Т. Первое йз них имеет Вид — ~ЕУ (х) — ~ — тоРХ О. аа Г а~Х1 ь ~ ь ~ Согласно способу Бубнова — 1 алеркина, действительную кривую прогиба Х (х) заменяют некоторой приближенно Выбранной функцией )К (х), удовлетворяющей граничным услОвиям закреплеййя й ОртогональноЙ к исходйому дифференциальному Оператору.

Для зтОго Образовывают интеграл ~Иех(х)% (х))' — июРТ(х)) т~х)ш О. (а).)6В) Отсюда, в частности, может быть получена формула Рейлея (2О.15Ц: ) ~~Х (~ ~'~л))"~ ~А) ~х 0 И Ю тч)ч (х) Ых если принять ч' (х) в виде н РзссмОГреть кзждбе из слаГаемых Ч', (х) как ВОЭИОжнОЙ педеменВ- ние, то вместо равенства (20.163) получится соотношение, выража1О- щее равенство нулю вищ~альнОЙ Работы: »»»Е««х»»»»'«х»»" — »»ио» «х»»»»»» «»»»»» = О. «20.»»»5» Таких Равенств мОжнО записать стОлькО„сколькО слзтаемых имеет принятое выражение «1"(х). Каждое иа уравнений (20,165) однородно и содержит неиавестные Значении коаффиниентов аз, аз, аа, ...

и первОЙ Степени. ПДиравнивая к нул~о Определитель полученноЙ *аким Об(»азом Сис~емы Однороднык уравнений (Ю.165), получим частотное уравнение. Прамер Ю. Определим способом Бубнова — Галеркнна ни»нпую частоту поперечнык колебаний ноно:»ли переменного сечения (рис. %1)„имеющей толщину, Равную единице; вмсота изменяется по линейному закону х»»»е р1» 3 Ь(х) = — А; .» = — хз; «и= — х.

121 Лля прнблнженноГо решения поставленной задачи по способу Бубнова Гзлеркина прнмем'- Ч'()-,р ()+"Ч'.(.)+ ". = ~1- — ~+" — 1'1- — 1+- Вь»браннай функция, очевидно, удовлетворяет сраннчнь«м условиям авда при х=1 Ч" (х) =О; Ч',(х) = О; при х= О ЕР)»1 (х) = О н ЕХЧ'« (х) О. Ы«о Дифференцируя Ч' (х) два раза, умножая на ЕУ (х) = о хз н вновь днффе. 121е ренцируя два раза, будем иметь ЕЬзо ~ ! ах'1 1ЕХ (х) Ч»" (х)1" — ~(а — 2аД х + б ~ — ~ Подставляя полученное имран«ение в уравнение (2ОЛбб), получим, — К вЂ” 2а) + — — — ~ ~~ 1- — + +а — 1- — 1- — ах=Π— (а1 — 2аз) х+ — — —" а х 1 — — + +а — 1 — — — 1 — — «Ь= О. Бмнолннн уназанное интегрирование, после йреюбразонанин будем иметь такую же систему однородних уравнений, как и (20 16О) по способу Рища.

Приранннван к кулю онределнтель системы, получим уже Известную формулу (26.16Ц для Определения частотм, СОпрОтивление материалов дейстВию нагрузок, меняккцихся ВО Времени по Величине или пО Величине н зиаку, существеннО отличается От сопротнВления действию статическоЙ наГрузки. При этОМ пОд действием переменных нагрузок элементы конструкций разрушаются при значительно меньших напряжениях, чем под действием статических нагрузок.

Типичным примером детали, испытывающей переменные на| рузки2 является шток поршнево~ машины" пряжений В кОторОм меияется В соответствии с изменением напраВле" ЙИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОРШНЯ. Практикой установлено, что если элемент конструкции многократно подвергать переменному иагружению Определенного уровня, то пОсле иекОтороГО числа перемен напряжений В нем пОКВится трещина, которая постепенно будет развиваться.

В конце концов деталь разрушится„не дав при этом заметных остаточных деформаций даже В том случае, кОГда ее материал ВысОкО пластичен. Число циклов до появления первой трещины и до полного разрушения стержня будет тем больше„чем меньше напряжение. Характерно, что разрушение материала под ДеЙс~вие~ повторно-переменных Нагрузок может произойти при напряжениях ниже предела ~екучес~и. Разрушение материала под действием ПОВТОРНО-переменных напряжений называется разруигюием от усталости. ВООбще же фспииой7$ью мйлтариплон (В частиости, металлов) назыВают явление Разрушения В Результате постепенного накопления В них повреждений, приводящих к ВОзникиОВеиию усталостйой трещины при многократном повторении иагружений.

Способность металлов сопротивляться разрушению прн дейстВии пОВторнО-переменных напряжений называется ныйооли60сшью мииГриилй. Изучение Вопросов усталости в сопротивлении материалов имеет чрезВычайно бОльшОе значеине» Такие ответственные детали, как Оси железнодорОжных ВВГоноВ, кОлейчатые Валы, шатуны моторов, гребные винты, клапанные пружины, Воздушные винты„поршневые пальцы и многие другие детали, выходят из строя главным образом вследствие разрушений усталостного характера.

Усталостное разрушение наблюдается при наличии одной из следуюп~их двух особенностей приложения нагрузки: 1) многократного приложения нагрузки одного знака, например периодически изменякяцейся от нуля до максимума (рис. 552, а); 2) мнОГОкратнОГО повторения наГрузки, периодически изменяк)" щейся Н6 тОлькО пО Величин6, НО н по знаку (знакОпеременной нагрузки), когда на Выносливость материала одновременно оказывакп влияние и повторность и пер6м6ннОсть наГружеиия. При Этом раз- 4 личак»т изменени6 наГрузки пО симметричному циклу (рнс. 552„б) и изменение иаГрузки несимметричное (рис. 552, В, В), Для разрушения от усталости недОстатОчио п6ременности на" пряжеиий. Н6обхОднмо такж6» чтобы напряж6ииЯ имели Опр6делен" НЯО ВСЛНЧИНУ. МИКСИМИЛЬЙОВ ЙИЯИЯСВЙИВ Щ~И КО~ЩЮМ МйЛЖРИ~И СЛОСОбВЙ сопролтидлЯФьсЯ„ЙВ Риз~ЩИЙЯсь» при Любом произВОЯьйо большом чисАВ ПОФПОРВЙий ПВ~ммВЙЙьы ЙилряясВЙии, ййзыВИВЛ7ся п~здйяом ВМЙОСЛИВОСШИ ИЛИ ЩЮдВЛОМ ЦИПИЛОСЗПИ.

Излом детали от усталости имеет характерный внд (рнс. 553). На нем почти Всегда можно наблюдать две зоны. Одна нз них (А)— Гладкая» притертая„образованная вследствие постепенного развития трешниы» другая (8) — крупнозернистая» ОбразОвавшаяся при Окончательном иалОм6 ОслабленноГО развивп1ейся треыинОЙ сеч6ния деталн ЗОна В у хрупких деталей им66т крупиокристаллическое» а у Вязкнх — ВОлОкнистое строение.