Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (Г.С. Писаренко - Сопротивление материалов), страница 87

Поскольку такие валы имеют значительные пролеты, то весьма важно Определить крнгическпе скорости Вращения Этих валов, чтО связано с изучением их поперечных колебаний. Изу~ен~е поперечных колебаний ~ал~в ~а~~~~ с рассмотрения упругой балки на двух опорах, несущей произвольное количество сосредоточенных (точечных) масс гп,, т,, ..., ~п„(рис. 538). Решая поставленную задачу, воспользуемся вторым Способом (см. ~ 129), согласно которому к упругой системе, ие обладающей массой, необходимо приложить силы инерции ш1и~~, и~ц~~'„ — е„в„, где в„а-, ..., в„— соответственно поперечные перемещения (прогибы) оси бал- л ~~-4-е'- ~-е-"-~ ьи В месте приложения масс %э ~п21 "° 1 ~Иди а ц~,„и~„..., и,„— вторые производные этих Рмс.

ИВ перемещений по времени. Выражения для указанных перемещений м~гу~ быть обобщенно предс Гавлены В канОиическом Виде: где б„~ — перемещение В напраВлении $, Вызванное единичнОЙ силой, действ щей В напра «и А. Эти коэффициенты при изгибе определяются по методу Мора; 6у~ = — ~~Р) — ', ' Й:, где М~ (4 и М~ (х) -- иагибающие моменты, Вызванные соотвст'- ствуюЯими единичными силами ~ПР~~ = 11 Ра~ = — ®ФЪ = 1. Эти коэффициенты могут быть Вычислены также при помици формулы Верицагина: где Й~ — площадь эпюры М~ (нли части М~); Му Ордииата эпкры Мд, Расположенная п)ютив центра тЯ жести плицади Й1, Напомним также, чтО„согласно теореме О Вэаимности перемеше- ний ( Ре.

Максвелла), би — бах Основная система уравнений (20.74) в простейшем случае для колебательной системы с одной степенью свободы приводит к одному уравнению с Одним неизвестным: н, = - тп,н~,б~, чтО Эквивалентно известному уравнению ~~' + сФ 0е 3 Для системы с двумя степенями свободы иа основании уравнений (20.74) получим систему Двух уравнений с двумя неиавестнымн фуикциЯми прогиба ж~ и В2: и~, = — й~ф~ф„— ат~ю~~6~", И2 = — 1н АФ вЂ” ИА ° При решении системы уравнений (20.74) функцию прогиба мож- НО ПРИНЯТЬ В ВИДЕ в, = Х, э(п(е~+а). Подставляя это выражение В основные уравнения (20.74), получим следующую однородную систему алгебраических уравнений ОтнОси тельно неизвестньи амплитуд Х~ и час'ГОт ы~: Х~(юдфд — 1) + Х2Ффд69 + ' + К,РФпбьи = О, Ь,,ш,б„а'+Х,(е,в "— 1)+ ° *- +З,и„б,Ф=0; (26.75) а * ° ~ ° а «* 1 ° Ю ° ° Э ~ ° * ~ ° Х~Рл~бдфю + Хушфд~и * " " ' + Х~~ (идб~ща) 1) ~ 0 При наличии КОлебаний амплнтуда Х~ не Образйается В нуль, если Определитель, составленный из коэффициентоВ системы уравнений »т»А»»в — »»п$6»$»$ ° * ° п»»6$»»Р жА»»Р — 1 ...

т»6д»»»Р»»»~6~2»»» ° . ° »л„,6~»»Р — 1 Написав этот Определитель В развернутом Виде и ОбОзначив через Й» коэффипиенты при различных степенях»»», НОлучим частОтиое уравнение й-Й степеии дЛя квадрата ЧИСТОТЫ»$: 1 — а»»»Р + а~»»4 — ауФ + ° ° ° + ( — Ц' а„вР" = О, (20.77) ИЗ уравНЕНИИ (2О*77) ПОЛУЧИМ зl $. ~»=+ "~»; ~я=+'~й;.*., Ы„=+' Вп., (»В».. »$$ ° * -.. »$„). Тотда Об»цее реп1ение СистемЫ уравнений м~жнО записать так: Ю» —— Х,» $»П(»»»ф+ а»)+ Х„$$»П(юф+ а,)+ - * ° + Х,„$1П (»$„1+а„), НЛи В развернутОм Виде: И» Х»» $1П (»Вф + С»») + Х»$$1П (»»»2ф + Я2) + + Х»д$1П (~Эд1 + Ф »»ъ=~м$»п(м+»$»)+ ~$и$»п(М+%) + ' ' + ~ап$»п(а»и~+»$4' ° 1 ~ 1 ~ ~ ° ~ ~ * 4 * 1 1 ° 4 «* ° И~„= Х„1 $1П (Е»1 + С»») + Х,д $1П (Ю~~ + Я$) + ° » ° + Х~~ $1П (Ь»„1 +»$„) (26.78) Таким Образом„в каждом направлении»' = 1, 2, ...„и происходят колеоання с бОльшим спектром частОт.

В частном случае системы с двумя степенями сВОбОды уравнения (2О.Уб) примут вид Х» (»п»6»»юР— 1) + Х$»и$6»$»ю' = О; Х»т»6$»вР+2 (т,Д вР— 1) = О, Определитель (2О,76) при этОм будет »»т» (6И6$$ — 6»$)»»»»»»»2 — »»Р (6»»»11» + 62$»»»$) + 1 = О, откуда первая и вторая частоты к»щебаний определятся соответ- СТВЕННО формуЛами Ф ° * + — би + 4зз — '~ — 4 Фраз — Ь»д — ~. вз 1~ Фу в / и Пример Ж. Определить собственную частоту колебаний балки (рнс, 639), песуаеЙ трн одинаковых сосредоточенных хруза массоЙ ~п каждыЙ.

Прежде Всего определим перепмце. 5 иия точек приложения $ рузов под дей м' ствием единичных сил Р~ = 1„РВ= 1 и Рз = 1«С ВТОЙ целью постРоим Впкфы е» изгийпощнх моментов от указанных единичных сил (рпс. 540), Пользуясь фор- мулой Вереп1атииа, найдем иерем~~ения от единичных натрузок: Ьц — — Ьз — — 76»ц Ь = 24%, "Ьп —— Ь~ — — Ьда — — Ьзз -— — 1171; Ь~ц = Ьвт = Ьй, Где »э 9-129ЬЕ» " Имея значения Ь„,, составим определитель, аналогичный выражению (20.76): 77 760 (ВтЬР)з — 12096 (еЬУ)з+ 393вАйФ вЂ” 1 = О. Это уравнение ~м~~~ следуш1пх три кори~, соответствупяяих трем значениям собстве~ных круховых частот колебании рассматриваемой упруГОй системы. 5,692 1 Г Е», Щ Ф Г е»' (2КЖф 22,06 .и У Е,» и» ' (20.6$) 36,00 ./ Е.» » (20.62) Поперечные колебании струны.

Выведем дифференциальное ура В- Пенне пОперечиых кОлебаний струны. Для этОГО рассмОтрим Очклонение струны, закрепленной В точках А и В (рис. 541, а). ПервоначзльнОе ее натижение пусть будет Р. Будем считать Отклоиение незначительным~ а изменением усилии натижениЯ Р прн этОм ирене Д брежем,т. е. Р = сопа1. Длина струны 1. ПолаГая, чтО прн ОтКЛОНСНИИ ВСЕ ТОЧКИ СТРУ- иы нахОдятся В плоскосц ти хф, рассмОтрим эле" Рмс.

34$ МЕНТ СТРУНЫ ИМЕКХЦИИ массу Йп» конечные тОч'" ки и'Ох и х+ пх. Проведем касательные к струне В крайних тОчкзх элемента; ухлы наклона касательных к Оси х соответствеинО я и а, (рис, 541, б). Считаем их также малыми. ССОставлающзЯ натиженнЯ пО Осн Оу В точке х У = — Рыпи, З~П~Х, =1~~Х, = — + —.; -ПХ. дф Уф д~ дх~ Сумма проекЦий натиженнй на Ось у СостаВлЯет ОУ= Р— ", о'х. ЧтОбы найти уравнение движения, нужнО, следуя принципу Д'Аламбера, эту силу приравнЯть силе инерции элемента струны, равиои ~Ьи —,, что даег д~ф 6ю д = Р-У вЂ” дх.

д'у Ру (26.63) Обозначив через 9 вес всей струны„длЯ Йи получим следующее ВЫРЗЖЕННЕ: 3то и есть уравнение плоских поперечных колебаний изтянутОЙ СТРУНЫ. Теперь задача сОстоит В тОм, чтОбы Отысеать у кзк функцию От х и 1, т. е. у= Р(х, 1). 3та функция должна удовлетворЯть: Ц дифференциальному уравнению (20.85); 2) Граничным условиям, т. е. При х = Оих = 1ординатау = О, ПЛИ Г =- (О, ~) = О; Г(1, ~) = О; (20.86) 3) начальным услОВиям, т. е. при 1 = О Онз дОлжнз Обращаться В заданную функцию проГибов: Г (х, О) =- ~ (х). (29.8У) Кроме ТОГО, частная произВОДнзя по 1 Ври 1 =- 0 ДОлжна Обращаться в заданную функцию и (х) (начальная скорость): = о (х).

(26.8$) Условие (20.87) означает„что в начальный момент, т. е. При 1 =- О, сГрунз имееГ заданную форму, например тзку1О, какую Она примет, если будет ОтГЯН утз штифтом В (рис„542). Д Б момент 1 = О штифт убирают и струна начинает сВОН колебания. Условие (20.88) означает, что в начальный МОМЕНТ ВСЕ ТОЧКИ СТРУНЫ ИМЕЮТ ЗЗДЗННУЮ СЕО" Рук„343 рОсть, В частности моГут находиться и В сО" Стоянии поКОЯ, как зто имеет место В случае„показанном нз рис.

542. Решение уравнения (20.85), следуя методу Фурье„ищем в виде 1 ~РУ а~ ФХ Т Ф~ Х ~Ь~ (20.96) Пр~равнивая правую и левую части п~следне~о уравнения к одноЙ и тОЙ же постояяиОЙ Величине — А ~ получим два уравнения: В этом легко убедиться, подставив их В уравнение (20.Я). Из функций (2О.92) соз — х следует исключить как выражение, й не удовлетворяющее первому из условий (20.86), так как оно не сб- й ращается в нуль при х = О. Чтобы з|п — „х равнялся нулю при х =- 1, нужно, чтобы И = апн, откуда А = —, где а — целое число. РавенствО И = Ойй называется яРЙВйейиам периодоа нли язаВйдищ!м 4ыюиоим.

ОНО получается непосредственно из граничных услОВий. Тспсрь имеем два частных решения уравнения (20.85): или„пОлаГая ПОлучюннОю урзВнению характеризуют движению кзк пюриоднче- скОЮ, т* е. кОлебзтюльнОю. Период кОлебаний з частота кОлюбзн ий аи й 7» Я (20.97) При п = 1 струна колеблется в основном тоне (с одной полуволной). При и = 2 струна кОлюблютсЯ, Образуя двю пОлуВОлны, при и = 3— с тремя полуволнами (рис. 543).

Характер колебаний, которые струна совер" шают В действительности, зависит От начальных П=Г услОвий. Например, струна будет кОлюбзться Только в ОСИОВИОМ тоню, если прн 1 = 0 она нмю- Л=Я' ла форму первой кривой (а =- Ц и все ее точки были В покОю. Если жю изчзльнзЯ фОрмз струны ИНЗЯ, ТО КРОМЮ ОСНОВНОГО ТОН З ПОЯВЛЯЮТСЯ И Обертоны, так кзк колебания струны прюдстзВ- Фнс. 343 ляют СОВОкупность нзлзгающихся друГ нз друГВ Отдельных колебаний. Уравнение движения примет В зтом случаю ТЗКОЙ Вид: у=- У~А„сожп — ~+ В япп ™ ~~з1пл —.

(20,98) Для окончательного решения задачи нужно из начальных условий (20.87) и (20,88) определить козффициенты Л и В уравнения (20.Щ. Из условии (20.87) а из условия (20.88) < д ) ~  — 8!П вЂ” Х = ОЩ. (26.166) а=6 Здесь ~ (х) и О (х) — функции, заданные в интервале от 0 до 1. Равенства (20.99) и (20.100) требукл' разложения этих функций в ряды, члены которых представляют собой григонометрические функции углОВ, кратных —.

Этз задача решаются мютОдом Фурье„который, кзк НЗВюстио, заключаются В том, чтО равенство (20.99) умножают нз 3! и ю — и интегрируют НО Всей Длине От 0 ДО 1. В результате атОГО ннтщэирования получа!от 6 ~(х) ип — дх =-- Ъ., А„лп — чп- -- — дх. (26.16$) Все члень~ правой части ать О равенства, кроме Одного, ОбраГпакГГся В нуль, так как при и ~~ Гя яп — з~п — "дх =О, (20.362) яп — 51п — ~Ь = — ' 2 (26Л63) Для доказательства равенств (20.1Щ и (2ОЛОЗ) вспомним„чГО соя (и — Я = созе сов р+ яп я а1п р; соа(и+ Я = соьасожр — ыпяып р; 2яп иа1п ~$ = соя (а — Я вЂ” сов(а+ ~~). Тогда Ф (а — Ф) лх ) СОВ =23 дх— б (а+и) лх — ' СОЯ дх* Рмс. %44 ~,1 Рассмотрим ВтороЙ интеграл правоЙ части атого равенства.