Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия)

ISSN 1512–1712Академия Наук ГрузииИнститут КибернетикиСОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКАИ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯТом 31ГЕОМЕТРИЯТбилиси2005Редакционная коллегияГлавный редактор:Р. В. Гамкрелидзе (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН)Заместитель главного редактора:Г. Харатишвили (Институт кибернетики Академии наук Грузии)Члены редколлегии:А. А. Аграчев (Математический институт им. В. А.

Стеклова РАН, SISSA)Г. Гиоргадзе (Институт кибернетики Академии наук Грузии)Е. С. Голод (Московский государственный университет)И. Т. Кигурадзе (Математический институт им. А. Размадзе Академии наук Грузии)А. Лашхи (Грузинский технический университет)Е. Ф. Мищенко (Математический институт им. В.

А. Стеклова РАН)А. В. Овчинников (Московский государственный университет)В. Л. Попов (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН)А. В. Сарычев (Университет Флоренции)Г. Химшиашвили (Математический институт им. А. Размадзе Академии наук Грузии)Г.

Г. Чоговадзе (Академия наук Грузии)Редактор серии «Геометрия»:А. Г. Попов (Московский государственный университет)cИнституткибернетики Академии наук Грузии, 2005СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКАИ ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯТом 31ГЕОМЕТРИЯ2005ОГЛАВЛЕНИЕО каноническом вложении комплексного проективного пространствав вещественное проективное пространство (В. В. Коннов) . . . . . .

. . . . . . . . .Аналитические подходы к исследованию уравнения sin-Гордона и псевдосферическихповерхностей (А. Г. Попов, Е. В. Маевский) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Конциркулярные векторные поля на полуримановых пространствах (И. Г. Шандра) .Пространства римановых метрик (Н. К. Смоленцев) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

.3. . . .. . . .. . . .135369Современная математика и ее приложения. Том 31 (2005). С. 3–12УДК 514.76О КАНОНИЧЕСКОМ ВЛОЖЕНИИКОМПЛЕКСНОГО ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВАВ ВЕЩЕСТВЕННОЕ ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВОc 2005 г.В. В. КОННОВ2АННОТАЦИЯ. В работе строится естественное вложение σ : CPRn → RP n +2n комплексного проективного пространства CP n , рассматриваемого как 2n-мерное вещественно-аналитическое многообра2зие, в вещественное проективное пространство RP n +2n . Образ вложения σ назван в работе CP n поверхностью. Для конструкции вложения рассматриваются два эквивалентных подхода.

Первыйподход основан на свойствах голоморфных бивекторов в овеществлении комплексного векторногопространства. Этот подход позволяет доказать, в частности, что CP n -поверхность является плоскимсечением грассманова многообразия. Второй подход использует присоединенное представление группыЛи U (n + 1) и каноническое разложение алгебры Ли u(n + 1).

При помощи данного подхода даетсягеометрическая характеризация канонического разложения алгебры Ли u(n + 1). Изучаются свойствапостроенного вложения. Показано, что это вложение внутренним образом определяет каноническоюкэлерову структуру на CPRn . В частности, метрика Фубини—Штуди есть ни что иное, как перваяквадратичная форма вложения, а комплексная структура на CPRn полностью определяется второйфундаментальной формой вложения. В силу этих причин данное вложение названо в работе каноническим. В терминах построенного вложения дается описание инвариантных и антиинвариантныхвполне геодезических подмногообразий копмлексного проективного пространства.СОДЕРЖАНИЕ1.2.3.4.5.6.Введение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Конструкция вложения CP n в RP n +2n . . . . . . . . . . .Комплексная структура на CP n -поверхности . . . . . . . .Каноническая кэлерова метрика на CP n -поверхности . . .Альтернативное определение CP n -поверхности . . . . . .Интерпретация инвариантов CP n -поверхности в терминахНекоторые свойства CP n -поверхности . . . . . . .

. . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .алгебр. . . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .Ли. . .. . .................................................................................34689101112ВВЕДЕНИЕКомплексное проективное пространство CP n является 2n-мерным вещественно-аналитическиммногообразием (которое мы будем обозначать через CPRn ). Многообразие CPRn является кэлеровыммногообразием постоянной положительной голоморфной секционной кривизны, которое можно рассматривать как базу расслоения Хопфа χ : S 2n+1 → CPRn , т.е. как фактор-многообразие S 2n+1 /S 1 .В настоящей работе решается задача о вложении многообразия CPRn в вещественное проективное пространство достаточного числа измерений, учитывающее дифференциально-геометрическуюструктуру многообразия CPRn .

Согласно теореме Уитни, многообразие CP n может быть вложенов евклидово пространство R4n+1 . Отсюда следует, в частности, что существует вложение CP n ив вещественное проективное пространство размерности 4n + 1. Однако, теорема Уитни не даетконструктивного и однозначного способа вложения, не гарантирует его аналитичности и не учитывает комплексную и кэлерову структуры на CPRn . С другой стороны, в силу теоремы Нэша [8],комплексное проективное пространство, будучи 2n-мерным компактным римановым многообрази2ем, может быть изометрически вложено в R6n +11n . Более того, известно [7], что всякое эрмитовоc Ин-т кибернетики АН Грузии, 2005ISSN 1512–1712 4В.

В. КОННОВсимметрическое пространство G/H компактного типа может быть эквивариантно и изометрическивложено в RN , где N = dim G. Применительно к CPRn ≡ U (n + 1)/U (1) × U (n) это означа2ет, что CPRn можно эквивариантно и изометрически вложить в Rn +2n+1 . Конструкцию такоговложения можно найти в работе [1] (см. теорему 8.2 и пример из п. 8.112), где комплексное2проективное пространство вкладывается в Rn +2n+1 ≡ u(n + 1) при помощи отображения орбиты в присоединенном представлении группы Ли U (n + 1). Следует отметить, что в алгебреЛи u(n + 1) существует однопараметрическое семейство орбит присоединенного представления,nкаждая из которых диффеоморфна CP .

Все эти орбиты отождествляются при отображении проективизации p : u(n + 1) → P u(n + 1) и определяют каноническое эквивариантное вложение2U (n + 1)-пространства CP n в U (n + 1)-пространство RP n +2n . Именно поэтому в настоящей работе ставится задача об изучении канонического вложения CP n в вещественное проективное про2странство RP n +2n . Естественность такого вложения позволяет надеяться на то, что комплекснаяпроективная геометрия может быть инвариантным образом охарактеризована в терминах вещественной проективной геометрии.2В работе показано, что искомое вложение σ : CPRn → RP n +2n может быть естественным образом описано в терминах голоморфных бивекторов в овеществлении комплексного векторного пространства.

Образ вложения σ назван в работе CP n -поверхностью. Доказано, что CP n -поверхностьявляется плоским сечением вещественного грассманиана. Отсюда следует, в частности, что образвложения σ является вещественным алгебраическим подмногообразием. Показано, что построенное вложение внутренним образом определяет каноническую кэлерову структуру на CPRn . Вчастности, метрика Фубини—Штуди есть ни что иное, как первая квадратичная форма вложения, а комплексная структура на CPRn полностью определяется второй фундаментальной формойвложения.

В силу этих причин данное вложение названо в работе каноническим.Вложение σ позволяет моделировать геометрию комплексного проективного пространства навещественно-аналитической поверхности. Например, доказано, что вполне геодезические инвариантные и антиинвариантные подмногообразия на CPRn являются плоскими сечениями CP n поверхности.Кроме того, в работе рассматривается альтернативный подход к построению вложения σ. Этотподход использует присоединенное представление группы Ли U (n + 1) и основан на том, что в2алгебре Ли u(n + 1) ≡ RP n +2n+1 существует орбита присоединенного представления, диффеоморфная CPRn . Как следует из [1], на этой орбите существует каноническая кэлерова структура.Доказано, что образ этой орбиты при отображении проективизации является CP n -поверхностью.При помощи данного подхода дается геометрическая характеризация канонического разложенияалгебры Ли u(n + 1).1.

КОНСТРУКЦИЯВЛОЖЕНИЯCP nВ2 +2nRP nПусть CP n — комплексное проективное пространство, порожденное Cn+1 , π : Cn+1 \0 → CP n —≡ R2n+2 — овеществление Cn+1 , J — стандартная комплексканоническая проекция, W = Cn+1Rная структура на W . Если z ∈ W \0, то L{z, J z} — двумерное голоморфное подпространствопространства W . Пусть z, w ∈ Cn+1 \0. Тогдаπ(z) = π(w) ⇐⇒ L{z, J z} = L{w, J w}.Следовательно, точки комплексного проективного пространства CP n находятся в биективномсоответствии с двумерными голоморфными подпространствами векторного пространства≡ R2n+2 .W = Cn+1R = W ∧ W = Alt(W ⊗ W ) ≡ Rn(2n−1) — пространство бивекторов над W ,Пусть теперь W ) — соответствующее вещественное проективное пространство, p : W \0 → P (W ) — каноничеP (Wская проекция (отображение проективизации).

Ясно, что точки комплексного проективного пространства CP n находятся в биективном соответствии с точками вещественного проективного про ), порожденными голоморфными бивекторами, т.е. тензорами вида x = λz ∧ J z,странства P (WО ВЛОЖЕНИИ КОМПЛЕКСНОГО ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА5где λ ∈ R\0. Биекция устанавливается при помощи отображенияσ : π(z) → p(z ∧ J z).(1) :W определим линейный оператор J→W при помощи свойств:На пространстве бивекторов W является R-линейным;1) оператор J (a ∧ b) = J a ∧ J b.2) для всех a, b ∈ Cn+1имеет место соотношение JR 2 = id.

Следовательно, J — структура прямого произведения на W, а V =Легко видеть, что Jker(id −J ) — собственное подпространство оператора J . Размерность подпространства V равнаn2 + 2n + 1. Тензоры11ejk = (ej ∧ εk + ek ∧ εj ), jk = (ej ∧ ek + εj ∧ εk )22образуют естественный базис в V . Здесь {ej } — стандартный базис в Cn+1 , а {ej , εk = iek =jk = U kj и V jk = −V kj , определяемые изJ ek } — соответствующий базис в W = Cn+1R . Числа Ujkjkразложения x = U ejk + V jk , являются однородными координатами точки p(x) ∈ P (V ). .

Тензор x является голоморфным бивекПредложение. Пусть x — ненулевой тензор из Wтором тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:x∧x=0 )x = 0(id −J(разложимость);(2)(голоморфность).Доказательство. Ясно, что любой голоморфный бивектор x = λz ∧ J z удовлетворяет системе(2). Обратно, пусть тензор x = 0 удовлетворяет системе (2).