Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия), страница 2

Из первого уравнения этой системынаходим, что тензор x является разложимым: x = a∧b. Из второго уравнения получаем: J a∧J b =a ∧ b. Следовательно, a ∧ b ∧ J a = 0 и, поэтому b = α · a + β · J a, где α, β ∈ R. Но тогдаx = a ∧ b = β · a ∧ J a.

) система (2) примет вид:В грассмановых координатах на P (W[p q][p q]J[u Jv] − δ[u δv] X uv = 0.X [uv X w]p = 0,(3)Следствие. Комплексное проективное пространство CPRn можно отождествить с алгебра ) системой уравнений (3). Подмногоическим многообразием U, которое определяется в P (W ) и проективногообразие U является пересечением грассманова многообразия G2,2n+2 ⊂ P (W2 +2nnn ). Биекция между CP и U устанавливается посред= P (V ) ⊂ P (Wподпространства RPRством отображения (1).2Теорема 1. Относительно вещественно-аналитических структур на CPRn и на RP n +2n2отображение σ : CPRn → RP n +2n , определяемое соотношением (1), является вещественноаналитическим вложением.Доказательство. Прямым вычислением находим, что в терминах однородных координат отображение σ определяется векторным уравнениемx = Re(z j z̄ k )ejk + Im(z j z̄ k )jk .(4)aa0aaВ аффинной карте CAR0 с координатами ξ = z /z = u + iv уравнение (4) перепишется в видеx ≡ z ∧ J z = e00 + 2ua e0a + 2v a 0a + (ua ub + v a v b )eab + (v a ub − ua v b )ab .(5)По аналогии с (5) отображение σ может быть представлено в произвольной аффинной карте CARk.Ясно, что σ — аналитическое вложениеВ дальнейшем подмногообразие σ(CPRn ) будем называть CP n -поверхностью.

Если ввести обозначение Z jk = U jk + iV jk , то (4) перепишется в координатном виде:Z jk σ ◦ π(z) = z j z̄ k .6В. В. КОННОВ2Таким образом, проективное пространство RP n +2n , объемлющее для CP n -поверхности, можно рассматривать как действительное проективное пространство, порожденное линейнымпространством V эрмитовых матриц порядка n + 1.

При этом CP n -поверхность порождена вP (V ) эрмитовыми матрицами ранга 1.Как отмечалось выше, CP n -поверхность U является сечением грассманова многообразия ) плоскостью P (V ) размерности n2 + 2n. Следует отметить, что такое сечение неG2,2n+2 ⊂ P (Wединственно. Аналогичные сечения получаются, если в качестве оператора J взять на W = Cn+1Rпроизвольную комплексную структуру (не обязательно стандартную).Пример. Известно, что комплексная проективная прямая CPR1 диффеоморфна двумерной сфереявляющейся базой классического расслоения Хопфа χ : S 3 → CPR1 ≡ S 2 . Покажем, что приn = 1 CP n -поверхность не только диффеоморфна, но и проективно эквивалентна сфере S 2 .Действительно, система параметрических уравнений CP 1 -поверхности в RP 3 запишется в видеS2,U 00 = |z 0 |2 ,U 11 = |z 1 |2 ,U 10 = |z 1 ||z 0 | cos α,V 10 = |z 1 ||z 0 | sin α.Здесь (U 00 , U 11 , U 10 , V 10 ) — проективные координаты в RP 3 ; (z 0 , z 1 ) — комплексные однородныекоординаты на CP 1 , α = Arg z 1 − Arg z 0 .

Так как |z 0 |2 + |z 1 |2 = 0, то обозначив |z 0 |2 + |z 1 |2 = ρ2 ,можем положить |z 0 | = ρ cos β, |z 1 | = ρ sin β, где ρ > 0. Рассмотрим проективное преобразование вRP 3 :X 0 = U 00 + U 11 ; X 1 = U 00 − U 11 ; X 2 = 2U 10 ; X 3 = 2V 10 .В новых координатах получимX 0 = ρ2 ,X 1 = ρ2 cos 2β,X 2 = ρ2 sin 2β cos α,X 3 = ρ2 sin 2β sin α.Следовательно,X 1X 1 + X 2X 2 + X 3X 3 = X 0X 0.В неоднородной системе координат x = X 1 /X 0 , y = X 2 /X 0 , z = X 3 /X 0 мы получаем стандартнуюсферу в R3 :x2 + y 2 + z 2 = 1.Замечание. В общем случае CP n -поверхность является алгебраическим многообразием степени ).

Здесь n(2n − 1) —2n(2n−1) , так как она является пересечением n(2n − 1) гиперквадрик в P (Wколичество независимых соотношений Плюккера.2. КОМПЛЕКСНАЯСТРУКТУРА НАCP n -ПОВЕРХНОСТИПерейдем к интерпретации основных инвариантов кэлеровой геометрии на CP n в терминахпостроенного вложения. Начнем с комплексной структуры. Оказывается, что комплексная структура на CP n -поверхности естественным образом индуцируется второй фундаментальной формойвложения σ.Пусть X = p(x) ∈ U, где вектор-функция x определяется уравнением (5). Точка X порождаетсяодномерным подпространством L{x} векторного пространства V . Пусть= L x, ea + ub eab + v b ba , a + v b eab + ub ab .VX /L{x} — касательное пространство поверхности U в точке X, N U ≡ V /V —Тогда TX U ≡ VXXXнормальное пространство поверхности U в точке X,+ 2 dua dub + dv a dv b (ξ, η)eab + 4dv [a dub] (ξ, η)abϕ(ξ, η)X = VX— вторая фундаментальная форма вложения σ, рассматриваемая как отображение ϕ : TX U TX U → NX U.

Здесь и далее символ обозначает симметрическое тензорное произведение1 .Теорема 2. Пусть η, ξ ∈ TX U — касательные векторы в некоторой точке X многообразияU = σ(CP n ). Тогда следующие два условия равносильны:(A) ϕ(ξ, η) = 0, ϕ(ξ, ξ) = ϕ(η, η);1Пример: ω θ(ξ, η) =12ω(ξ)θ(η) + ω(η)θ(ξ) .О ВЛОЖЕНИИ КОМПЛЕКСНОГО ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА7(B) ξ = J η, где J — оператор стандартной комплексной структуры в 2n-мерном арифметическом пространстве, = ±1.Доказательство. Пусть dua (ξ) = aa , dv a (ξ) = ba , dua (η) = xa , dv a (η) = y a . В координатахусловие (А) перепишется так:aa xb + ab xa + ba y b + bb y a = 0;aa y b − ab y a = ba xb − bb xa ;aa ab + ba bb = xa xb + y a y b ;xa y b − xb y a = aa bb − ab ba .(6)Интерпретируя (6) как систему алгебраических уравнений относительно 2n неизвествных xa и y a ,будем искать ее общее решение.

Для этого рассмотрим следующие четыре вектора в Rn : a = (aa ),b = (ba ), x = (xa ), y = (y a ). Теперь систему (6) можно переписать в тензорном виде:a x + b y = 0;(7a)a ∧ y = b ∧ x;(7b)a a + b b = x x + y y;(7c)x ∧ y = a ∧ b.(7d)1. Пусть векторы a и b не пропорциональны. Тогда a a, b b, a b — линейно независимыесимметрические тензоры в Rn Rn , а a ∧ b — ненулевой тензор из Rn ∧ Rn . Тензоры a a, b b,a b, a ∧ b образуют базис четырехмерного векторного пространства L{a, b} ⊗ L{a, b}. Из (7d)следуетx = αa + βb, y = λa + μb, αμ − λβ = 1.(8)Из (7b), используя (8), найдем μa ∧ b = αb ∧ a.

Поэтому μ = −α, и система (8) примет видx = αa + βb,y = λa − αb,α2 + λβ + 1 = 0.(9)Теперь из (7a) и (9) получимαa a − αb b + (β + λ)a b = 0.Следовательно, α = 0, λ = −β. Система (9) перепишется в виде:x = βb,y = −βa,Итак, векторы ξ и η связаны соотношениемη = J ξ,β 2 = 1.0 −In,In0где J = = ±1.Таким образом, справедливо условие (B).2. Пусть a = λb и b = 0. Из (7a) получаем b (λx + y) = 0. Следовательно, λx + y = 0, т.е.y = −λx.(10)Используя (7b) и (10) получим, что (λ2 + 1)b ∧ x = 0. Поэтому x = μb. Теперь равенство (7c)примет вид(λ2 + 1)(μ2 − 1)b b = 0.Тогда μ2 = 1.

Итак, имеемa = λb,x = μb,y = −λμb,μ2 = 1.Таким образом,x = μb,y = −μa,μ2 = 1,и мы вновь приходим к условию (B).3. Случай b = λa, где a = 0, доказывается по аналогии со случаем 2 после замены a ↔ b иx ↔ y.Заметим, что при b = 0 и a = 0 доказательство вытекает из случая 3 при λ = 0. Точно так жепри a = 0 и b = 0 доказательство получается из случая 2 при λ = 0.8В. В. КОННОВ4.

Пусть b = a = 0. Уравнения (7a) и (7b) удовлетворяются тождественно, а (7c) и (7d) принимают видx x + y y = 0, x ∧ y = 0.Эта система имеет единственное решение x = y = 0, и условие (B) вновь выполняется.Замечание. Следует отметить, что вторая фундаментальная форма вложения не зависит отметрики и является проективным инвариантом вложения. Это согласуется с тем фактом, что комплексная структура, которая индуцируется на CP n -поверхности второй фундаментальной формойвложения, является не U (n + 1)-инвариантом, а инвариантом группы GL(n + 1, C).3. КАНОНИЧЕСКАЯКЭЛЕРОВА МЕТРИКА НАCP n -ПОВЕРХНОСТИГеометрическую интерпретацию кэлеровой метрики на CP n -поверхности дает следующая теорема.22Теорема 3.

Пусть σ : CPRn → RP n +2n — вложение CPRn в RP n +2n в качестве CP n 2поверхности U. Если на RP n +2n фиксирована эллиптическая метрика постоянной секционнойкривизны 1/r2 , то первая квадратичная форма вложения σ совпадает с метрикой Фубини—Штуди постоянной голоморфной секционной кривизны 2/r2 .Доказательство. Стандартная метрика на Cn+1≡ R2n+2 ≡ W порождает естественную положиR = W ∧W :тельно определенную метрику g = ·, · на пространстве кососимметрических тензоров Weu ∧ ev , ep ∧ eq = δup δvq − δuq δvp .

. Ограничение метрики g на сферу S(r) определяет наПусть S(r) — гиперсфера радиуса r в W2S(r) метрику постоянной кривизны 1/r , которая является первой квадратичной формой вложения . Отождествляя P (W ) с S(r)/{id, − id} и учитывая тот факт, что p : S(r) → P (W) —S(r) в W ) существует единственная метрикауниверсальное накрытие, приходим к выводу, что на P (W(эллиптическая метрика кривизны 1/r2 ), для которой накрывающее отображение p являетсялокальной изометрией. Эту метрику будем снова обозначать через g = ·, ·. Найдем ограничениеметрики g на подмногообразие U = σ(CP n ), т.е. найдем первую квадратичную форму ds2r вложения ) — подпространство в W ), где V = ker(id −J .

Имеем:σ : CPRn → P (V ) ⊂ P (Wxz ∧ Jzxz ∧ Jz= r2 d, d.ds2r = r2 d , d|x||x||z ∧ J z||z ∧ J z|В локальных координатах ξ a = z a /z 0 = ua + iv a , соответствующих карте CAR0 , после вычисленийнайдем: n n nn k ¯k ¯k k k ¯kkk¯1+ξ ξdξ dξ −ξ dξξ dξk=1k=1k=1k=122.(11)dsr = 2r ·2nkk¯1+ξ ξk=1Следовательно, первая квадратичная форма вложения σ является метрикой Фубини–Штудиголоморфной секционной кривизны C = 2/r2 (см. [2, теорема 7.8]) ≡ (V )⊥ , где (V )⊥ — ортогональное доЗамечание. Используя изоморфизмы NX U ≡ V /VXXX , форму ϕ можно определить соотношениемполнение подпространства VX⊥ϕ(ξ, η) = d(dx(ξ))(η) ,где символ ⊥ означает проекцию на нормальное подпространство NX U. Тогда, производя вычисления, найдемds2r (ξ, ξ) = r ϕ(ξ, ξ), ϕ(ξ, ξ) = r|ϕ(ξ, ξ)|.(12)О ВЛОЖЕНИИ КОМПЛЕКСНОГО ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА9Из формулы (12) следует, в частности, что метрика Фубини—Штуди ds на CPRn единичной голоморфной кривизны (при r = 1) равна длине второй фундаментальной формы CP n поверхности:ds2 (ξ, ξ) = |ϕ(ξ, ξ)|.4.

АЛЬТЕРНАТИВНОЕОПРЕДЕЛЕНИЕCP n -ПОВЕРХНОСТИПриведем конструкцию, позволяющую дать альтернативное определение CP n -поверхности.Пусть G = U (n + 1) — группа Ли унитарных матриц порядка n + 1, g = u(n + 1) — ее алгебраЛи, Ad : G → End(g) — присоединенное представление,Adg ξ = gξg −1·, · — метрика Киллинга1∀g ∈ G, ∀ξ ∈ g,на g,ξ, η = − tr(ξ · η)∀ξ, η ∈ g.2Пусть теперь π0 : G → G/U (1)×U (n) ≡ CP n — каноническая проекция, p : g → P (g) ≡ RP n +2n —отображение проективизации, g = m ⊕ h0 ⊕ h1 — каноническое разложение алгебры Ли g, где h0и h1 — алгебры Ли групп U (1) и U (n), рассматриваемые как подалгебры в g = u(n + 1) пристандартном вложении, а m — ортогональное дополнение подалгебры h = h0 ⊕ h1 относительнометрики Киллинга ·, · на g.

В явном виде: λ 0 0 0 0 a n,h==a∈Cm=λ∈u(1),hA∈u(n).01−ā 00 0 0 A Ясно, чтоm, h0 = m, h1 = h0 , h1 = 0,[m, m] ⊂ h,[h0 , h0 ] = 0,[h1 , h1 ] ⊂ h1 ,[h0 , h1 ] = 0,[m, h] ⊂ m.(13)ПустьAd(h0 ) : g → Adg (h0 ) = gh0 g −1— отображение орбиты подпространства h0 , а2fˆ = p ◦ Ad(h0 ) : G → P (g) ≡ RP n +2n— индуцированное отображение. Непосредственная проверка показывает, что для каждой точкиZ = π0 (g) ∈ CP n отображение fˆ постоянно на π0−1 (Z).