Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 13

Для вычисления неизвестных температур Т; +1 система, состоящая из и алгебраических уравнений типа (П1.218), последовательно решается для каждого шага по времени. При этом уравнения необходимо решать столько раз, сколько шагов (слоев) содержится в расчетном промежутке времени. Когда выполняется первый шаг по времени и система (П1.218) решается первый раз, значения исходных температур Тй берутся из начальных условий. (Согласно начальным условиям, распределение температур в момент времени т = О должно быть задано.) При последующих решениях значения Т;" берутся с предыдущего шага по времени. Решающее значение при решении системы конечно-разностных уравнений имеет правильный выбор Ьт и Ьх.

При использовании явных конечно-разностных схем величина допустимого шага по времени ограничена и для внутренних узлов зависит от выбранного шага по координате и температуропроводности материала а = А/(ср). Устойчивость системы явных конечно-разностных уравнений 9 = аЬт/(Ьх)з характеризует рнс. Ш.21. аЬт 1 Сравнение показывает, что вычисления при — = — ирк(ах)з 2 водят к вполне удовлетворительным результатам, в то время как аЬт 1 при — > — возникает явление, называемое неустойчивостью.

(Ьх)з 2 Оно не связано с ошибками округления и является свойством самой системы конечно-рззностных уравнений. Из приведенного примера следует, что при проведении расчетов надо прежде всего позаботиться о том, чтобы значение Ьт удовлетворяло условиям устойчивости системы конечноразностных уравнений. Разрешая уравнение (1?1.218) в явном виде относительно неизвестной функции Т; +, получаем Т; ~~' = А Тй+1 + В Тй -?- С Тй, (?П 218) где А = С = а Ьт/(Ьх)1, В = 1 — 2а Ьт/(Ьх)1, причем А+ В+ +С=1. 120 следовательно, Дт се О,б (Дх)е/а, хя ия ыя ьс Рис.

Ш.31. Результаты точного и чисеиииого решеиия задачи иествциоиариой теилоироводиости длх плоской стоики, разбитой иа четыре иитервада Лля простоты рассуждений будем считать, что все Т > О. В общем случае среди известных значении Т;+1, Т; н Т; 1 найдется одно наибольшее и одно наименьшее значенияе). Если сделать В сеучае двумервсй задачп в правой частя уравпеппя (П1.219) будет стоять пять раздпчпмх температур, а в сяучае трехмерном — семь. предположение о том, что Т;+1 имеет наибольшее значение, а Т;, — наименьшее, то в сялу того, что Т; = Т;+1 — В(Т;+1— й -Т; 1), при положительных А, В, и С значение температуры Т~+1, которое предстоят вычислить при решении, будет удовлетворять неравенству Т+ > я; > Т; 1 и, следовательно, будет заведомо ограничено. Значения А и С из физическях соображений не могут быть меньше нуля, поэтому, чтобы исключать неограниченный рост Т;+ в пропессе решения, при выборе Дт необходимо соблюдать условие устойчивости системы разностных уравнений, которое состоит в следующем: В = (1 — 2а(Дт)/(Дх) > О или аДт/(Дх) < 1/2, где Дтим — макскмально допустимое значение шага по времени.

В рассматриваемом случае достаточность этого условия можно доказать также следующим образом. Если условие аДт/(Дх)З < 1/2 выполнено, то коэффициенты А, В, С положительны и их сумма равна единипе. Поскольку разностные уравнения могут быть представлены в форме (111.219), то тпах )Т; + ) < (А + В + С) шах )Т; 1 = шах )Тй) < шах )Т;" и, следовательно, решение ограничено. Это простое доказательство в несколько нзмеяенном виде пркменимо и в том случае, когда А, с и р, входящие в температуропроводность а, имеют переменные значения.

Путем аналогичных рассуждений можно вывести условие устойчивостя для случал решения многомерных задач по рассмотренной выше явной схеме, а также найти условия устойчивости разностных уравнений, соответствующих узлам, лежащим на границах тела. Например, одномерное разностное уравнение, приближенно выражавшее условие теплового баланса для граничного узла 1 (см.' рис. 1П.21) разностиой сетки, может быть записано в следу- ющем виде: л д т'+'-т,' ))7~1 — 7~) — — )Т вЂ” Х~~) = р — -) — 1-. )Ш.220) Здесь первое слагаемое в левой части уравнения выражает тепловой поток, переносимый путем конвекции от среды с темпера 'гурой Т)иг к поверхности неограниченной плоской стенки, второе - тепловой поток, переносимый путем теплопроводности от граничного узла 1 к узлу М твердого тела, а правая учитывает изменение энтальпии тела при толщине слоя стенки Дх/2 за малый промежуток времени Дг.

Все члены этого уравнения отнесены к единице времени и едииипе плошали поверхности стенки, через которую проходит тепловой поток. После приведения уравнения (П1.220) к виду (П1.219) получим т'+' = — '" т,'+ 1 (дх)г + 1- — '', 1+ — '' т1" + — г 'А ти1 Лля соблюдения условий устойчивости коэффициенты при температурах Т1" и Тг~ должны быть больше нуля, а 2адг/(дх)г ) 0 из физических соображений.

Следовательно, для граничного узла 1 необходимо выполнение следующего условий; Полученные результаты показывают, что для граничного узна сетки дг зависит ие только от дх и а, но также и от коэффициента теплоотдачи а1. Это условие устойчивости для грани пюго узла 1 является более жестким по сравнению с условием устойчивости для внутренних узлов. Ясно, что при проведении Расчетов следУет выбиРать наименьшее значение Дгя))е) котоРое соответствует условию устойчивости для граничного узла 1. В теории конечно-разностных уравнений показано, что при соблюдении условий устойчивости решение системы (1П.218) приближается к точному решению соответствующего дифференциального уравнения по мере уменьшения д* н дг.

Выше было показано, что погрешность аппроксимации конечно-разностной схемы (Ш.218) с точностью до членов, содержащих (дг)г н (дх)4 равна ) 2 ~д.г~ дг 12 ~~ 4~ (дх) +0((дт) )+0((дх) ). г Это означает, что существуют такие две зависящие от 2 положительные постоянные К1 и Кг, что абсолютная величина е(Т) не превосходит Кгдг+Кг(дх)г для всех достаточно малых дт и дх, т.е. погрешность аппроксимации рассмотренной резностной схемы без учета членов более высокого порядка малости пропорциональна дг и (дх)г.

Поскольку точное решение дифференциального уравнения тецлопроводности Т(х, г) удовлетворяет также и уравнению д'Т/д ' = а'(д'Т/дх4), ный ч г1 и ти ппроксимации может быть представлен в форме поэтому в частном случае, если Дг и Дх выбраны так, что аДг/(Дх)г = 1/6, погрешность аппроксимации существенно уменьшится и станет пропорциональной (Дт)г и (Дх)4.

Этим обстоятельством можно воспользоваться для повышения точности численного решения. 0 влиянии дх на результаты решения можно судить по данным, представленным на рис. П1.22. Кривые 1, П, и П1 соответствуют решениям, полученным с двумя, тремя и пятью узлами. Неявные кокечио-разнос)иные уравнения. В интересах повышения точности решения Дх следует выбирать достаточно 124 126 13В Рвс. 111.33. Сяояихость численных решевий в зависимости от велвчввы 1аега Ьх по яоеряввате малым.

Однако в явных схемах наибольшее допустимое значение Ьт пропорционально (Ьх)3. Это следует нз условий устойчивости. При этих обстоятельствах может оказаться, что для завершения пропесса решения потребуется огромное количество шагов по времени и решение окажется практически невыполнимым. В этих случаях для решения уравнения теплопроводпости используются неявные конечно-резностные уравнения вида (Т;+ — Т; )(От = а(Т+~~ — 2Т;"+ + Т~+,')~(Ьх)3. (П1,221) Явную н неявную конечно-ревностные схемы можно обьединить: + '+ ' 3 ' (1 — х), (П1.222) тогда при х = О получится схема явных, а при х = 1 — неявных конечно-резностных уравнений.

Рациональный выбор весового множителя х прн машинном счете позволяет выполнить решение по той схеме, которая в данных условиях потребует минимальных затрат машинного времени. Можно показать, что при О < а < 1/2 система (1П.222) устойчива при условии 2аЬт/(Ьх)3 < 1/(1 — 2о'). При 1/2 < < и < 1 никаких ограничений на устойчивость не наложено и, следовательно, система уравнений (Ш.221) является абсолютно устойчивой.

Точность решения при яспользованни неявной схемы по-прежнему будет возрастать по мере уменьшены Ьх, если Ьт также уменьшается пропорционально Ьх~. Погрешность аппроксимации неявной схемы, так же как и для схемы (П1.218), пропорциональна Ьт и Ьхз. Погрешность аппроксимапии рвзностной схемы (П1.222) определяется формулой т~+ т.

Г2'". +1 2 ТА+1 А+1 е(Т)= ' ' — а ~ '+1 ' +Т'-1, + (") — ь,,у~ — ь Т вЂ” 'л~~ ;+, -2Т;'+т..., где Т = Дх, т) — точное решение дифференциального уравнения теплопроводности. Аналогично тому, как это было сделано выше, пе трудно показать, что если функция Т(х, т) является достаточно гладкой, то погрешность аппроксимации схемы (П1.222) можно представить в следующей форме: е(Т) = а — аЬт(1/2 — а) — 1/12(Ьх) +0[(Ьт) [+0[(Ьх) 1 Поэтому, выбирая параметры копечно-разпостпой аппроксимации а, Ьт и Ьх так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, равнялось нулю, можно повысить порядок точности аппроксимапии. При 0 < и < 1/2 это может быть достигнуто, когда Ьт выбрано равным одной трети максимального значения, допускаемого указанными выше условиями устойчивости.

Наибольшая степень точности имеет место пе при пеитрироваппи разностей по времени (а = 1/2), а при а = 1/2— -(Ьх)з/12а Ьг (при этом значении а условия устойчивости выполнены). В,К. Саульевым показано, что при (Ьх)з/а Ьт = ~/20 погрешность аппроксимации понижается до 0[(Ьх)е]. Этот метод получения повышенной точности может быть обобщен для решения задач с переменными физическими свойствемп материала копструкппп. Используя абсолютно устойчивую неявную схему (П1.221), можно существеппо увеличить шаг по времени, выбрав его в несколько раз ббльшим по сравнению с Ьтд,е для явной схемы. Однако прп этом пе следует забывать о том, что по мере увеличения Ьт растет погрешность, появляющаяся вследствие замены диффереппиальпого уравнения его разиостпым аналогом.

Прпмепепие неявных схем во многих практически важных случаях оказалось весьма эффективным. Система (П1.221) абсолютно устойчива, по пропедура решепия неявных конечно-разпостпых уравнений осложняется тем, что каждое из ппх (за исключением уравнений для границ) содержит три неизвестные температуры: Т;++1, Т;+ и Т;+ . Все и уравнений должны решаться совместно. При большом числе уравнений решение такой системы классическими методами оказалось бы слишком громоздким и трудоемким.

Поскольку каждое из уравнений содержит пе более трех неизвестных фупкдий, рассмотрим метод, наиболее эффективный в данном случае. Представим неявное разпостпое уравнение (П1.221) в следующем виде: А ~У++1+ В,Т~+~ С;ТЯ+1 ?? ю-1 (П?.223) - „+, А;,+, В;+С;Е;, =В, С,Е. Т'+1 +В, С,Е, Сравнение выражений (Ш.224) и (1П.225) показывает, что па месте коэффиппептов Е;, г; в соотношении (П1.225) стоят величины, зависящие от А;, В;, С; и Ю;, т.е. Е; = А;/(В; — С;Е; 1), Е; = (Ю;+ СЯ,)/(В; — С;Е;,) (1П.226) Следовательно, пропедура решения состоит в последовательном вычислении коэффициентов Е; и У'; пачппая с 1 = 1 и кончая з = п. Неизвестные температуры определяются по уравнению (П1.224) в обратном порядке.