Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 89
Текст из файла (страница 89)
е. При х =О,' К= — ° 2 Следовательно„увеличение потенциальной энергии в пружине при перемещении на Величину х С (б~, + 4~ ~ст й П П 2 2 = СО Х + — = ~Х + ~ (26.135у ПотенциальнзЯ энергия, ОбуслОВленйзя положением Груза при перемещении его на Величину х, уменьщнтся на Величину С,== Дх. (26. $36) Тогда на основании последних двух равенств полное изменение потенциальной энергии колебательной системы при перемещении Груза на величину х У=- ӄ— ~~, = (Ю.ИУ) Благодаря тому, что Груз (~ всегда уравнови~йвзегся начальной растягнвакхцей силОЙ, Возникающей при статических растяжениях Ь~, окончательное выражение (20.137~ для потенциальной эйергйи системы буДет то же„что и Для случая, ИОГДЗ Д = 0 н уДлийение пружины равно х.
ПОльзуясь принципом сОхрзнеииЯ энерГии и пренебреГВЯ ПОте рЯми энергии В системе при колебаниях следует полОжить, чтО суъь" ма кинетической и потенциальнОй энерГии системы Остается постоян. иой1 Т. е 7'+У =- СОП31, ИЛИ Величина постоянной в правой части равенства (20.138) зависит ОГ начальных условий* Тзк, например, ползГЗЯ, что при г = 0 пе ремещение х =- хе~ а начальная скорость хр = 0 будем иметь С„З СХΠ— х'+ — = —. 2д," 2 2 (20.139) Уравнение (20 139) показьщзет что при колебаниях сумма инне. тической и потенциальной энергий остается равной начальной энерГии Деформации. Прн этом„кОГДз колеблюЩийся Груз нахоДится В своем крайнем положении и еГО скОрОсть рзВна нулю„Вся энергия системы состОит только из потенциальнОЙ энерГии деформации. При х = О, т.
е. когда груз проходит среднее положение, скорость достигает своего наибольшего значения н вся энергия системы актоиг из кинетической энергии. На основании уравнения (20.139) имеем (20.146) Последнее уравнение можно использовать для вычисления частот КОлебаний системы. Как уже отмечалось, В данном Случае имеем простое гармоническое движение, г.
е. Можем положить, что Х вЂ” Хр СОЗ ОМ1 (Х)цд~~ Х~~И Подставляя значениЯ х и (х),щук В ураВнение (20.140), получаем ~хОО92 О~р Щ$ (26.141) Это сОвпадает с ранее полученной формулой (20.2). Описанный способ, Основанный на принципе сохранения энергии, весьма часто используют для решении различных инженерных задач колебаний, В том числе более сложнь$хр чем здесь рассмотрены. В заключение заметим, что изложенный здесь энергетический метод может быть использован для получения дифференциального уравнения кОлебзний рассматриВаеиОЙ системы с Одной степенью свободы. Лействительно, проднфференцировав уравнение (20.139), найдем, что — 2хх+ с — = О.
2хх 2а 2 Отсюда получим ранее найденное дифференциальное уравнение движения (20.1): ИЛИ сд Сказанное здесь применительно к колебательной системе с одной степенью свободы справедливо также и по отноп1ению к упругим колебательным системам с нескОлькими и с бескОнечным числОм степеней свободы. $ 13$. ЙРЙБпиженйые метбды ОпРеделений совстеенных чьстот иолевлния ин т1гих систем Способ Рейлея. При рассмотрении колебаний упругих систем с одной и с несколькими степенями свободы мы, как правило, пренебрегали массой упругого злементз по сравнению с колеблющейся сОсредоточеннОЙ массОЙ. Это имелО месТО и В случае Вертикальных колебаний Груза, подвешенного на пружине 1см.
рис. 5Щ, и В случае крутильных кОлебзиий Диска нз Валу фис. 523), и В случае юперечщы~ ~олебан~й грузов, раы~~~~ниы~ на ба~а (~ю. 533~, и В друГих случаях. Л.отя эти упрощения во МНОГих практических случаях не вносят особых погрешностей в получаемые решения, тем не менее для некоторых технических ззДзч желзтельнО более детально рассмотреть точность этих приближений. Чтобы оценить влияние принятых упрощений на получаемое значение частоты колебаний упругой системы, восп~льзуе~ся приближенным ме~одом Рейлея. Приближенность метода состоит В том, что при еГО применении делают некоторые допущения относи~ел~но конфигурапии ~~лебательноЙ упругой сис~емы ВО Время кОлебзния.
Частоту колебаний пО спОсобу Рейлея Определяют из баланса анергии системы. Проиллк1стрируем пр~менени~ метода Рейлея на примере кОлебзний Груза, подвешеинОГО иа пружине Ру,» 4ф фис. 549). При допущении, что масса пружины мала по сравнению с массой подвешенного груза ~, тип колебания груза не может существенно зависеть От массы пружины и с достатОчной точностью можно принять„что перемещение ее поперечного сечения на расстОянии т) От закрепленноГО конца то же, что и В случае неВесо- МОЙ пружины, т.
е. раВнО Где 1 — длина пружины," х — перемещение Груза (~. Если перемещение согласно принятому допущению, не зависит От массы пружины, то, Очевидно, поте1щ11зльнзя знерГия системы такзЯ же, кзк и В случае, если бы пружина была иеВесОМОЙ. Кинетическую знерГию системы Определим следующим ОбразОм. Пусть Д вЂ” вес единицы длины пружины. Тогда масса алементз пру- жины Дч будет —, а соответствуюЩая кинетическая энергия фй~ М ПУ, Д ч ЧИА' 2«« Полная кинетическая энергия пружины, очевидно, Это значение кинетической энергии пружины следует прибавить к кинетической внергии груза 2д' й Тогда пОлная кииютичюская знюрГНИ, подлежащая учету при кОле банин снстюМы« +,у, 1 «Ь ~ + В то же Время полное изменение потенциальной энергии системы при перемещении груза на величину х, согласно уравнению (20.137), У= —.
Ск~ 2 УслОВию сохранения Энергии дОлжио бьггь записано В Виде ', ф) (Ц++)+ ' — ф. «2О.««21 ~равнивая зто уравн~ние с уравнением (Я0.1Щ можем заключить, что для Оценки Влияния массы пружины на период собствеи ных колебаний нужно к Весу груза Я х прибавить одну треть веса пружины. Это заключение, полученное при допущении, что Вес пружины Очень мал ПО сравнению л ~ с грузом, можно с достаточной степенью точности использовать и для случаев, коГда вес пружины ТОГО же пОрядка, чтО Рис. Ив и вес груза. Так, для ф=0,59 ошибка приближенного решения составляет 0,5%, а для 4=Я вЂ” около 0,75Ъ и для ц1= ٠— около 3«~. В качестВЮ ВторОГО примера рассмотрим КОлюбання груза, расположенного посредине балки (рис. 550).
Следуя методу Рейлея и полагая, что вес 4 балки мал по сраВнению с Весом Я Груза, с ДОстатОчноЙ точностью можно дОпустить„что кривая прогибов балки при колебании имеет такую же Форму, как и криваЯ статпчюскиж прОГнбОВ. 7огда, ОбОзначая через ~ перемещению Груза (~ при кОлебании, пОлучим перемещение любОГО элемента фх балки на расстоянии х От ОпОры; в-~: 3««Р — 4хз Р ~20.143) Кинетическая знертия самой балки Кинетическая знертия труэа Тотда полнаи кинетическаи энергии колеблющейси системы 17 1 Потенциальная анертия деформации балки при изп16е или, учитывая» чтΠ— ~ —,~ дх=2 — ~-~т-~х~ дх —— «т — ~~.
(26ЛЩ Условие (20ЛЗЩ сохранения анергии тотда примет внд 17 ©+ З5 '1» ~ 1~~' ЗЫ 1'+У= ~ — / + — ~=оойз$. ~а/ Дифференйнруя последнее уравнение по 1, найдем„что 17 ~+ Э5 ТЕ1 1у Лу 2 МЫ а~ Ф 2 — — + — à — О й~ Ю 1Э Ф Откуда пОсле сокращения пОлучим + Ф~ 48Б1 у Я+ — ул Илну ВВОДЯ ПОНЯТНО ПРИВЕДЕННОТО ПРОИ'Иба Ьпр1 Приравнивая выражения (20.148) и (20. И9), найдем следуюшую Основную формулу Рейлея дЛИ квадрата частОты В случае непрерывного распределения массы суммирование в зна- менателе по~ледней формулы ааменяе*си интегрированием: Поскольку Б рассмотренном случае форма кОлебаний балки принята была приближенно в виде синусоиды, тоформула (20 150) дает приближенное значение частоты.
Когда же известна действительная Форма к (х) колебаний, то формула (20.150) дает точное значение частоты. Вообще же уравнение функции прогиба ж (х) заранее не известно и им Обычно прихОдится задаваться. При выборе фОрмы кривой необходимо стремиться отразить хотя бы примерно форму колеба~~й и Собл~дать гр~нич~ые условия зада~и (в нашем случае условия иа Опорах). Практически вместо того чтобы задаваться формой колебаний, задаются некотороЙ Стати~есной нагрузкой и Определяют форму упру- гОЙ линии, кОторую и принимают за форму колебаний. Этот способ удобен тем, что граничные условия всегда будут удовлетворены автома'гически, какой бы ни была выбрана нагрузка.
Принимая нагрузки в виде какой-либо системы сил Р~, Р~, ..., Р„, потенциальную знергию из~~6~ можно выразить через работу внешниХ сил: (У вЂ” ~ Р,в~, 4 1 где и~~ прогибы„вызываемые принягой системой нагрузки. Тогда формула (20. $50) примет вид '~~ Р„в» ф) (26,162) Вообще говоря, за систему сил Р~ целесообразно принять фактпчсскую нагрузку Р = и у. Тогда на основании выражения Пример Ю, Определить нанмейып)чо собственную частоту двукопорной бал- ки, несущей три одинаковых груза массой гй (см. рис. 53Щ. Прн рещенин поставленной задачи примем синусоиддльнук> форму колебаний: к> (х) = Й яп Это выражение удовлетворяет условиям на концах балки.
Действительно, при Уя л = О и х = 1 прогиб и изгнбаннций момент отсутствуют, т. е. н> (х) О и -з-а- = ЯХ" дзз »" -О> В то же Время угол поворота и поперечная сила не равны нулю> т, е, чь О дзщ н — ч>ь О, ~Ьз Длн определеййя частоты воспользуемся формулой (20Л50)> Поскольку ЮИ Р ~ акз ПХР Пз . ПХ вЂ” = ( — — 31П вЂ” / =ЙЗ вЂ” '3~ИЗ вЂ”, Б 1 / Р то числитель формулы (Ж)Л50) 1 ~Ря ~з С й~, пх грп~аг ЕХ~ — > Ш ~ ЕЬР— »п> — » †. (20 >>>> ~Ь /,) 14 1 21 Чтобы определить знаменатель формулы (20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
