Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 7

Образуем функцию которал удовлетворяет уравнению (Ш.1) как сумма частных решений этого уравнения, если производные можно вычислять путем дифференцирования под знаком интеграла. Используя на- чальные условия, имеем С(й) = — ~ Т®е 'в4Ц. 1 1 21г (П1,19) Подставляя выражение (Ш.19) в (П1.18) и меняя порядок интегрирования, получаем +00 +00 гь, ~= — ! ( |Ц0 "ц).-""~"г— 21г,/ - — ' | ) |.-""~0О-Оа) Ог1ц. (пио~ 2х,/ Козффипиенты С(х) найдем по формуле обратного преобразования интеграла Фурье, т.е. представляет собой температуру в точке х в момент времени г, если в начальный момент времени г ж ге в точке с координатой 4 выделяется количество теплоты Я ю ср (злясь ге можно принять равным нулю, с — теплоемкость, р — плотность материала стержня).

Действительно, функпия (П1.23) удовлетворяет уравнению теплопроводности (Ш.1), так как дб ! а* = г 2ь<, „~~О дхз 2х ~ 2(а(, ))з/з 4(а(, г,))Ъ3 ',1 2(а(т — гв)) ~й 4(а(т — гп)) /З1 +оо О- — е О~ ~+'~(О-О) ~гх — е 4а~), (Ш,21) 2фат Это выражение называется йзридамекггмьаьмамв решеиием рраемемих тегьаовроеодмосггзи.

Решение называется также функпней источника иа бесконечной прямой и обозначается 1 (О с)~ С(х, с, т) = — е 40г 2~/хат (П1.22) Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция ОО,Г, -~)= . "~ -~~ ОП2з) ЪР ( Интеграл, заключенный в скобки, после преобразований принимает вид и, следовательно, дб дз6' — =а— дт дхз' Количество теплоты, находящееся в стержне в момент г) ге, +ОО + 1х-с)з ср 6(х, С, г — гв)<Ь = Я/~/и) с 40(г г0 2а(г — ге) -00 -00 +ОО =(1;г/с/х) е а йг=Я=рс, (1П.24) -00 так как +оо ,1х ~ з о— Йз = 1 — и =,/.

2,Я - ОГ 2~/Ь7 — 0) / Как следует из уравнения (П1.24), количество теплоты в стержне ые меняется с течением времени. Фупкпия (П1.23) зависит от времени только через и = а(т — те), и ее можно записать так: 1 1 10-41~ (П1.25) 2с/х /й Вид фуыкции 6 представлен ыа рис. П1.1, из которого следует, что почти вся площадь под кривой находится над промежутком (4 — е) — (~ + е) где е может быть сколь угоди 4РР по малым числом, если и = а(т — те) достаточно мало. и 'Р,l Плошадь под крявой, умпожеппвл па ср, равна количеству теплоты подведенному в пачальРыс. 111.1.

Выл фуияапи О пый момент. Лля малых зпа- ченый и почти вся теплота сосредоточивается в малой окрестыосты точки ~. Следовательпо, в момент т = тв все количество теплоты сосредоточено в точке ~, а температура в точке при малых и неограниченно велика,. Интересно отметить следующее: формула (П1.23) показывает, что во всякой точке х температура, создаваемая мгновенным точечным источником теплоты, действующим в начальный момент т = О, отлична от пуля для сколь угодно малых моментов времени. Этот результат можно рассматривать как следствие быстрого распространения температуры, а следовательно, и теплоты. Однако это противоречит молекулярно-кинетическим представлениям о природе теплоты. Несоответствие объясняется применением при выводе дифференциального уравнения теплопроводпости феноменологических представлепый о переносе теплоты, пе учитывающих инерционность движения молекул.

Возвращаясь к выражению (П1.20), запишем его в виде +00 1 Ь-11 Т(х, т) = — / Т(г) е зФ с1с. (П1.26) ~4ахт 64 Эта формула и является общим решением задачи определения температурного поля в пеограпычеппом одпомерпом теле.,Пля начального момента времени уравнение (П1.26) представляет собой замену начального распределения ' температуры суммой частных решений (рис. П!.2). Мегподы интегральных преобразований. Для решения многих задач теплопроводности классические методы оказываются недостаточ- РИС 111 П НВЧаааыов Рав- аределваые температуры ными, в связи с чем в пастоящее время нашли широкое применение различные методы интегральных преобразований дифференциальных уравпепый и грапичвых условий. Сущность методов интегральных преобразований состоит в том, что изучаются пе сами фупкции, определяемые постановкой задачи, а их видоизменение — так называемое изображение; сама же функция называется оригиналом.

Если преобразование берется по пространственной координате х, то интегральное преобразоваиие функции оригинала /(х) может быть представлено в виде Др) = Й(р, х) 1(х) Их, (П1.27) 0 где Др) — изображение функции 1(х); й(р, х) — ядро преобразования, "р — некоторый параметр. Пределы интегрирования могут быть как бесконечными, так п конечными, В последнем случае интегральное преобразование иазывается конечным и имеет выд Др) = х(р, х) 1(х) ах. в аб У(*) = — / У(р) с-'Р* 1р 1 ~/2я / (П1.31) ув >-»>в> 1>ь> в~> >в> О й(р, х) = ~/2/яг звп(рх); й(р> х) = /2/х ° соз(ря). (Ш.32) (П1.28) й(р *) = у(~ ) (Ш.ЗЗ) У(г) = г ~(р) Ятр) ввр о (П1.34) — для преобразования Ханкеля; а+все 1(р) = ят)е р~ввт.

о 2кв,/ 1 (П1.35) (П1.30) Вид ядра преобразования определяется условиями рассма триваемой задачи. Так, для тел неограниченной протяженности удобно пряменять комплексное преобразование Фурье, для которого Й(р, *) = — с я и пределы интегрирования в уравврв Лк ненни берутся от -оо до +оо. При задании на поверхности тела граничных условий 1рода (задано значение функции) следует использовать синус-преобразование Фурье, а прн граничных условиях П рода — косинус- преобразование Фурье.

Прн этом ядра преобразований соответственно имеют вид Для тел с осевой симметрией (например, для цилиндра) ядром преобразования должна быть функпия Бесселя: (П1.29) где г — независимзл переменная, изменяющаяся от 0 до Л (Л— наружный радиус); Ярг) — функция Бесселя. Интегральное преобразование в этом случае носит название преобразования Ханкеля. При решении задач нестационарной теплопроводности наибольшее распространение получили метод интегрального преобразования Лапласа и операционный метод Хевисайда. В первом из них интегральное преобразование зависящей от времени функпии 1(т) определяется формулой Применение метода интегральных преобразований к дифференпнальным уравнениям в частных производных позволяет получить для одномерного случал обыкновенное дифференциальное уравнение относительно изображения.

Применение же интегрального преобразования к обыкновенным дифференпиальным уравнениям переводит их в алгебраические относительно изображений. Отыскивая затем значение функции, являющей- ся изображением, необходимо (для решения задачи) перейти к оригиналу. Этот переход осуществляется по так называемым формулам обращения: — для комплексного преобразования Фурье; — для синус-преобразования Фурье; >> >=>>в> ~>в» в >в> 0 — для косинус-преобразования Фурье; — для преобразования Лапласа. В связи с широким дрименением операционного метода рассмотрим его несколько подробнее. Преобразование Лапласа осуществляется в соответствии с формулой (П1.30), где параметр р = и+ в4 — некоторая комплексная величина, которая при постоянной ~, а С, изменяющейся от Рис.

1П.З. Рпласть сувзествовеюы азонразсеиия У(з) Фуикзпся У(г) при 1(т) = Ст 1(р) = С т е вг йт = С(рз; е (Ш.37) при У(т) = сьс (т > 0) Дт)=0 при т <О. (П1.38) !У(т)~ < Мее" при т < О, Если же Дт) = с ег, то У(р) = —. 1 р+ й' 011.39) (1П.40) яв вв -оо до +ос, меняется от а' — 1оо до и+ 1ао (рис. 1П.З), пробегая в комплексной области р прямую Ке(р) = а, параллельную мнимой оси. Преобразованию Лапласа могут быть подвергнуты функции со следующими свойствами: 1. При отрицательных значениях аргумента функция равна нулю, т.е. 2, При положительных значениях аргумента порядок роста абсолютных значений фунхпии при возрастании аргумента не превосходит порядка роста некоторой показательной функции: где М вЂ” константа.

Например, функция ег не имеет изображения„так как интеграл Лапласа расходится. 3. функция у(т) должна удовлетворять условиям Пирнхле, т.е. интервал, на котором определена функдия Дт), может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых Дт) непрерывна и монотонна, и во всякой точке разрыва значения функпий ~(т+ 0) и Дт — 0) существуют. Прн указанных ограничениях изображение ~(р) является аналитической функпией в правой полуплосхостн от прямой Ве(Р) = с'о (см. рис. П1.3), т.е.

функция у(р) имеет производные всех порядков в указанной области и все ее особые точки расположены в комплексной области слева от прямой ее. Для частных случаев функции Дт) функпия Др) имеет следующий вид: пря у(т) ж С = сопв$ (т > О) Др) = Се й'= (С/ Р)с я = СФр р> 0' (П1 36) о ~о У(р) = с (я )'от = —, р> Уе. р — й' о В справочниках и литературе по операционному исчислению приведены изображения для различных функций-оригиналов. Основные свойства преобразования Лапласа.

1. Линейность. Если С = сопзз и оригиналу Дт) соответствует изображение у(р), то функции С Ят) соответствует изображение С У(р). Палее, если функции Ят) и Цт) имеют соответственно изображения ~~(р) и Яр), то справедливо равенство т.е. изображение суммы оригиналов равно сумме изображений этих оригиналов. Например: /(т) ж о1п(ыт) = —. е+~~ — е в"~ 2$ ~, тогда 1 / 1 1 1 ы У(р) = —. ~ —. — —.~ = —,; 2(1,р-( р+( ) р +. ' 1/+, /(т) сов(мт) 'е+ыт+е-от 2~ изображение имеет вид /(р) = 2 + ) = г 1 1 ~ р ,4. Ц „г+,„г 2. Изображение производной.

Если ~р(т) = /~(т), то, используя правило интегрирования по частям, получаем ОО 00 у(р) = р(т) е Ртйт = е Рт/(т)~ + р /(т) е Рт йт. (П1.41) 1о 0 О Если /(т) принадлежит к функциям со свойствами 1 — 3 (СМ. ВЫШЕ), тО у(т)Е Рт -+ 0 Прн т -+ ОО Н Е Рт/(т) -+ /(О) при т -+ О. В этом случае выражение (П1.41) приводится к виду у(р) = У (р) = р/(р) — /(0), (П1.42) Для производной второго порядка ф(т) = /о(т) можно записать 00 Ов Цр) = /в(т)е Ртйт = е Рт/'(т) +р /'(т)е Р~йт = о о 00 =-/'(О)+р е Рт/(т) +р /(т)е Ртйт ж О ж рг/(р) — р /(0) — /'(О).

(П1.43) В общем случае, если Г(т) = /(в)(т), изображение этой функция определяется по формуле у(р) = /(в)(т)е Р лт= 0 = "/(р) - ("-')/(о) - ("-')/'(о) - ... - /("-')(0). (ш. ) Для отыскания первообразной функции оригинала по ее изображению можно воспользоваться формулок (П1.35), Методика интегрирования в комплексной плоскости детально изложена в руководствах по теории функций комплексного переменного, однако чаще пользуются уже готовыми таблипами для оригиналов н изображений (24).