Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 11

Не приводя всех вычислений, ограничимся конечным результатом: д ~ 2(з1пн; — % созн;) з?п(н;т/ЛО) -езус до ~' н; — сйп н; соз н; н1т/Ло ?ж1 дд — = е дт дд дт= дд — =О дт до =1ж при т = О (из условия симметрии); (П1.174) — 10 при т = О, О < т < Во. (1П.175) 102 102 (Ш.177) $8в = -и/(В1 — 1), При В1 -+ оо и; = иг и 2(з1пп; — и; сояп;) ( );+1 и; — в1пп; сове; 55 Ся Ст з(п(~/ЗВ1 г/Ле) ехр( — ЗВ! го ).

/ЗВ /Л, (Ш.179) 4 С~~ = — тЯЕрС (1и — 1Е) 3 (П1.182) а сю1 1 106 где и; — корень характеристического уравнения В результате уравнение (П1.176) принимает вид 9 = ~) 2(-1)'+ —. ап( — ) ехр(-пЗГо). (П1.178) При малых значениях В( (В( ( О, 1) значения С; стремятся к нулю, за исключением С1 = 1 и пз1 - -ЗВ(, когда 9 определяется выражением При значениях го > О, 25 для определения 6 можно воспользоваться первым членом ряда в уравнении (П1.176): 2 (61п П1 — п1 сов пг) 5!п(пгг/ЯО) ( яр (п1 — 51п п1 соз п1 ) пг г/ЯО Для определения значения гз в пентре шара (рис. 1П.15, а) нли на его поверхности (рис.П1.15, 6) могут быть использованы графики, где число В( является параметром, а число го — аргументом.

По аналогии с пластиной и цилиндром количество теплоты, воспринимаемой шаром за период времени г = О... тс, определяем из уравнения 455 С 5 5 55 И Гз сз Цг С(С Я55 455 Я55 Я5С С(5 С Сг г С5 5 5 б Рис. Н1,1В. Зависимость безразмерного перепада температур в центре шара (а) и иа его поверхности (Е) от чисел Фурье и Био Рис. 111.16. Грс~- И фвк дла определения количества 4 теплоты, воспринимаемой шаром Из выРажении (?П.181) следУет, что Яг/Ясо = У(В1 ~ Го) поэтому определить Чг/ф„, можно с помощью графика, приведенного на рис. П1.16. Здесь — полное приращение энтальпии шара прн нагреве до ги. (П1.185) 00 д = ~~~ А1Е; е "' ', 1~1 (П1,183) (П1.184) ш = п1~а/Р.

Нсэа ту- гпгг тглг Рвс, 1П.1В. Скехв эксвервмевтэльиой устэвоэкв длк взмереввк коэффвивевта теииературоироэодвости методов регулярвого реиииэ Рвс. 111.17. Зависимость ло- гарифма изаыточиой теиие- ратуры от времеви гет 1ЕЕ 111.8. Регулярпый ре:пим процессов теплопровод ности Регулярным пзеплоеэьм режимом называют нестационарный пропесс теплопроводности, при котором поле избыточной температуры д автомодельно по времени, т.е.

остается подобным при изменении времени. Анализируя решения, полученные для тел различной формы (пластины, цилиндра, шара), приходны к выводу, что выражение избыточной температуры может быть представлено рядом: где А; — постоянные коэффициенты, зависящие от заданных начальных условий (числа В1 ) и не зависящие ни от координат, ни от времени; г'; — функция, зависящая от координат и числа В1, Специфика геометрической формы учитывается видом множителей А;, г;. Лля первого члена ряда множитель при т (входящий в Го) называют тпемпом регулярного режима: При малых значениях т поле избыточной температуры определяется по формуле (П1.183), т.е.

на распределение избыточной температуры оказывают влияние не только первый, но и последующий члены ряда. В этот период на формирование поля избыточной температуры существенно влияет начальное распределение температур в теле. Этот период называется неупорядоченным неспзаиионарным процессом. Так как собственные значения и; возрастают с увеличением индекса 1, то каждый последующий член ряда (П1.183) меньше предыдущего. Это убывание тем значительнее, чем больше т. Начиная с некоторого значения т (го > 0,3) поле избыточной температуры с достаточной точностью описывается первым членом ряда (П1.183), с этого момента начальные условия игра- ют второстепенную роль: д = А1Г1 е ыт <Р(я) е тт Этот период н называется реерларным режимом. Кз уравнения (Ш.185) прн,его логарифмировании следует, 1пд = -озт+ сопэ$, (1П.186) т.е.

натуральный логарифм избыточной температуры изменяется во времени по линейному закону, На рис. Ш.17 представлена эта зависимость для двух точек тела (к = 0; к = 1) при его охлаждении. Продифференцнровав уравнение (1П.186) по времени, получим 1 дд — — = -пз = сопэ$. д от (1П.187) Темп охлаждения, как следует из этого выражения, представляет собой относительную скорость изменения температуры в теле. Из формулы (1П.185) вытекают следующие свойства регулярного режима: 1) темп регулярного режима не зависит ни от координат, ни от времени; 2) темп охлаждения гп определяется геометрической формой и размерами тела> его теплопроводностью и условнямк теплоотдачи на поверхности тела; 3) если система плотно соприкасающихся тел находится и регулярном режиме, то все тела этой системы имеют одинаковый темп, Свойства регулярного режима широко используются при экспериментальном определении коэффициентов температуропроводностк и теплоотдачи.

Пля измерения коэффициента температуропроводности испытуемое тело помешают в термостат, в котором поддерживают постоянную температуру жидкости (рис. 111.18). Жидкость приводится в движение винтом и интенсивно омывает поверхность тела. Пвумя термоп арами измеряется перепад температур д = 1 — 1ж в любой точке тела в различные моменты времени.

По результатам измерений строят график в полулогарифмнческих координатах 1п б, т (см. рнс. 1П.17). Темп гп определяют вычислением углового коэффициента прямой линии, которую образуют экспериментальные точки после установленкя регулярного режима. Коэффициент температуропроводности находят по формуле а = ггг(6/в1) . Значение в1 зависит от числа В1 и от формы тела, однако, если проводить эксперимент при В1 ) 100, то тц принимает вполне определенное значение. Например, для пластины и1 = я/2, тогда имеем а = ез(2б/я)з.

Таким образом, этот метод определения теплопроводности пригоден для веществ с низкой теплопроводностью (Л < 0,5 Вт/(м К)). Пействительно, при проведении опыта необходимо обеспечить В1 > 100, следовательно, Л < ггпу/100. Значение ко~ аман е эфф пи нта теплоотдачи а в термостатах обычно не превышает 2000 ВтПмэ К = 0,05м. Сле о . Следовательно, Л = гг5/В1 = 2000 0 05/(2 100 ние е /( ° ). Это обстоятельство ограничивает н т нспользовэ; нцнента темперар гулярного режима для измерения ко н н туропроводности в лабораторных условиях. м Свойства регулярного режима можно использовать ерення коэффициентов теплоотдачн.

н для изРассмотрим тело с объемом У н поверхностью К о емое в потоке ж , охлаждае жидкости так, что число Бно мало (В1 < 1). ется близким к Распределение температуры в теле с малым Б м числом ио являтела1х х в ется изким к равномерному, т.е. температура в любо" и точке (, у, х) в данный момент времени т лишь незначительно отличается от средней по объему темпе ат ы 1 момент времени 1 1к = г, / Ф(х, у, х) иК (1П.188) д$ -Лд ~ =а(Мл=о — Фж) в а=о Интегрируя уравнение (Ш.189) по объему У, имеем д1 — г1г' = е й»(йгаг11)(й.

У (П1.190) (Ш.191) Уч и выР нни (1П 188) и пишем так: я . пере- (П1.192) о Р уры в теле определяется уравнением Распределение темпе ат ы Фурье Ю вЂ” = а г11ч (бган $) (111.189) и граничным условием 1ОВ 109 Йг 1' — = — Р(1г — 1и). Йт ср й~ У вЂ” = — — Г (Ь вЂ” 1в) й рс (Ш.194) в1 м ф.РЗ/срУ; а = гдсрУ/Ф'г'. или 4=Се а/ (П1.196) а = тсрУ/Г, $$ Рис. П1.10. Зависимость козффвцвевта 0 от критерва В1 Рис. П1.яв. Зависимость темпа оклавдаввл м от козффициевта тавлоотдачи а 110 Правую же часть выражены (П1.191) па осиоваиии теоремы Ост- роградского-Гаусса и условия (П1.190) приведем к виду / д1~ а Йт (бган 4) ИУ = а ~1— Вв!а=э Р ( „, -1 )~~ = - — ц~(1г-1 ) (111.193) рс рс где а — средний по площади коэффициент теплоотдэ,чи; $г — средняя температура по поверхности.

Таким образом, из уравнений (П1.192) и (Ш.193), принимая 1г = 1г, имеем — = -тб, (П1.195) й где пз = ИХ/рсУ; Э = 1т — 1в. Общий интеграл уравнения (П1.195) Следовательно, и в рассматриваемом случае (для средних температур и коэффициентов теплоотдачи) имеет место экспонеипиальный регулярный режим. Параметр вз является темпом изменения во времени средней по объему температуры. Таким образом, для иахождеиия среднего по поверхности тела козффидиеита теплоотдачи а при малом числе Био (В1 < 1) следует пользоваться выражением где темп пз определяют способом, описанным выше.

Такой метод получения среднего значения коэффипиевта теплоотдачи на поверхности тела применим только при небольших температурных иапорах, когда теплофизические параметры жидкости и тела можно считать постояипыми. Использоваиие регулярного режима для определения в лабораторных условиях коэффициента теплоотдачи при внешнем обтекании тела ограничено невысоким зпачением этого козффипиента. Действительно, если припять в качестве исходных параметров б < 0,025м, "Л < ЗЗОВт/(и К); Вй < 0,1, то а < 0,1 330/0,025 в 1300Вт/(мз К). В общем случае, когда 1г ~ 1г, уравнение (1П.199) принимает вид Вводя коэффициент ф = 1г/1г и считая его постоянным по вре- мени, получаем Коэффипиент ф пазывается критерием неравномерности температурного поля и его зпаченяе зависит от формы тела и числа В1, На рис.

П1.19 показана зависимость ф от числа В1 для шара. При В1 -+ ао ~6 -+ О,и распределение температур в теле равномерное. Неравномерное распределение темдератур наблюдается при ф- О. при граничных условиях (1П.198) (П1.202) д1 дгг = а дт дхг (П1.197) 113 На рис. П1.20 показана зависимость темпа охлаждения ти от коэффициента теплоотдачи о. При а -~ оо значение ш становится прямо пропорционально температуропроводности тела (первэл теорема Кондратьева): Коэффициент пропорциональности й зависит лишь от формы и размеров тела. Например, для шара и = йг/яг, 1П.9. Периодические тепловые процессы В технике встречается ряц устройств, в которых повторение рабочего никла сопровождается пебиодическим процессом тепло- обмена, т.е.