Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия), страница 6

В. МАЕВСКИЙ(2а) Пусть C2 > 1, σ = 1 или −1 < C2 < 1, σ = 1; тогдаvz(au + bv) = 2 arcsin dn ku + ;k(2б) Пусть C2 < −1, σ = −1 или −1 < C2 < 1, σ = −1; тогдаvz(au + bv) = π + 2 arcsin dn ku − ;kC2 + 12!C2 + 12.!.Это решение можно получить из предыдущего заменой v → −v и z → z + π.Отметим, что решения (2а) и (2б) допускают много возможных форм записи благодаря тождествам#"π1= cn{t; p}, arcsin t + arccos t = , и т. п.dn pt;p2Здесь cn{x, k}, dn{x, k} — эллиптические функции Якоби.2.5.2. Автомодельные решения вида z(uv). Для автомодельной переменной t = uv уравнениеsin-Гордона сводится к видуtz + z − sin z = 0.Замена z = x + π приводит его к видуtx + x + sin x = 0.(2.21)Уравнение (2.21) является частным случаем третьего трансцендентного уравнения Пенлеве [1, 46],которое в стандартных обозначениях записывается в видеw = w w−1 − w t−1 + (αw2 + β)t−1 + γw3 + δw−12и заменой w(t) = ey(t) , t2 /4 → t приводится к виду, более удобному для дальнейших рассмотрений:ty + y − (γe2y + δe−2y ) − (αey + βe−y )t−1/2 = 0.(2.22)Методом изомонодромных деформаций асимптотические свойства решений уравнений Пенлевеизучались А.

Р. Итсом и В. Ю. Новокшеновым [55].Исследованию асимптотических свойств решений уравнений типа (2.21) посвящены работыЕ. В. Маевского [14, 17]. Изложим основные результаты.Асимптотика решений уравнения (2.21) на√ бесконечности. Здесь удобно перейти к новой независимой переменной τ по формуле τ = 2 t. Дифференцирование по новой переменной будемобозначать точкой. Рассмотрим начальную задачу для уравнения (2.21) в новой переменной:⎧⎪⎨τ z̈ + ż − τ sin z = 0,(2.23)z(τ0 ) = p,⎪⎩ż(τ0 ) = q.Получены следующие асимптотические разложения:1 31 331−1/2−3/25C sin 3θ + C1 sin θ +C − C1 cos θ + O(τ −5/2 ),C1 sin θ + τz(τ ) = π + τ192 1321024 1 8(2.24)3131C15 − C1 sin θ − C13 cos θ + C13 cos 3θ + O(τ −5/2 ),−ż(τ ) = τ −1/2 C1 cos θ + τ −3/2102483264(2.25)гдеθ=τ−Доказана следующая теорема.1 2C ln τ + C2 .16 1УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ23Теорема 2.4. Любое решение задачи Коши (2.23), не являющееся монотонным, обладаетасимптотическим поведением (2.24), (2.25) с точностью до слагаемого 2mπ.

Целое число mопределяется из условия |p − (2m + 1)π| < π.Доказательство теоремы разбивается на два этапа. Сначала с помощью некоторой модификацииметода вариации постоянных исходное уравнение сводится к системе двух интегральных уравнений для варьируемых «постоянных». Методом последовательных приближений доказывается, чтосуществует решение этой системы, стремящееся к константе на бесконечности. Искомое асимптотическое разложение на n-м шаге получаем используя вычисленные по рекуррентным формуламn-е последовательные приближения для «постоянных». Доказывается, что построенной асимптотикой обладают все решения исходного уравнения, достаточно быстро стремящиеся к нулю набесконечности.

Далее для выделения таких решений по начальным условиям применяется второйметод Ляпунова. Доказывается асимптотическая устойчивость тривиального решения исходногоуравнения.Асимптотику в нуле удается получить для всех решений уравнения (2.21):$%C12 − 12C12z(t) = C1 ln t + C2 + − 2 sin θ − 22 cos θ t + O(t ),2C1 + 1C1 + 1и для производной:C1z (t) =+t1C1sin θ − 2cos θ + O(t),C12 + 1C1 + 1где θ = C1 ln t + C2 .2.6. Преобразование Бэклунда и солитонные решения.2.6.1.

Преобразование Бэклунда. Преобразование Бэклунда решения уравнения sin-Гордонаz(u, v) определяет другое решение уравнения sin-Гордона ζ(u, v) как решение следующей системыуравнений:ζ −zζ +z2, ζv = −zv + sin.(2.26)ζu = zu + 2p sin2p2Заметим, что решение этой системы не единственно. Общее решение зависит от одной произвольной постоянной, в качестве которой можно взять, например, ζ(0, 0).

Общее решение обозначимсимволом Bp z.Вывести соотношения (2.26) можно следующим образом [20]. Положимζu = P (zu , z, ζ),ζv = Q(zv , z, ζ),(2.27)где P и Q — некоторые функции. Дифференцируем первое уравнение по u, а второе — по v ииспользуем, что ζuv = sin ζ, zuv = sin z:P1 sin z + P2 zv + P3 Q = sin ζ,Q1 sin z + Q2 zu + Q3 P = sin ζ,(2.28)где индексами обозначены производные по соответствующим переменным. В уравнениях (2.28)предполагаем (z, zu , zv , ζ, ζu , ζv ) независимыми переменными. Дифференцируя первое уравнениесистемы (2.28) по zv , а второе — по zu , имеем Q11 = 0 и P11 = 0, поэтому P и Q являютсямногочленами первого порядка соответственно по zu и zv :P (zu , z, ζ) = P 1 (z, ζ) + P 2 (z, ζ)zu ,Q(zv , z, ζ) = Q1 (z, ζ) + Q2 (z, ζ)zv ,(2.29)где функции P 1 , P 2 , Q1 , Q2 подлежат дальнейшему определению.

Подставляя (2.29) в (2.28) исравнивая коэффициенты каждого уравнения при zu , zv , zu zv слева и справа, получаемQ1 P22 = 0,Q21 + Q22 P 2 = 0,P 1 Q22 = 0,P12 + P22 Q2 = 0,P11 + P21 Q2 = 0,Q11 + Q12 P 2 = 0.(2.30)24А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙИз первых четырех уравнений системы (2.30) находим P 2 = a = const, Q2 = b = const.

Подставляяв последние 2 уравнения, имеем следующую систему уравнений для определения P 1 , Q1q∂P 1 ∂P 1+= 0,∂ζ∂zp∂Q1 ∂Q1+= 0.∂ζ∂zРешая эту систему, находим, чтоP 1 = F (z − bζ),Q1 = G(z − aζ),(2.31)где F , G — некоторые функции. Подставляя найденные P 1 , P 2 , Q1 , Q2 в (2.29), а затем — в уравнения (2.28), получаем∂P 1 1Q = sin ζ − a sin z,∂ζP1∂Q1= sin ζ − b sin z.∂ζСкладывая эти уравнения и интегрируя по ζ, находимF (z − bζ) · G(z − aζ) = −2 cos ζ − (a + b)ζ sin z + C(z),где C(z) — некоторая функция. Перейдем в полученном уравнении к новым переменным x = z −bζ,y = z − aζ:x−yx−yax − byax − byF (x)G(y) = −2 cos− (a + b)sin+C.(2.32)a−ba−ba−ba−bx+y, поэтому22yG(y) = − sin ,p2Анализируя уравнение (2.32), находим a = −b = 1 и C = 2 cosxF (x) = 2p sin ,2(2.33)где p — произвольное число.

Подставляя найденные выражения в (2.29), а затем в (2.27), получаемискомые уравнения преобразования Бэклунда (2.26).Известно [43], что преобразования Бэклунда с различными параметрами перестановочны иp + q Bp z − Bq ztg(2.34)Bp Bq z = z + 4 arctgp−q4(формула Бьянки). Этот факт доказывается непосредственной проверкой того, что для любогорешения уравнения sin-Гордона z(u, v) функцияp + q zp − zqtgw = z + 4 arctgp−q4удовлетворяет системе уравнений (2.26) и по индексу p, и по индексу q, т.е.

w = Bp zq = Bq zp ,если zp = Bp z, zq = Bq z.Обобщение формулы Бьянки получается в рамках метода обратной задачи с помощью n-кратногопреобразования Дарбу [57]. Эта формула имеет вид [41]&&& k−1B pj z − z &Bpn Bpn−1 . . . Bp1 z − zk−1&&1 + i(−1)det &pjtg1 + i tg&44&& ,=& k−1Bp Bp. . .

Bp1 z − zBp z − z &&1 − i tg n n−11 − i(−1)k−1 tg jdet &pj&&44где · обозначает матрицу, элементы которой занумерованы индексами j, k, пробегающимизначения 1, 2, . . . , n. Ту же формулу можно записать и в экспоненциальной форме:&&& k−1B z−z &k−1 tg pj& det &p1+i(−1)& j&Bpn Bpn−1 . .

. Bp1 z − z4&& .=exp i(2.35)& k−1Bpj z − z &2k−1&&1 − i(−1)det &pjtg&4УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ252.6.2. Солитонные решения уравнения sin-Гордона. Односолитонное решение z(1) получаетсяприменением преобразования Бэклунда к тривиальному решению уравнения sin-Гордона z = 0.Действительно, в этом случае система (2.26) принимает видz(1)z(1)2, z(1) v = sinz(1) u = 2p sin2p2и допускает точное интегрирование:z(1) (u, v) = 4 arctg epu+v/p .В случае z = 0 формула (2.35) дает n-солитонное решение z(n) уравнения sin-Гордона, которое,таким образом, имеет вид&&&k−1 e pj u + v/pj &1+i(−1)det &pk−1&j&& .z(n) (u, v) = −2i ln&&det &pk−11 − i(−1)k−1 epj u+v/pj &jЕсли все pj — вещественные числа, полученное (вещественное) решение называется n-кинком.Если n = 2m четное, а комплексные числа pj разбиты на пары комплексно-сопряженных, тотакже получается вещественное решение, называемое m-бризером.

Решение, получаемое из nсолитонного (n − 1)-кратным предельным переходомp1 → p2 → . . . → pn = p,называется n-позитоном.В качестве примера рассмотрим n = 2. Двухсолитонное решение имеет вид%$p + q epu+v/p − equ+v/q.z(u, v) = 4 arctgp − q 1 + epu+v/p equ+v/qИз него получаем бризерное решение (p = a + ib, q = a − ib)a sin 2b u − 2(a2b+b2 ) vz(u, v) = 4 arctgb ch a2 u + 2(a2a+b2 ) vи двухпозитонное решениеz(u, v) = 4 arctgu − v/p2.ch(pu + v/p)2.7. Алгебро-геометрический подход.2.7.1. θ-функция Римана и римановы поверхности. Тета-функция Римана θ(x|B) от векторнойпеременной x ∈ Cg (где x предполагается вектором-столбцом, а g — натуральное число) определяется через g × g симметричную матрицу B, удовлетворяющую условию, что ее мнимая частьположительно определена (матрица Римана):TTeπik Bk+2πik x .θ(x|B) =k∈ZgЗдесь суммирование ведется по всем целочисленным векторам-столбцам k, T означает транспонирование, условие, наложенное на матрицу B, обеспечивает сходимость ряда (очевидно, привсех x ∈ Cg ).

Матрицу B в записи θ(x|B) опускают, если понятно о какой матрице идет речь.Рассмотрим кроме этого тета-функции с характеристиками a , a ∈ Rg :TT eπi(a + k) B(a + k) + 2πi(a + k) (a + x) .θ[a ; a ](x|B) =k∈ZgТеория тета-функций становится особенно содержательной (благодаря появляющимся новым соотношениям между тета-функциями) в случае, когда матрица B является матрицей периодов римановой поверхности функции f 2 (w) = P2g+1 (w), где P2g+1 — полином степени 2g + 1.

По поводу современного состояния теории тета-функций и их связи с римановыми поверхностями см. [6, 8, 18].26А. Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙ2.7.2. Конечнозонные решения. Связь теории тета-функций со многими уравнениями математической физики появляется как следствие тождества тройной секущей Фея [9, 12, 18, 52]. Мысформулируем в общих чертах лишь следствие этого важного тождества, справедливое для любойпары точек P , Q римановой поверхности функции f (w) и любого вектора x ∈ Cg : 2 ∂ ln θ(x)θ(x + y(P, Q))θ(x − y(P, Q))2T= β (P, Q) α(P, Q) + bPbQ ,θ2 (x)∂xi ∂xjгде α(P, Q), β 2 (P, Q) — числа, зависящие от точек P , Q, y(P, Q) — вектор, зависящий от P , Q,bP — вектор, зависящий от P , bQ — вектор, зависящий от Q, круглыми скобками в правой частиобозначена матрица, состоящая из вторых производных (гессиан) функции ln θ(x).

Если в качествеP, Q выбраны точки ветвления римановой поверхности иβ 2 (P, Q) = 1,то приведенное тождество переходит в уравнениеzuv = −4γ(P, Q) sin zдля функцииz(u, v) = πnT y − i lnθ(ubP + vbQ + c + y)θ(ubP + vbQ + c − y),θ2 (ubP + vbQ + c)Tгде целочисленный вектор n зависит от y, вектор c — произвольный, число γ(P, Q) = e−πin y , авекторы y, bP , bQ — те же, что и выше. Решения такого вида называются g-зонными решениямиуравнения sin-Гордона [12]. Дальнейшие исследования направлены на выявление вещественныхрешений (см. [9, 30, 31, 36]). Отметим глубокую связь конечнозонных решений с методом обратнойзадачи [13] и функциями Бейкера—Ахиезера [8].