Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (Г.С. Писаренко - Сопротивление материалов), страница 86

Перемещение перВОЙ массь1 06031Гзчим через х1, БторОЙ вЂ” черю х~. В пропессе колебания на массу л1, в качестве Внеп1ийх сил действу1от сила с1х1 натяжения Внешней пружинь1 и сила с~ (х~ — х1) натяжения ВтороЙ пружины. Силами сОН«10тивле1Н1Я пренебрегаем« ТоГда, пользуясь принципом Л'Аламбера, уравнениедвижения пер- ВОЙ МЗССЬ1 ЗЗПИ1ПЕМ В ВИДЕ Иа массу л1, действует Т~Л~КО сйлз 1гатяженйя ВттфоЙ пружййь1 — е2 (Մ— х,), 3 уравнение движения будет Если бы система имела не две, 3 три или бОлю последовзтелыю совднненних масс,, то уравнение ДВижения Для кзжДОЙ иа масс сО- держало бь1 три или б~лее нейзвест1В1х коордййат.

Тзк, например, сйлы упру Ости пружины, действу10щйе йа 1-10 массу, полностью Определятся смещениями х, 1, х~ н х~+~ (рис. 535, 6)- Составляя дифференциальнь1е уравнения движений, можно было ВОСПОЛЬЗОВЗТЬСЯ И ДРУГИМ МЕТОДОМ. ДействительнО, при рассмотрении тОЙ же кОлебательнОЙ системь1 можно было бь1 счйтзть, что йме1отся две связзййь1е между СобОЙ пружины (рис. 535, 6), которме подверга10тся действ1по сил инерпйй — И1Х1 И вЂ” РП~Х~, ПРИЛОЖЕНИЬ1Х СООТВЕТСТВЕННО В МЕСТЗХ УДЗЛЕННЫХ масс (тОчки 1 и З. ТОГдз перваЯ пружина нагружена силОЙ вЂ” 1п1х1 — 1т1~х~, з Вторая — силОЙ вЂ” 111~х~.

При зтОм перемещение перВОЙ мзссм, равное удлннени10 перБОЙ пружины~ переме1цение ВтороЙ массы Определится суммзрнь1м удлинением Обеих пружин: НескОлько преобразовав пОследние я)звиения, окончательно ПОлучим Х~с~ + Л))Х1 + п)2ха = 0; (20.54) хф)с~ + са(п)~х1 + и~ха) + с~)))~х~ — — О. (26.55) * Полученная система уравнений движении (20.54) и (20.55) эквивалентна системе уравнений (20,52) и (20.53), но отличается своей СТР У КТУРОЙ. Заметим, что второй способ в задачах рассмотренного типа гроМОЗдок9 ТЗК Ка~ СМЕЩЕНИЕФ НанрИМЕрФ КОННЕВОИ ТОЧ~ И )авн сил инерции всех масс, з следовательно, Выразится че1)ез вторые производные от ~~ещен~Й всех ~~~С~. Кроме указанных двух способов, существует третий, наиболее Общий спосОб, ОсиОвзниый нз применении известных из теорет)3- ческои механики уравнений Лагранжа Второго рода, которые при ОТСУТСТВИИ СНЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ И ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЗ)ОЩИХ СИЛ ИМЕЮТ ВИД ~дТ~ дТ дУ ж~~~ дч = дч' ()=1„2,3, ..., П) где 7" и 0 — соответственно кинетическая и потенциальная зиергия системы.

Применяя уравнения Лагранжа для составления уравнений д)ижения рассматриваемой двухмассовой системы, прежде всего запишем выражения ~инетической и потенцизльнОЙ знергин атой системы: И~1Х~ ЖуХ~ Т =- — + — ' 2 2 ~т~) е~ (х~ — х,)" ют * + у, ~ 1 2 2 Соответствующие производные, входящие в уравнение (20.56) „такие: дT * дT ддУ' дT — Ш1хр . = ПЦХ~» "— 0~ — 0~ дх) ' дх~ " д"'ъ д'~в дт ", а~И ки1х~у П)2хфу д0 дУ вЂ” = с,х, — с, (х — х,); — =- с, (х, — ХД. дх~ дх„ Тогда уравнение (Ю.бб) применительно к рассматриваемому слу- ЧМО ПРИМЕТ ВИД )т)~х + с)х) — сх (х2 — х)) = О; п)зх~ + сз (хй — х)) = О. Заметим, чтО уравнения, полученные из уравнений Лзгрзижз, Всегда совпадают с уравнениями, Полученными ~~~с~бом, основанным на использовании принципа Д'Аламбера. В некоторых случаяху В чзстнОсти для систем цепнОЙ структуры типа рзссмзтривае мой, пО сООбражениям простОты ВыкладОН следует пользоваться первым способом; при расчете изгибных колебаний оказываепи более УДОбным второй.

Итак» предположим» что уравнения движения системы с двумя сгепенЯМН свобоДН ОДним из рассмотренных спОсобОВ получены. Пусть зти уравнения имеют вид (2О.52) и (2О.53): И~Х1 + с1Х1 — с~ (Х2 — ХД = О; (20.57) и хй + а~ (хх — хД = О, Решение системы Этих двух линейных дифференциальных уравнений с пОстОяниыми козффицнентами можнО искать В след~чоемй ФОРМЕ: где К~» Х~» е» и»х постоянные» КОтОрые нужно Выбрать так„чтОбы удовлетворялись уравнения (2О.57).Подставляя решения «().Щ в уравнения (20.57), получим — ~~,Х,~'+ с,~., — г,(~., — ~,) =: О; — т2Х~оР+с~(Х,— $, ) = О, иЛи Ху (с~ + гр Рп~ю ) Х2с~ — О (26.59) — Х1с~ + Х (с — т аР) = О. Уравнения (2О.59) содержат три неизвестных: амплитуды Х„АЭ у .

И х дВух Урав ний най указа е*ри ич» нельзя, однако из них можно Определить частоту. Действительно» рассматривая систему уравнений (2О.59), видим, что случай колебательного движения, когда Х, Ф О и Х, Ф О, возможен тогда, когда равен нул~о определитель указанной системы однородных уравнений ОтноснтельнО Х~ и Х~» т. е. кОгда Написав этОт ОпреДелитель в развернутом ВиДе„после прео6$Фзова ннй получим т~ т,г тР'и Это уравнение является квадратным относительно щй» н легко показать, чтО ОНО нмеет дВа действительиых полОжительных кОрня." ~ ~~~+'~ + '~ 1 1 ~ 1 '~+'м + ' 1 Ж т ~ $~ 4 ~ т1 тд/ т~т~' 3 1 ~ С~+С~ С~ 1 ~ 1 ~ С1 Ф6д С~ ~ С~С»~ Сощъетственпо могут быть получены и две собственные частоты: 1 ~ с» + с~ с~ 1 / » ~ с~ + су с~ » сф~ (20.60) Получившийси В соотВетствии с Выражениими (20.60) двухчас- тотйый колебательиий процесс в общем ВИДе слеДует чаписать так: х, = $,„ыа (аф + а,) + Х з»п (ь:»ф + а ); х2 Х2$ $1П (И41 +»Х»») + Х 2 Яп (ь»Ф +»Х2) (29.61) Здесь первый индекс у амплитуды Х показывает номер координаты, а второй — номер слаГаемого Б строке, или номер частоты.

Амплитуды колебании сВЯзапы Отношением, Определиемым иа первого или второго уравнений системы (20.59): Ц ~~ + ~а п»1~6, ~ с„ Зя С~ ~$ С,— Ж, »', или В СООТВЕТСТВИИ с принятт»Й ийдексацией б, + С, — У»»,й»»' Х~, Ы Е~ ФП2Ы~ тогда уравнений (20.61) ~~~ут бытыаписаны В Виде х~ = Х~д $1П (Оф +»Х») + 112 Яп (О~~ + И~); (26.62) х, = И~,Х„В»п (ь,1 + аД + х,~Х„яп (еф + аД. При Этом собственные частоты и~ и юэя, а также Отношения амплитуд хн и и~~ зависЯТ От параметрОВ колебательной системы. Что касает- ся значений амплитуд »»,д и К~у,, а также углОВ сдБНГа фаа я~ и я~„ то Они дОлжны быть Определень» нз четырех начальных условий, Вы- ражак»»днх айачении сме~цений й ~~~ростей Обейх масс В йачальный МОМЕНТ ВРЕМЕНИ.

В С~у~Бе, ~огда двйжеййе С~с~~мЫ Быаваио ударом по ~аде Л»~, что соотВетствует следукмцим начальным услОВНЯм при ~ = О.* х, (О) = О; х,(О) = О; х,(О) =-- О„'х,(0) = и»», нз уравнений (20.62) получки Хи а(п»х, + Х1, а1П»х, = О'„ И„Х1» а1п»х~ + НИХ,Ха(п ~хх = О„ Х11011 ссб Ф1 + 1119311 соа О~ = О~ ИЩХ11И1СОЗЯ1 + ИЩХДЫ~ССЬЯ2 = Ц), (3тсюда, поскольку ю1, 63~, хм и ну~ известны, находим, что Подбирав искусственным Образом начальные условии тзк, чтобы амплитуда Х1~ = О, ИОжнО получ1пь ОднОчзстотные колебании, Опи сываемые ОДИ~Й ГзрмоникоЙ: Х11 = 111 ЯЛ (Ю11 + Я1); (20.63) Х~1 = ИУ1Х1~ ЯП (0)11 + Я1) Колебании, описываемые одной гзрмоинкой, называютсн перимми ЙОРЛ4мьйьйи11 колебанинми.

ПоскОльку Величина х11 ОтнОше1Н1Я зчплнтуд не зависит От 1гачзльных условий то рассматриваемые Одночастотные колебании характеризуютсн вполне определенным соОтношением амплитуд, зависнщим тОлькО от параметрОБ системы. Следовательно, х„определнет первую нормальную форму колебаний. Вторан форма колебаний, оче~иДИ~, Определитсн отношением — — В том случае, когда начальные условии выбраны такими, ь„ при которых 111 = О и Осуществлнютсн Вторые нор~альные колебании, Описываемые фОрмулами Х12 — — 2.„З1П (Оф + ЯД; (211.64) ХЩ = К~~Х12 31П (И~ + ЯД.

Заметим, чтО число нормальных форм КОлебаннй и равное ему числО собственных частот совпадает с числом степеней сБО60Ды кО- лебательпОЙ системы и что две 1юрмальные формы колебаний ОртоГональны~ т. е. имеет место соотношение т,Х„Х,, + тИЗЕДХН1 —— — О. Установив общие пр11нципы определении основных параметров колебаний упруГих систем с несколькими степеннмн свободы» переЙдем к рассмотрению Взжне11ших ВидОВ колебаний, часто Встречаю ЩИХСН В ИНЖЕНЕРНОМ ДЕЛЕ. Представим себе механическую систему, состоЯщую иа упругого Вала с насаже ми на д ска и (р . 536, а1, р щу10 крутильные колебания.

Пусть 1„Х„Х~, ..., ӄ— моменты инерции масс дискОВ Отиос1лельно Оси Вала, а 4~1, 1~~, фз, ..., ф — уГль1 поворота Диск~в при колебании; с1, с„с„..., с„— Же~ткости различных учзсткОВ Вала При кручении: 0,1 4 Здесь 1» — длина сООтВетстаующеГО участка. ПОскОльк~ с~» сй» сэ» ... предстзалЯют сОбОЙ крутищие мОменты» Выаыазющие закручиВзння сООтВетстаующих учзсткОВ Вала нз Один рЗДИЗН, ТО с~ (ф~ ф2)» Сй (ф~ — фз); ...

КруТЯЩИе МОМеНТИ, БОЗНИКЗКПЦИЕ В СЕЧЕНИЯХ ПРИ ВВЗИМИОМ ПОВОРОТЕ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ДИСКОВ НЗ УГОЛ ф~ — Я)2» ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГΠ— НЗ УГОЛ ф2 — фЗ И Т, Д. (рис. 536 6). 4 Ь Ь 4ф 4 Преиебрегзи мОментОм ИНЕРЦИИ МЗССЫ ВРЗЩЗЮЩЕГОСЯ ВЗЛЗ ПО СРЗВНЕИНЮ С С»» у мОментзми инерции Х~» Вращающихся масс днс- 6Ф Ю М$ Ю ~»»-4»»»-» М КОВ, КИНЕТИЧЕСКУ1О ЭНЕРГИЮ КОЛЕ6ЛЮЩЕИСЯ СИСТЕМЫ МОЖИО ПРЕДСТЗ ВИТЬ В БИДЕ Ю ~ = ~ 4~%+ ~ 4~Ф+ 1 .2 1 *и У»»е. ИФ + — Х~~з + ° ° ° (%.65) ПотеициальиаЯ энергиЯ рассматриааемОЙ систе~ы с п степеними СБО6Оди эз счет ~пруГОН дефОрмации Бала ПОдстаВлЯЯ ВБ1рзжеииЯ (2О.бй и (2О.66) В урзанение Лагранжа (20.%), НОлучим следуюЩие Дифференцизльнь1е урзаиениЯ сВОбОД- нь1х крутильных кОлебзиий Били: ° ~ ~ ° * Ф * 1 Ф ~ ~ ° »»» — Фа — 1 + Сп — 1 (Ч»» — 3 Г1~д) С»» 2(~Ь 2 Я»»» — 3) О~ А~% + 4ЧЪ+ АэФз+ ° ° ° + А,Жд = сопз~э т.

е. Момейт колйчества двйжеййя сйстемы Вокруг Осй вала прй свобОдных КОлебаниях Остзется постоянным. В дальнейшем Этот момент количества движения будем принимать равным нулю, Зтнм самым исключаем из рассмотрения любое Врое ние Вала как пзердого тела и рассматриваем т~л~к~ колебательйое дВижейие, Вызываемое скручиванием ВВАВ. Пользуясь общймй методамй решеййя получеййой системы дифференциальных уравнений (20.67) „решение ищем в аиде Подставляя решения (20.68) в уравнения (20.67), будем иметь Х~Х,в~ — с~ (2., — ХД = О; Щ е)~ + с~ (Х~ — Х ) — с (». — Л ) =- О; (20.69) Ф ~ * 1 ~ В ~ ° Х„Х„о'+ с„» (Х, — Х„) = О.

ИсключиВ йз этих ураВнений Х~ и Х2, 3» 3~ ПОлучим частотное уравнение для Оп- 4» 6 РЕДЕЛЕНИЯ О'. так В случае трех дискОВ (рис, 537) система ураВнений (20.69) принимает ВИД Х,Х»ь~ — с,(Х,— 3)~ = О; ФФ И ХХ,ЯР+с,(Х,— Х2) — с,(Х,— Х„) =О; У,Хзьр+ с~(Х,— » ) =- О. (20.70) СлбжиВ эти уравнения» получим Р»»с.

337 1»Х3 + 12ХЗ + Ахэ = О. (2ол) Из первого и третьего уравнений системы (20 70) найдем, что Подставляя выражение (20.72) в формулу (20.71), будем иметь А»~ ~з 4 ~ 44+4А + АА+А~ф,2+ +(А+~ъ+4) =О. (20.73) Решая Это ураВнейие Относительно Й~, можно получнть два корня и1 и и~, соответств~чощие двум ГлаВкым Видам колебаний.

Подставляя найденные значения о» и О2 в уравнения (20.72), получим 2 2 значения отношений амплитуд — и — для двух главных видов х, колебаний и тем самым устаноВим сОстОяние системы ВО Время ко" лебаний. У~аз~нные два Вида колебаний для трехмассовой системы представлены на диаграммах 1 и П (рис. 537) соответственно для Одноузловой и двухузловой форм колебаний. В случае четырех вращающихся масс уравнение частоты получим, приравняв к нулю определитель уравнений (20.67) при и = 4. Решая его, полрчим четыре корня уравнения, из которых Один Вследствие свободпого вращения вала как твердого тела вокруг его оси окажется равным нулю, а остальные три (отличные от нуля) дадут частогы трех главных колебаний рассматриваемой системы. С поперечными колебаниями стержней вес~ма час~о приходится встречаться в ммпиностроеиии, и в частности в турбостроеини, где применяются Валы с прямолинейной Осью, несущие ряд дис~~~.