Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия), страница 4

. . . . . . .2.7.3. Двухзонные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Псевдосферические поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1. Основные уравнения теории поверхностей . . . . . . . . . .3.2. Асимптотические координаты и чебышевские сети . . . . . .3.2.1. Асимптотические линии . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .3.2.2. Чебышевские сети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3. Поверхность с заданным сетевым углом . . . . . . . . .3.2.4. Ребра псевдосферической поверхности . . . . . . . . . .3.3. Координаты линий кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1. Основной триэдр поверхности . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2. Псевдосферическая поверхность в окрестности ребра . .3.3.3. Псевдосферические поверхности Иоахимсталя . . . . .

.3.4. Изотермические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.1. Модель Пуанкаре плоскости Λ2 . . . . . . . . . . . . . .3.4.2. Переход от чебышевских координат к изотермическим .3.5. Геометрическое преобразование Бэклунда . . . . . . . . . .3.6. Метод подвижного репера и формула Сима . . . . .

. . . . .3.7. Классические псевдосферические поверхности . . . . . . . .3.7.1. Винтовые псевдосферические поверхности . . . . . . . .3.7.2. Поверхности Амслера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.7.3. Двухсолитонные поверхности . . . . .

. . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c Ин-т кибернетики АН Грузии, 2005ISSN 1512–1712 ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................1415151619202121222323252525262627282929303132343435353838394042454547495014А.

Г. ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙ1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕОСНОВАНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ УРАВНЕНИЯ SIN-ГОРДОНАВ геометрии уравнение sin-Гордона связано с существованием на поверхностях в E3 специальных сетей, называемых чебышевскими. Эти сети характеризуются тем условием, что в каждомсетевом четырехугольнике противоположные стороны равны. Чебышевскую сеть образуют, например, нити куска ткани, натянутой на поверхность [35]. Пусть линии чебышевской сети взятыза координатные так, что координаты u и v являются их естественными параметрами (такие координаты будем называть чебышевскими) — в этом случае первая квадратичная форма поверхностипринимает видQ(u, v) = du2 + 2 cos z(u, v)dudv + dv 2 ,где z(u, v) — угол, под которым пересекаются линии чебышевской сети в точке (u, v).

Пусть гауссова кривизна поверхности в этих координатах равна K(u, v). П. Л. Чебышев показал, что уголz(u, v) удовлетворяет уравнению Чебышеваzuv = −K(u, v) sin z.На псевдосферической поверхности (K ≡ −1) чебышевскую сеть образуют асимптотические линии. Чтобы подчеркнуть выбор в качестве координат (u, v) естественных параметров этих линий,а также то, что в качестве чебышевской сети взята именно сеть асимптотических, будем называтькоординаты (u, v) асимптотическими чебышевскими координатами.

Обратим внимание на то,что при этом фиксируется определенный вид обеих квадратичных форм поверхности. Сетевой уголz(u, v) в этом случае должен удовлетворять уравнению sin-Гордонаzuv = sin z.(1.1)Псевдосферическая поверхность имеет метрику кривизны K ≡ −1, поэтому эту поверхностьможно рассматривать как изометрическое погружение фрагмента плоскости Лобачевского Λ2 вE3 . При этом подразумевается, что отображение r, переводящее каждую точку (u, v) некоторойобласти U ⊆ R2 в точку поверхности, трижды непрерывно дифференцируемо (регулярность погружения) и обладает тем свойством, что векторы ru , rv линейно независимы, т.е. 2 ru ru rv ru rv r2v = sin z = 0всюду в области U.В следующей фундаментальной теореме [4] фактически утверждается невозможность регулярного изометрического погружения всей плоскости Лобачевского Λ2 в E3 .Теорема 1.1 (Д.

Гильберт). В трехмерном евклидовом пространстве E3 не существует полной регулярной поверхности постоянной отрицательной кривизны.Доказательство теоремы (см. [4, 26]) опирается на следующее утверждение об уравнении sinГордона, также принадлежащее Гильберту.Лемма 1.1. Любое гладкое решение уравнения sin-Гордона достигает значений, кратных π.Псевдосферическая поверхность с заданным сетевым углом асимптотической чебышевской сетиможет быть «склеена» из своих асимптотических линий.

Э. Г. Позняк доказал [22] следующуютеорему.Теорема 1.2. Пусть функция z(u, v) ∈ C 4 (R2 ) — решение уравнения sin-Гордона. Тогда существует такая, заданная на всей плоскости (u, v), вектор-функция r(u, v), что график этойфункции в любой области, где z(u, v) = πn, представляет собой поверхность постояннойотрицательной кривизны K ≡ −1.

При этом координатная сеть (u, v) на указанной поверхности является сетью асимптотических линий, а z(u, v) — сетевой угол. Значениям z = πnсоответствуют особенности (ребра, острия) поверхности.УРАВНЕНИЕ SIN-ГОРДОНА И ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ2. МЕТОДЫ15ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ SIN-ГОРДОНАЭтот раздел посвящен рассмотрению различных методов построения решений уравнения sinГордона, рассматриваемых в контексте задач исследования псевдосферических поверхностей. Вначале первой части формулируются задачи Гурса и Коши для уравнения sin-Гордона, и доказывается существование и единственность решения.

Излагается метод разделения переменных,позволяющий получить важные с геометрической точки зрения решения уравнения sin-Гордона.Обсуждается возможность применения метода малого параметра к исследованию специальныхтипов решений уравнения sin-Гордона, связанных с характерными достаточно изученными классами псевдосферических поверхностей. Исследуются классы автомодельных решений типа бегущихволн и переменной t = uv. Анализируются соотношения, определяющие преобразование Бэклундадля уравнения sin-Гордона, формула суперпозиции Бьянки и ее обобщение. Дается определениекласса солитонных решений и проводится их классификация.

Обсуждается следствие тождестватройной секущей Фея, позволяющее получать конечнозонные решения уравнения sin-Гордона втерминах тета-функций Римана.2.1. Задача Гурса для уравнения sin-Гордона. Сформулируем для уравнения sin-Гордона (1.1)задачу Гурса:⎧⎪⎨ zuv = sin z,z(u0 , v) = ψ(v),(2.1)⎪⎩ z(u, v ) = ϕ(u),0с условием ψ(v0 ) = ϕ(u0 ), где ψ(v), ϕ(u) — заданные функции, определенные при v v0 и u u0соответственно.Не ограничивая общности можно провести замену u − u0 → u, v − v0 → v и считать u0 = 0,v0 = 0. В этих предположениях справедлива следующая теорема Л. Бьянки [43] о существованиии единственности решения задачи Гурса.Теорема 2.1. Если функции ϕ(u) ∈ C n [0, u1 ], ψ(v) ∈ C n [0, v1 ], n 2, то существует единственное решение z(u, v) ∈ C n ([0, u1 ] × [0, v1 ]) задачи Гурса (2.1).

Это решение может бытьпостроено как предел равномерно сходящейся последовательности {zk (u, v)}, рекуррентно заданной следующими соотношениями:z0 (u, v) = ϕ(u) + ψ(v) − ϕ(0),u vsin zk (ξ, η)dηdξ.zk+1 (u, v) = z0 (u, v) +0(2.2)(2.3)0Справедлива оценка|z(u, v)| |z0 (u, v)| + (euv − 1) min(1, m(u, v)),где m(u, v) = max{|z0 (ξ, η)| : 0 ξ u, 0 η v}.Доказательство.

Редуцируем задачу (1.1), (2.1) к интегральному уравнениюu vz(u, v) = ϕ(u) + ψ(v) − ϕ(0) +sin z(ξ, η)dηdξ.0(2.4)(2.5)0Это интегральное уравнение эквивалентно задаче Гурса в следующем смысле. Непрерывная на[0, u1 ] × [0, v1 ] функция z(u, v), являющаяся его решением, обладает непрерывной смешанной производной zuv (u, v) и удовлетворяет задаче Гурса. Напротив, классическое решение задачи Гурса,непрерывное на [0, u1 ] × [0, v1 ], удовлетворяет интегральному уравнению (2.5).Будем строить решение интегрального уравнения (2.5) методом последовательных приближений.Для этого, принимая обозначения (2.2), (2.3), представим zn (u, v) в виде суммыzn = z0 +nk=1(zk − zk−1 )(2.6)16А. Г.

ПОПОВ, Е. В. МАЕВСКИЙи оценим по модулю слагаемые в этой сумме. Имеем: u v sin z0 dηdξ min(1, max |z0 (u, v)|) uv,|z1 − z0 | = 0u 0 v zk + zk−1zk − zk−1|zk+1 − zk | = cosdηdξ 2 sin2200u v u vz−zkk−1 dηdξ 2 sin|zk − zk−1 | dηdξ,20000из чего получаем(uv)k.(2.7)k!2Переходя в (2.6) к пределу при n → ∞, убеждаемся, что решение задачи Гурса существует,поскольку ряд∞(zk − zk−1 ),(2.8)z = z0 +|zk − zk−1 | min(1, m(u, v))k=1в силу полученной оценки (2.7), сходится равномерно на любом компакте. Неравенство (2.4) вформулировке теоремы следует из (2.7).Из соотношения (2.3) видно, что если z0 (u, v) ∈ C n ([0, u1 ]×[0, v1 ]) и zk (u, v) ∈ C n ([0, u1 ]×[0, v1 ]),то zk+1 (u, v) ∈ C n ([0, u1 ] × [0, v1 ]).

Поэтому, в силу равномерной сходимости ряда (2.8), классгладкости решения z(u, v) совпадает с классом гладкости функции z0 (u, v).Докажем, что решение z(u, v), определенное формулой (2.8) — единственное решение задачиГурса. Пусть ζ(u, v) — другое решение интегрального уравнения (2.5). Вычитая (2.3) из тождества(2.5), записанного для ζ, имеем|ζ − z0 | Mи, соответственно, u v u v u vζ+zζ−zζ−zkkk dηdξ |ζ − zk+1 | = cosdηdξ 2 sin2 sin|ζ − zk−1 | dηdξ.222 000000Следовательно, при любом k справедливо неравенство|ζ − zk | M(uv)k,k!2доказывающее, что разность |ζ − z| является сколь угодно малой.