Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 12

имеет место периодическое изменение температурного поля, назваемое гвеолоаььми валаама, Примером такого процесса может служить изменение температуры в элементах конструкции двигателей внутреннего сгорания, регенераторов, в элементах зданий, подвергающихся периодическому воздействию солнечной радиапии и т.п. В этих случаях закон изменения температурного поля не зависит от начального состояния системы, а определяется некоторой периодической функцией времени.

Решение дифференпиального уравнения теплопроводности может быть осуществлено методом разделения переменных при условии, что функпия р(т), зависящая от времени, должна быть периодической. Такому условию удовлетворяет зкспоненциальнал функция от мнимого аргумента ~р(т) = е'ЬРО (1 = ~/ — 1), которал также справедлива и для дифференпиального уравнения теплопроводности. В качестве примера решения задачи с периодически меняюшимся температурным полем рассмотрим полубесконечное твердое тело, температура поверхности которого периодически изменяется во времени.

Задача сводится к решению уравнения 1т=Дт) прн х=О; 1ф оо прн х-~ оо. Если решение искать в виде $ = ~р(т) ф(х), (П1.199) то в результате приходим к двум дифференциальным уравнениям ~р'(т) — (кй) а ~р(т) = 0; фа(х) — (~1х) Ф(х) = О, (Ш.200) из решения которых получаем С е~ Ьете+с4 /Б'. (П1.201) Это выражение представляет собой четыре частных решения, которые (с учетом того, что з/-Т = ~(1+ в)1/172) имеют вид ~,=с, р~-у- + р — у-,)].

гг = Сг ехр -у — х — 1 ~йат — ~( — х~ 11 = Сз ехр у — х + 1 ~йат — 1~ — х) . ц=с, р[~- — (ю -7-,)]. Из этих частных решений два последних не удовлетворяют физическим условиям задачи, так как температура не должна возрастать бесконечно с ростом х.

Таким образом, решения 11 и 14 должны быть отброшены, а оставшиеся 11 и гг дают в сумме частное решение вида ~=.-'/1'[с,.'~~ -ля >~с,.-'(~ -4ег ~1 ~шюз) $ 2хат — — ~ — х ж 2ииг. ЧатО (П1.211) то 1 / то тввх = гг' + 1,1 а 2 у' ахп (П1.212) (П1.207) 6 = 2~/Бч7 .

(1П.213) (П1.209) 1 = $егвх сов(2хпт/то), 11В 114 илн, переходя к тригонометрическим функпням, ю = " Л* [А (Й - ~ - ) +В $ ~й — г - )], оп.204) где постоянные А, В и й определяются из граничных условии. Так как функдия гст = /(т) является периодической, то ее можно выразить рядом Фурье: Прн х = О уравнение (П1.204) принимает вид 1 о = А сов(йат) + В вт(хат), (Ш 206) Из сравнения выражений (П1,205) и (П1.206) следует А = а„; В = Ь„; й = 2ха/ато. Постоянный член ао/2 в уравнении (П1.205), представляющий собой среднее значение колеблющейся температуры прн х = О, не дходит в решение (Ш.204), поскольку отражает начальную неравномерность в момент времени т = О.

Таким образом, для достаточно большого значения т решение (П1.204) будет следующим: 1 =,) )е У вгв ~ая сов( — т — ~ — и)+ ~ то ~/ ато в~1 Ч-Ь й ( — — д — *)~. ~ХП.1ОВ) гйхаг Яв то ~( ато Для более простого случая, если рассматривать колебания температуры поверхности около среднего значения по закону решение (П1.208) сводится к выражению —;/Фв г 2х г /ха 1 = ггввх е т» сов~ — — ( — х~, (П1 210) го у' ато где 1вгвх — максимальное абсолютное значение температуры поверхности (макснмвльнел амплитуда). Максимальное значение температуры имеет место при сов 2ииг = +1, т.е. при гтг = О, 1, 2, 3,..., илн Момент времени, при котором температура достигает максимального значения, Отсюда следует, что колебания температуры имеют один и тот же период то/а, однако на расстоянии х от поверхности они за- 1 паздывают по фазе на -~ — х и, кроме того, амплитуда коле- 2 у' ахи баний уменьшается нз-за наличия множителя ехр -~ — х!.

ате Длину тепловой волны можно определить, приравняв период колебаний температуры нх запаздыванию по фазе: Определив значение градиента температуры на поверхности тела /ха . г'2хат из = — /2 ( — в1п~ — — -), (Ш.214) 'у ато '1, то 4) ' находим тепловой поток через поверхность тела по формуле (П1.215) а = -лк — 4 . Интегрирование градиента температуры за полный период тает нулевое значение теплового потока, за полупериод же имеем 2„ ззв П1.10. Числеииые методы решения задач теплопроводиости Как уже было показано, в простейших случаях решение уравнения теплопроводности может быть получено точными аналитическими методами.

Однако для многих задач теплопроводностн, встречающихся в современной технике, эти методы оказываются неприемлемыми. Например, если неограниченная плоскэл стенка с обеих сторон омывается потоком нагретого газа с переменной (по времени) температурой и коэффипиентом тепло- отдачи, аналитическое решение этой сравнительно простой задачи, связанной с определением температурного поля в стенке, в общем случае затруднено. Кроме того, полученное решение оказывается настолько громоздким, что без последующего программирования> расчета на ЭВМ и составления таблип или построения номограмм оказывается малопригодным для технических приложений. Помимо переменных граничных условий при интенсивном теплообмене и больших перепадах температур, имеющих место в ракетной, космической, ядерной и многих других областях техники, возникает необходимость учета лучистого теплообмена на гранипах тела, изменения физических свойств материала с температурой, внутренних источников теплоты и фазовых переходов.

Поэтому решение многомерных нелинейных задач теплопроводности точными аналитическими методами без упрощающих предположений не представляется возможным. В этом случае дТ дзТ вЂ” =а— дт дхз (П1.217) шт наиболее эффективными оказывакпся приближенные численные методы. йля решения дифференпнальных уравнений теплопроводности наибольшее распространение получил метод конечных разностей или сеток.

Конечно-разностные методы решения уравнений в частных производных были предложены еще в 30-х годах, но массовое распространение получили лишь после появления быстродействующих ЭВМ с достаточно большим объемом оперативной памяти. При численном решении задача ревностным методом нельзя получить решение во всех точках некоторой области пространства. Приближенное решение может быть получено лишь в некотором конечном множестве точек, называемых свгоиое.

Продедура численного решения начинается с замены цифференпиального уравнения его конечно-разностным аналогом. Чтобы написать разностный аналог исходного дифференпиального уравнения, необходимо, во-первых, заменить область непрерывного изменения аргумента дискретной областью н, вовторых, заменить дифференциальный оператор уравнения так называемым разностным оператором. После этого задача о приближенном численном решении днфференпиального уравнения сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, т.е.

системы конечно-разностных уравнений. Близость приближенного (разностного) решения к точному будет зависеть от выбора сетки. Рассмотрим численные методы решения наиболее простых задач нестапионарной теплонроводностн. Зля численного решения таких задач могут быть использованы разностные уравнения, составленные как по так называемой явной, так и неявной конечно-разностной схеме. Явные конечно-раэиосшиые уравнения. При разностном решении одномерного уравнения теплопроводности т,.', — гтй+ т,.", Т~+ -Тй 3 1 (П1.218) дг (Ьх)з 11В входящие в него производные приближенно представляются (ап- проксимируются) производными в конечных разностях: Тв+1 тй дт дт Ьт дх Ьх ' дх Ьх Прн этом разностный аналог дифференпиального уравнения теплопроводностн примет вид В уравнении (П1.218) значения частных производных от температуры Т по времени т н от температуры по координате х заменены их приближенными значениями, а соответствующие дифференциалы — конечными приращениями.

В частности, Ьх и Ьт — зто малые приращения независимых переменных х и т (Ьх— шаг по координате, Ьт — шаг по времени). При решении этого уравнения температуры определяются лишь в отдельных точках 1 = 1, 2, 3,..., и, лежащих на оси х. При этом прецполагают, что в каждый момент времени т распределение температур в промежутке между соседними точками является линейным. При решении многомерных задач этн точки обычно называют узламн пространственной сетки. Интервалы между ними в простейшем случае одинаковы и равны Ьх.

Выражение (П1.218) следует рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений, число которых и равно числу неизвестных температур. Индексы й и й+ 1 характеризуют моменты времени, которым соответствуют температуры Т е (значение температуры в некоторый момент времени т) и Т~+ е+1 (значение температуры в момент времени т+ Ьт). Каждое из конечно-разностных уравнений содержит лишь одну неизвестную температуру т;"~~. Эта температура возникает в узле 1 после того, как истечет малый промежуток времени йт. При этом предполагается, что исходная температура в каждом нз узлов равна Тв.

Э Разностный аналог уравнения (П1.217) может быть получен и более строгим методом, с заранее выбранной погрешностью аппроксимапин, если значения температур в узлах четырехточечной разностной сетки предварительно представить в виде следующего конечно-разностного уравнения с неопределенными коэффициентами: А т,"+1 + В т,й + С ТВ, + Р Тв+1 ~""'~д~вая функцию Т(х, т) в ряд Тейлора в окрестности точки (х = 1Ьх, т = ийт), получаем абдт 1~ 1 /дзт1е Т;+1 = Т; + Ьх — + (Дх)З + й й г дт1 1 удят~~ т+,-т,. -~1х~~ ~ + (д,)зу ( редполагается, что все входящие в эти выражения частные гП производные напрерывны.) С учетом этих данных разность между конечно-разностным уравнением, содержащим коэффициенты А, В, С, Р, и ясходным дифференциальным уравнением (П1.217) составит е(Т) = (А + В+ С+ Р) Т; + (А — С) Ьх — + 1,дх/; 1 У д2Т~" , /в'т~" ,1,-(А.?-С)(дх)з ~ — ~ + — (А — С)(Ьх) ~~ 4) + 2 где Т вЂ” точное решение уравнения (П1.217).

При этом дТ дзТ вЂ” — а — = О. дт дхз Т перь чтобы исключить члены имеющие более низкни е порядок малости, чем 0(Ьт) и 0((Ьх) ], надо положить А+В+С+Р=О; А — С=О; А+ С = -2а/(Ьх)з; Р Ьт = 1. 1 ( 2аЬт] Следовательно, А = С = -а/(Ьх); В = — — ~1 —— и Р = 1//зт.

Т им образом подставив найденные значения коэффициенак ! Тй тов А, В, С и Р в линейное уравнение, связывающее Тй+1, Тй и Т;+, получим рассмотренную выше разностную схему (1П.218), Подставив А, В, С и Р в выражение для е(Т), вычислим погрешность, возникающую в результате замены дифференци- ального уравнения (П1.217) его конечно-разностным аналогом; — дзт а д4Т с(Т) = — Ьт — — — (Ьх) —. 2 дтз 12 дх Указанный метод удобно применять при использовании тре- угольных, пятиугольных и более сложных разностных сеток. П иведенная здесь разностнзл аппроксимация не является Р единственно возможной. Уравнение (1П.218) построено по явной классической конеч- но-разностной схеме и легко разрешается в явном виде относи- тельно неизвестной функции.