Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 5

(П.бб) ес«7 + с-«аг с(«(»пХ Количество теплоты, отводимое стержнем, И ! зЬ(п«Х) д=-ЛК вЂ” ~ =Мшд, дх~. ю сй(т~)— = дг~/оПЛ.Р 11«(»пЬ). (П.бб) П.Ю.Я. Тсмпсрап«рриос поле ируелоео ребра пес»поливой п«ели«ииа« Схема ребра представлена на рис, П.14, а. Принимал те же допущения, что и для одиночного стержня, запишем баланс теплопоступлений для кольцевого элемента круглого ребра в виде Введя обозначения «п2 = 2««/Лд, п«г = х, 1/г = и«/з и учитывая, что «(д И вЂ” «и — « «(г «Ь ' а«2д 12д — = пз —, ,(г2 ляг из уравнений (П.67) получаем Это выражение называется уравнением Бесселя, его решение имеет следующий вид: д= С1|о(х)+Сздю(х). (П.69) Здесь С1, С2 — постоянные интегрирования; 7ю(х) = 1д(»пт), Кю(я) = Кю(»пг) — модифипированные функции Бесселя нулевого порядка, мнимого аргумента соответственно 1 и П рода.

Рве. 11.14. Цилиндрическое ребро постоянного сечевв««(а) в асио- вогательвый графви дла его расчета (Е) Постоянные С«и Сз опрепеляют нз следующих граничных условий: д= де при д=О при г-«оо, Если пренебречь теплоотдачей с торпа ребра„то уравнение (П.09) примет вид 1о(тг) Кг(тгз) + Ж"гз) Ко(глг) ~ 1о(тгг) К«(тгз) + 1г(тгз) Ко(тгг) ' где 1«(тгз), К«(тгз) — модифицированные функции Бесселя первого порядка, мнимого з,ргумента соответственно 1 и П рода.

Количество теплоты, передаваемой через ребро, П.З.Ю. Тел««оироео«)ность ирт«оео ребра лерененнсео лолерсчноео сеченая Рассмотрим прямое ребро треугольного или трапепневидиого поперечного сечения (рис. П.15, а). Пля представленного на рисунке ребра известны 61 и бв, а также избыточная температура д! в начальном сечении. Площадь поперечного сечения ребра .г' х И х 2!я Сй «р, где 1- ширина ребра. «(д! Я = -Л2яг«б — ~ гхг« 1«(тгз) К«(тг«) — 11(тг!) Кг тгз) = 2тЛг«тИ! 1о(тг!) К«(тгз) + 1з(тгз) Ко(тгг) Ппя учета количества теплоты, передаваемой через поверхность торпа ребра, радиус гз увеличивают на половину толщины ребра, Практическое использование выражений (П.70) и (П.71) затруднено из-за громоздкости. Поэтому обычно для расчета круглых ребер используют те же формулы, что и для расчета одиночного стержня постоянного сечения: (П.72) Я =сГ«), где Я вЂ” количество теплоты,отдаваемое круглым ребром; е — поправочный коэффициент, определяемый из графика на рис.П.14,б (на рисунке дз/дз — отношение избыточных температур на концах ребра, вычисленное для прямого ребра постоянного сечения); ! à — площадь поверхности круглого ребра; е = (;Г /г — плотность теплового потока на поверхности прямого ребра, толщина которого равна толщине круглого ребра, а длина равна 1 м, Ю «)Г 4«««(Ф дг /«З б Рнс.

П.15. Прахсе репро траиеинеанянозс сечения (а) н аспюхсга- телъный график Лля его расчета (я) (П.73) — ЛК вЂ” „= «гпд, где периметр сечения ребра может быть принят равным П = 21. Приведем уравнение (П.73) к модифицированному уравнению Бесселя вида «(зд 1 «(д 1 — + — — — -дхО, «Ьз 3 «(х 3 (П.74) 43 С учетом принятых для одиночного стержня допущений и обозначений уравнение теплового баланса для элемента ребра длиной «Ь имеет вид (П.75) где г = ах/Л дйй, решение которого будет д = Сд1о (21/г) + Сг Ко (2д/х) Постоянные Сд и Сг находим из граничных условий джуд при х=хд, д=дг прн х=хг; Попрэвочный коэффипиент е' = /(дгг/дгд;бг/бд) определяют по графику, приведенному на рис. П.15, б, причем отношение дг/дд взято для ребра постоянного сечения, а бг/бд = 0 для треугольного ребра.

П.З. Теплопроводность при наличии внутренних источников теплотьд 11.8.1. Неограниченная пластина ~ы1 Ь~. „ (последнее означает, что тепловым потоком с торца можно пренебречь), Решение (П.75) принимает вид дд ~1о(24х ) Кд(2,/яг ) + 1(2д/яг ) Ко(йд/х)] [1о(2,/хд ) Кд(2,/хг ) + 1д(2з/яг ) Ко(2э/яд )) Тепловой поток, поступающий в ребро, Ю! Ц =-Л/д — ~ ~Ь аб!йд 1д(2,/хд ) Кд(2,/яг) — 1д(2д/яг) Кд(2~~~) (П 77) /я дур 1о(2 /Бд ) Кд(2д/яг ) + 1д(2д/хг ) Ко(21/яд ) Полученные выражения (П.Т6) и (П.77) обычно не используют для практических задач, а применяют метод, аналогичный описанному для пилнндрического ребра. Расчет ведут по формуле д р/ (П.Т8) где Я вЂ” количество теплоты, отдаваемое ребром переменного поперечного сечения; а = Я /à — плотность теплового потока на поверхности прямого ребра постоянного поперечного сечения, длина высота н средняя толщина которого равны длине, высоте > н средней толщине ребра переменного поперечного сечения; Р— плошадь поверхности ребра.

Теплопроводность в однородной неограниченной пластине будем рассматривать прн следующих условиях: постоянство козффипиента теплопроводности и равномерное распределение тепловых источников. Запишем дифференциальное уравнение для этих условий: ~дгд — +о,/Л=О. Ихг Решение этого уравнения имеет вид (П,ТО) В качестве граничных условий примем условия П1 рода на обеих поверхностях пластины: = -ад (д — д .1) прн я=О; Пусть дн, ) дн . После определения констант интегрирования решение (П.80) будет следующим: /,дг д-днэ д., -днэ / й'1 /х1 дибг/2Л дд бг/2Л ~ ад,Д \,б) й — Л— ~Ь Й вЂ” Л— Их д = -(ди/2Л) х + Сд х + Сг.

(П.80) = аг(д — дэ, ) при х = б. х=+б нлн в безразмерном виде 6=6 1- — ) -И+ х '1 а1 +Вц,~ —.+1 — 6в~ В+ — ~ — +1, (П.82) 1,В1з ) а1 1,В1з рвс. 11дб. Температурное поле в пластине прв валвчвв внутренних встсчввиов тепло- ты 6 = У вЂ” П~ + 1/В1, а максимальное значение 6 бу- дет прн х = 0,5. где х = ~ — + — + — ) - козффнпнент теплопередачн; 6 = ~1 б 11 1,аг Л аз) = (М- Ф э)/(е~ бз/2Л) — безразмерный перепад температур, 6в = = (Мв, — Гв )/(дубз/2Л) — безразмерный перепад температур для жидкостей; х = х/б — безразмерная координата; В1ь = хб/Л вЂ” критерий Бно, равный отношенню внутреннего термического сопротнвлення пластины 6/Л к термическому сопротня в Хс~ вленню теплопередачн 1/Й; м В1з = азб/Л вЂ” критерий Бно, У~ ,с~ равный отношению внутреннее| го термического сопротнвлення 6/Л к термическому сопротивлению теплоотдачн 1/аз прэ р с Хл с -Х с ~ л яь вой поверхности.

На рнс. П.16 представлено распределение безразмерного перепада 6 по толщине плаУл-Ю стины в зависнмостн от 6в. фи Прн симметричном охлажденнн пластины (1в, = $вэ; а1 = = аз; 6в = 0) уравнение (П.82) принимает внд еу Пля случая, когда одна поверхность пластнны теплонзолнрована (й/Нх~ е = О нлн а1 = О, й = 0), уравненне (П.82) нмеет внд 6 2/В1+1 ~У прн этом максимальное значение 6 будет прн х = О. В последнем случае плотность теплового потока меняется вдоль оск Ох по закону д = дух1 (П.83) н количество теплоты, отдаваемое поверхностью пластины, (П.84) Я = дубГ, где б' — площадь теплонзолнрованной поверхности пластины, Если значение коэффициента теплоотдачн а велико (а -с -с оо), то граничные условня Ш-го рода приобретают внд граничных условий 1-го рода (ест = $в), а решение (П.82) принимает внд гст 1 22 еубз/2Л (П.85) П.у.х.

Цилиндрическая с|пенна Рг 1а еу — + — — + — =О (П.86) йтэ т йт Л Введя обозначение Ж/й = х, нз уравнения (П.86) получаем тйх+ хй + — тйт = О. Ь' Л После интегрирования имеем пх дут — + — = Сгт, Й' 2Л Рассмотрим однородную пнлнндрнческую стенку (сплошной пнлнндр) с равномерно распределенными тепловыми нсточннкамн, у которой коэффипкент теплопроводностк Л не завнснт от температуры.

Пнфференпиальное уравнение для рассматриваемой задачи нмеет внд Граничные условия имеют вип откуда находим решение в виде 3 »» = — — + Сз 1п т + Сз. о»» т 4Л (П.87) =о; тжт» й -Л— ет = а(Фстз — 1ж), т тя С, — — тг+ — = О 2Л» откуда Сз = йтт,72Л. = а(1ст — гж). тжтс дт т»7ттз 2 зстз = + — 1п тз + Сз» 4Л 2Л имеем »=»ж+ + (О т). отто ят 3 2 2а 4Л (П.88) д = а (ссг — $ж) = —. 9 то 2 (П.89) Г = »ст+ (то т )» »7»' з 4Л Температура наружной стенки зстз = »ж+ 1— (П.91) Используем полученное решение для некоторых частных задач.

1. Сплошной пнлиндр неограниченной протяженности т = ж то, на поверхности которого происходит конвективный тепло- обмен. Граничные условия в зтом случае будут следующими: = 0 (в силу симметрии температурного пола); тже Прн зтнх условкях константы интегрирования в выражении 3 (П.87) приобретают значения Сз = О, Сз = гж + — + —, и Ф то Чтто температурное поле описывается уравнением Плотность теплового потока на поверхности пилиндра При больших значениях козффипиента теплоотдачи уравнение (П.88) приобретает вид которому соответствуют граничные условия 1 рода. 2. Цилиндрическая стенка (труба) с внутренним радиусом тз и наружным тз, внутренняя поверхность которой теплоизолнрована, а на внешней происходит конвективный теплообмен.