Теория тепломассобмена (Леонтьев) (1074340), страница 10
Текст из файла (страница 10)
П1.6, П1.7) для отыскания о, е, е,. Изложенный прием решения задачи для тел конечных размеров может быть применен и для определения температурного поля в цилиндре конечной длины, который представляет собой тело, полученное от пересечения неограниченных пилиндра к пластины. 1П.б. Температурное поле пластины с внутренними источниками теплоты Рассмотрим задачу, отличающуюся от разобранной выше тем, что по пластине равномерно распределены источники теплоты с постоянной мощностью ет. Поле температур подчиняется дифФеренциальному уравнению дг 0т и + дхз рс Пластина помещена в жидкость с температурой 1и и в нв чальный момент имеет ту же температуру.
В пластине начинают цействовать источнкки теплоты. Начальные и граничные условия имеют вкд (Ш.110) при т = О, -б < х ( +б; дс — Л вЂ” = а(1 — 1и) при х = +б; дх дг — = О при х = 0 (из условия симметрии).(Ш.121) дх (П1.119) (Ш.120) сутбЗ / 2 хЗ'1 1сш 1= ги+ — ~1+ —. — — ~. (П1.122) оо 2Л ~ Вс бз~' Такое стационарное поле подчиняется дифференциальному урав- нению и граничным условиям: Пля решения задачи удобно преобразовать приведенные уравнения, введя кзбыточную температуру д = 4вв — 1, представляющую собой разность между стационарной (устанавливающейся по истечении длительного промежутка времени) к не- стационарной температурами. Стационарное распределение температур определяется по формуле (Ш.127) (П1.133) (Ш.130) (П1.135) (П1.136) (П1.137) (1+ —.
— х ) сов(ядх)дх | 2 р В1 д= бо =Фн — Фо при т= О; дб Л вЂ” +ад=О при т=Во. д $ дб — =0; д14оо при т=О. дт о (Ш.131) | сов (в;х)~В о (Ш.138) 04 дгг — жа — + —; (1П.123) -Л вЂ” ~ = а(гвс — Ф~) при х = +6; (Ш.124) — ~=0 при х=О, (П1,126) дх Вычитая из уравиеиий (1П.123) — (Ш.125) соответствеиио выражения (П1.118), (П1.120), (П1.121), а из уравнения (Ш.122) — (Ш.119), имеем (Ш.126) дт дхг' -Л вЂ” = ад при х =+б (т > 0); дд дх д = — ~1+ —, — — ) при т = 0; (1П.128) дрФ / 2 хг~ 2Л ~ В1 йг) д61 — =0 при х=О (т>0). (Ш.129) дх Решив полученную систему (П1.126) — (П1.129) методом разделения переменных, получим общее расчетное уравнение О = — = ~~ С; сов(вф) ехр(-в; Ро), сев г г дт бг/2Л где собственные числа в; определяются из уже известиого траис- пендеитиого уравнеиия (П1.77), а козффипиеиты Ш.б.
Нестационарное температурное поле бесконечно длинного цилиндра Рассмотрим задачу по определению температурного поля в неограниченном пилиидре радиусом Во, начальиая температура которого во. Цилиидр помещается в среду с постоянной температурой $ж > Во; козффипиеит теплоотдачи а во всех точках внешней поверхности цилиндра остается постояпиым иа протяжеиии всего периода пагреваиия; в связи с этим температурное поле зависит только от радиуса и времеви. Циффереипиальиое уравиеиие теплопроводпости для рассматриваемой задачи будет следующим: гдгв д =е~ — г+ — — ~, т>0, 0<т< Во, (П1,132) дт ~дтг т дт~' а условия однозначности имеют вид в=во при т=О, 0<т<Во, дв -Л вЂ” = а(ге — Ф) при т = Во; дт дг — = 0 при т = 0 (из условия симметрии). (П1.134) дт В пентре цилиндра температура имеет конечное значение: от=о Ф со После замены переменных (полагая б = $ж-г) система уравиеиий, описывающая температурное поле пеограиичеииого пилиидра, преобразуется к виду дд 1дгд 1 дд1 — =е~ — + — — ~ т>0 0<т<В ° д ~дг д ~ д = С е»Ь г р(г), (Ш.139) где функция фт) в рассматриваемом случае должна быть роше" пнем уравнения Бесселя 1зл(г) + -ф'(т) + йг4(т) = О.
(1П.140) Так как ф зависит только от радиуса г, то обшее решение уравнения (Ш.140) представим как сумму двух частных решений: ф(г) = ьр(г) + 1з(г). (1П.141) Это следует нз того, что обшее решение всякого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка вида р" + Р(х) р ' + о(х) у = О, к которому относится и уравнение (Ш.140), можно записать так: у = С, рг + Сг уз Применим метод разделения переменных, который, как и в случае бесконечной пластины, приводит к частному решению ви- да Найдем решение этого уравнения в виде степенного ряда (1П.145) у = ао + азх+ азх + азх + ° Лифференцируя почленно уравнение (П1.145), имеем Оз' = аг+2агх+Зазх +4аях + ", (1П.146) уа =,2 1аз + 3 2азх+3 ° 4аох~+ "° (1П.147) Подставляя (Ш.145) — (П1.147) в уравнение (1П.144) н группируя члены с одинаковой степенью х, получаем аз + (ао + 2 аг) х + (аг + 3 аз) х + (аг + 4 ао) х~ +...
(1П.148) Выражение (П1.148) равно нулю при аз =0; ао+2 аг =0; аз+3 аз =0; ...; а„г+а»»~ =О. Из этих равенств следует, что все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю, а коэффициенты с четными индекса. ми выражаются через ао: уз=уз р е / ~ас. (Ш.142) Первое частное решение ~р(г) можно определить из преобразованного уравнения Бесселя вида (П1.140): т ~р»Я + ~р'(г) + Мгт~р(г) = О. (П1.143) Заменив г = х/х и учитывая, что в этом случае уи(г) = йгу "(х); <р'(г) = йу'(х), получаем (П1.144) х у + у + х<р = О. где Сг и Сг — постоянные; уг и рг — линейно независимые решения этого уравнения, т.е.
уг/уг ~ сопзз. При этом достаточно знать только одно линейно независимое решение, например уг, тогда второе находится по формуле аг = -ао/2г' ~ч = +ао/2г 4г. ао = -ао/2 ° 4 ° 6; ...; аг„= (-1)» ° ао/(2»)г! Следовательно, частное решение у(х) есть выражение хг х4 хо У = ао 1 — — + — — + ° . (Ш.149) 2г 2г 4г 2з 4г, бг Если положить ао = 1, то частный интеграл уравнения (1П.144) равен функции Я)(х) = 1 — х /2 + х /2 ° 4 — х /2 4г ° бг + ° , (Ш 150) называемой функцией Бесселя 1 рода нулевого порядка.
вт Предварительно укажем, что , (х ) И50(яг) Й ~ 2 2з 4 2з 4з б (й )3 (й )3 / -З вЂ”,гьяя ,и=у~ у, е ° в"*Их. Уравнение (П1.157) является трансцендентным. решим его графическим способом. Обозначим рг = /сне/В! = и/В1; рз = А(п)/Л(п). (Ш.150) 5(*) = Сг,7е(*) + Сз Уе(х) (Ш.153) д = Се ~~ ~ Я~(Ь), (П1.155) Для нахождения второго частного решения воспользуемся формулой (Ш.142) Подставив у и произведя вычисления, в результате получим хя х4 / 1~ = Л( ) ~~ * — — — ~~ -) "° .
(Ш.151) 2з 2з ° 4з ~, 2) Лля удобства вычислений вместо функции р в общее решение (1П.141) подставим функцию Уе(х), связанную с и соотноше- нием Уе(х) = -д+ — Ае(х)(С вЂ” 1п2), 2 2 (Ш.152) где Уе(х) — функция Бесселя П рода нулевого порядка; С = 0,577 — постоянная Эйлера. Частные решения Я~(х) и Уе(х) линейно независимы, общий интеграл уравнения (П1.140) или, возвращаясь к переменной г (х = йг), 4(г) = Сг .70(l ) + Сз УО(йг) (П1 154) Так как температура на оси цилиндра (г = О) должна быть конечной, то решение (П1.154) не должно содержать функцию Уе(йг), которая стремится к бесконечности при г -+ О, следовательно, Сз = О,и решение (П1.154) принимает вид где постоянные Й и С определяются из граничного и начального условий.
Здесь Д(йг) — функция Бесселя 1рода первого порядка. Удовле- творим решение (1П.155) граничному условию -АхС Д(йАе)е Я ег = аС.уе(йие)с Я ' . Сократив на Се " ~~, получим Хю(хЛо)/Л(Ы11о) = ИЛе/аде = ЙЛе/В1. (1П.157) где хйе = и. График функции уз =,уе(п)/Д(п) напоминает котангенсоиду, но с убывающим периодом, график функции уг — примах линия, проходящая через начало координат. На рис.П1.12 представлен графи- рис 111зя» 1СРепжиизоуреческий способ определения кор- аиеиия (РИлвт) ней уравнения (Ш.157).
Как видно из рисунка, имеется бесчисленное множество корней и,, определяемых пересечением графиков функций рг и Общее решение есть сумма всех частных решений: В том случае, если 'го > 0,25, рял (Ш.164) сходятся очень быстро н для практических расчетов можно ограничиться первым членом ряда.
Прн этом безразмерным перепадам температур на поверхности н на осн цилиндра соответствуют формулы д= ~» С».со(»»т/Ко)е "' '/до. (П1.159) О„д,= е "» ' — Уо(В1)е "» '* (Ш.165) 1[2'( 1)+ Ф»1)1 2 сг(»1)е" = М (В$)е из»уо. (Ш,166) ° [4(.)+ у"( ) Постоянные С; определяются нз начального условия до = ~» , 'С» Го(»»т/Во). (Ш.160) » 1 Это соотношенне представляет собой разложение функции до в рял по функпням Бесселя. Из курса математнкн нзвестно, что система функций /г Яат), ~/г 3о(Ьт) является ортогональной. Следовательно, На рнс. 1П.13 н П1.14 показаны завнснмостн безразмерной температуры от чисел В1 н Го для г м 0 н г = Во, подсчнтелные по формуле (П1.164). до | г Яо(»»гт/йо) 3о(»уг/Во) Й' = [ .. (Ш.161) ( =О прн 1141; ~ 140 прн зжз; о | до ХО( /Во) = Ь [ХОЯ(~;)+ А2(»;)); о (П1.162) ем ясс сзч з» сс» Рис.111.1З.
Зависимость безразмерного перепада температур ив оси неограниченного цилиндра от чисел Фурье и Био Обозначив 9 = д/до = (1н — 1)/(1н - 10), имеем Теплота, поступающая в тело за время нагрева, должна равняться изменению его энтальпнн за это времю 2 Д(»») „зр [Ж Ч1)+ 4(»;)) (1П.164) Я, = т2фрс(1н — 1о). (1П.167) 100 101 гдо уо(Пт/Ко) ет 0 т,со (»;т/Яо) дт о — д ' . (Ш.163) '»1[2'(»*)+ Ф *)) гс с'с (с с,» с с с с с с и и ио 4. с яг ег яу яг яг Ф 4Ф Ф ~р а ю' ч' е ян г г г г в и в» г Ф г Рнс.111.14. Зависимость безразмерного перепада температур на поверхности неограниченного цилиндра от чисел Фурье и Био ??ля промежутка времени, ограниченного т, так же как и для пластины, Чт — — Яео(1- 6), (Ш.168) где 6 = (1ж — Х)/(гж — го), или Яо 1 1 / 6 = — / 92ттй' = 2 / Э т дт яро ) ,о о 1 — средняя температура цилиндра; т = т/Яо.
Подставив значение 9 кз (Ш.164) и проинтегрировав выражение (1П.169), получим — 4 Яз(н;) 9 = ~ ехр(-н; Ро) ж 2 2 (ф(н1) +,71~(н;)) 4В? 2 поскольку,уо(н;)/Дг(н;) = н1/В?. В скучав, когда Ро > 0,25, — 4В1 '2 9 = . ехр(-н1Ро). н1 (Я1 + В? 2) Как уже указывалось, определение температурного поля цилиндра конечной длины осу|цествляется перемножением решений, полученных для бесконечного цилиндра и неограниченной пластины. (П1.1Т1) 1П.Т.
Нестапнонарное температурное поле шара Рассмотрим задачу с граничными условиями П? рода: задан коэффициент теплоотдачи а, постоянный для всей поверхности шара радиусом Ло, В начальный момент времени т ж О температура шара одинакова во всех точках н равна 10. Температура окружаюшей среды 1ж ) 10. Избыточная температура д = 1ж — 2. Математически задача описывается сяедующимн уравнениями: (П1.172) (П1.173) а — д при |=Во, Как и в предыдуших случаях, при рассмотрении пластины и цилиндра задача может быть решена методом разделения переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
